高中數(shù)學(xué)3章整合課時(shí)同步練習(xí)新人教A版選修2-1

PAGE1-第3章(考試時(shí)間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，則x＋y等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,2) D．2解析：∵a∥b，∴x＝2y＝eq\f(3,6)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4).∴x＋y＝eq\f(3,4).答案：B2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實(shí)數(shù)λ的值是()A．－1 B．0C．1 D．－2解析：a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，因?yàn)?a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1)＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，所以λ＝－2.答案：D3．若向量(1,0，z)與向量(2,1,0)的夾角的余弦值為eq\f(2,\r(5))，則z等于()A．0 B．1C．－1 D．2解析：由題知eq\f(1，0，z·2，1，0,\r(1＋z2)·\r(5))＝eq\f(2,\r(5))，eq\f(2,\r(1＋z2)·\r(5))＝eq\f(2,\r(5))，1＝eq\r(1＋z2)，∴z＝0.答案：A4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3({e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底)，且d＝xa＋yb＋zc，則x，y，z分別為()A.eq\f(5,2)，eq\f(3,2)，－1 B.eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1C．－eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1 D.eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，1解析：d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e3)＋z(e1－e2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝3，x－y－z＝2，x－y＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，y＝\f(3,2)，z＝－1))答案：A5．若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交解析：∵u＝－2a，∴u∥a∴l(xiāng)⊥α，故選B.答案：B6．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C′C,\s\up6(→))，則x＋y＋z等于()A．1 B.eq\f(7,6)C.eq\f(5,6) D.eq\f(2,3)解析：如圖，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(C′C,\s\up6(→))，所以x＝1,2y＝1,3z＝－1，所以x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,3)，因此x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).答案：B7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(3,5)解析：以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)．∴cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BE,\s\up6(→))·\o(CD1,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))||\o(CD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).故選C.答案：C8．已知空間四個(gè)點(diǎn)A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，則直線AD與平面ABC所成的角為()A．60° B．45°C．30° D．90°解析：設(shè)n＝(x，y,1)是平面ABC的一個(gè)法向量．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－5，－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－2，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5x－y＋1＝0，－4x－2y－1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，y＝－\f(3,2)，))∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)，1)).又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，設(shè)AD與平面ABC所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|\o(AD,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\f(7,2),7)＝eq\f(1,2)，∴θ＝30°.故選C.答案：C9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BDA.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),3)解析：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)．又可以證明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，又cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,3)，結(jié)合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為eq\f(1,3).故選B.答案：B10.如右圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，則點(diǎn)G到平面D1EFA.eq\r(3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(5),5)解析：因?yàn)锳1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離，即是A1到D1E的距離，D1E＝eq\f(\r(5),2)，由三角形面積可得所求距離為eq\f(1×\f(1,2),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5).故選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，則|a－2b|＝________.解析：因?yàn)閍－2b＝(8，－5,13)，所以|a－2b|＝eq\r(82＋－52＋132)＝eq\r(258).答案：eq\r(258)12．設(shè)a＝(2，－3,1)，b＝(－1，－2,5)，d＝(1,2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝10，則c＝________.解析：設(shè)c＝(x，y，z)，根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋z＝0，x－2y＋5z＝0，x＋2y－7z＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(65,12)，y＝\f(15,4)，z＝\f(5,12).))答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,12)，\f(15,4)，\f(5,12)))13．直角△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq\f(9,5)，則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是________．解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(4,0,0)，B(0,3,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(9,5)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,3,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0，\f(9,5)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))在AB上的投影長(zhǎng)為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,5)，所以P到AB的距離為d＝eq\r(|AP|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2)＝eq\r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3.答案：314．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夾角都是60°，則eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝________.解析：eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋|eq\o(AA1,\s\up6(→))|2＝2×1×cos60°－4＋1－2×1×cos60°＋1×2×cos60°×2＋4＝3.答案：3三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1(1)化簡(jiǎn)eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，并在圖上標(biāo)出結(jié)果；(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的eq\f(3,4)分點(diǎn)，設(shè)eq\o(MN,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AD,\s\up6(→))＋γeq\o(AA1,\s\up6(→))，試求α、β、γ的值．解析：(1)如圖所示，取AA1的中點(diǎn)E，在D1C1上取一點(diǎn)F，使得D1F＝2FCeq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA1,\s\up6(→)).∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).16．(本小題滿分12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4.求點(diǎn)B到平面PCD的距離．解析：如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,0,0)，設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CD,\s\up6(→))＝0n·\o(PD,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＝04x－2＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，x＝\f(1,2)，))所以面PCD的一個(gè)單位法向量為eq\f(n,|n|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5)))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4，0，0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5)))))＝eq\f(4\r(5),5)，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為eq\f(4\r(5),5).17．(本小題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1(1)求直線BE和平面ABB1A1(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖所示，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．(1)依題意，得B(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)，在正方體ABCD－A1B1C1D1因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1所以eq\o(AD,\s\up6(→))是平面ABB1A1的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為θ則sinθ＝eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(BE,\s\up6(→))|·|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\f(3,2)×1)＝eq\f(2,3).即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq\f(2,3).(2)依題意，得A1(0,0,1)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1,1，eq\f(1,2))，設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量，則由n·eq\o(BA1,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0－x＋y＋\f(1,2)z＝0))，所以x＝z，y＝eq\f(1,2)z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．設(shè)F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t,1,1)(0≤t≤1)．又B1(1,0,1)，所以eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(t－1,1,0)，面B1F?平面A1BE于是B1F∥平面A1BE?eq\o(B1F,\s\up6(→))·n＝0?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝eq\f(1,2)?F為C1D1的中點(diǎn)．這說(shuō)明在棱C1D1上存在點(diǎn)F使B1F∥平面A1BE18．(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA1(1)求證：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．解析：如圖，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，(1)證明：設(shè)C1D＝x，∵AC∥PC1，∴eq\f(C1P,AC)＝eq\f(C1D,CD)＝eq\