基于多分形特征的金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)研究

基于多分形特征的金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)研究

0金融市場多分形領(lǐng)域研究的意義和展望近年來，許多關(guān)于金融資產(chǎn)價(jià)格變化的研究表明，實(shí)際價(jià)格變化的收入分布模式除了具有偏差（sked）和“峰值虛尾”等非正式特征外，還具有重要的非線性特征（公私分）。金融市場多分形特征的發(fā)現(xiàn)對于金融學(xué)的研究與發(fā)展具有重大的理論和現(xiàn)實(shí)意義。分形理論之父Mandelbrot指出,多分形理論中蘊(yùn)含了分形對象復(fù)雜波動(dòng)特征的豐富信息,運(yùn)用它可以精確分析金融資產(chǎn)價(jià)格不同波動(dòng)規(guī)模(風(fēng)險(xiǎn))的不同標(biāo)度(scale)關(guān)系。因此,對于金融市場多分形領(lǐng)域的研究不應(yīng)該只停留在實(shí)證檢驗(yàn)的層面,而應(yīng)該進(jìn)一步挖掘多分形分析中產(chǎn)生的對市場價(jià)格波動(dòng)研究有益的統(tǒng)計(jì)信息?；谶@一認(rèn)識,本文以兩種不同類型金融市場(新興資本市場和成熟資本市場)的股指價(jià)格序列為樣本,由分析價(jià)格變化的多分形特征出發(fā),充分提煉并深入探討了多分形理論中所蘊(yùn)含的有關(guān)價(jià)格波動(dòng)的間接統(tǒng)計(jì)信息。1樣本數(shù)據(jù)的描述和多段分析1.1市場數(shù)據(jù)來源本文采用的研究樣本為上證綜指和S&P500指數(shù)的每5分鐘高頻股價(jià)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)時(shí)間區(qū)間都為2001年3月1日到2006年10月10日,每種指數(shù)約有1400個(gè)交易日。上海證券交易所每個(gè)交易日共有4個(gè)小時(shí)(240分鐘)的連續(xù)競價(jià)交易時(shí)間,采用每5分鐘記錄一個(gè)數(shù)據(jù)的方法,上證綜指每天可以產(chǎn)生48個(gè)高頻股價(jià)記錄(不包括收盤價(jià))。對于S&P500指數(shù),這樣的每天高頻股價(jià)記錄數(shù)量為80個(gè)1。1.2高頻市場指數(shù)相關(guān)關(guān)系H¨older指數(shù)α和多分形譜(multifractalspectrum)f(α)是描述多分形對象特征的一套基本語言。以上證綜指為例,采用“數(shù)盒子”(box-counting)方法計(jì)算股價(jià)序列的α和f(α)的一般過程如下:(1)假設(shè)交易日時(shí)間長度為標(biāo)準(zhǔn)化的1,則無重復(fù)均勻覆蓋上證綜指一天中48個(gè)高頻股價(jià)記錄的盒子長度分別可以取為:1、1/2、1/3、1/4、1/6、1/8、1/12、1/16、1/24、1/48。(2)當(dāng)盒子長度為δ時(shí),假設(shè)覆蓋一天中的所有高頻股價(jià)記錄需要m個(gè)盒子,每個(gè)盒子內(nèi)有n個(gè)記錄,同時(shí)記一天當(dāng)中的高頻股價(jià)記錄為I(t),第i個(gè)盒子中的第j個(gè)指數(shù)為I(ij),則定義在第i個(gè)盒子上的指數(shù)概率測度為:Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)/k∑t=1Ι(t)(i=1,2,?,m,k=48)。若令Nα(δ)表示具有相同H¨older指數(shù)α的長度為δ的盒子個(gè)數(shù),則有如下冪律(Power-law)關(guān)系存在:Ρi(δ)～δα(1)Να(δ)～δ-f(α)(2)(3)定義分割函數(shù)(Partitionfunction)Sq(δ)=m∑i=1Ρqi(δ)?Sq(δ)同樣滿足冪律關(guān)系Sq(δ)～δτ(q)。在實(shí)際計(jì)算時(shí),q的取值范圍以α和f(α)達(dá)到飽和值為準(zhǔn),而τ(q)的值可以通過求取在雙對數(shù)坐標(biāo)軸ln(Sq(δ))～ln(δ)上的直線斜率得出,并且通過Legendre變換可以得到:α=dτ(q)dq(3)f(α)=αq-τ(q)(4)若ln(Sq(δ))～ln(δ)圖隨不同q呈現(xiàn)為斜率不等的直線,則序列具有良好的多分形特征。我們令|q|≤100,按照上述步驟,作出了上證綜指2002年6月3日和S&P500指數(shù)2002年7月23日的ln(Sq(δ))～ln(δ)圖。為清晰起見,圖1中只匯報(bào)出了當(dāng)|q|≤5時(shí)的情況。由圖1可以看出,無論是上證綜指還是S&P500指數(shù),在|q|≤5時(shí),ln(Sq(δ))～ln(δ)圖都呈現(xiàn)出了良好的線性關(guān)系。而且經(jīng)過計(jì)算,q為其它數(shù)值以及其余各天的情況也與此相同。這一結(jié)果確認(rèn)了上證綜指和S&P500指數(shù)的價(jià)格波動(dòng)存在多分形特征,我們可以運(yùn)用多分形語言來描述和研究市場價(jià)格的變化行為。2table的標(biāo)準(zhǔn)差和多分形譜f分布的離散程度按照1.2節(jié)中的步驟,我們繼續(xù)計(jì)算了上證綜指在2002年6月3日和6月4日,以及S&P500指數(shù)在2002年7月23日和7月24日的H¨older指數(shù)α和多分形譜f(α),并將其與兩天中的價(jià)格走勢情況匯報(bào)于圖2和圖3中。由圖2可以看出,上證綜指在2002年6月3日的走勢比較平穩(wěn),價(jià)格波動(dòng)幅度相對較小,這天的H¨older指數(shù)α和多分形譜f(α)的分布就較為集中;而在6月4日,上證綜指價(jià)格波動(dòng)幅度相對較大,對應(yīng)的α和f(α)的分布就較為離散。同樣,圖3中S&P500指數(shù)在2002年7月23日和7月24日的情況也說明了這一規(guī)律的存在。我們進(jìn)一步考慮的是,可以用H¨older指數(shù)α的標(biāo)準(zhǔn)差(Sα)和多分形譜f(α)的標(biāo)準(zhǔn)差(Sf)表示一天中α和f(α)分布的離散程度,從而表示出一天中價(jià)格波動(dòng)的程度大小。具體來講,由于每個(gè)指數(shù)價(jià)格盒子的概率測度Pi(δ)～δα,所以α的標(biāo)準(zhǔn)差Sα就代表了一天中具有不同概率測度盒子的測度值離散程度。Sα越大,表明當(dāng)天價(jià)格走勢分布越分散,即當(dāng)天價(jià)格波動(dòng)的絕對程度越大。而f(α)其實(shí)就是測度對象的豪斯道夫維數(shù)(Hausdorffdimension),該維數(shù)可以用來刻畫測度對象局部混亂(復(fù)雜)的程度。豪斯道夫維數(shù)分布越分散(即f(α)的標(biāo)準(zhǔn)差Sf越大),即測度對象局部的豪斯道夫維數(shù)差別越大,則表明測度對象的混亂程度越高。因此,當(dāng)Sf越大時(shí),價(jià)格序列的局部波動(dòng)混亂程度的差別就越大,一天當(dāng)中的價(jià)格波動(dòng)分布就越不均勻,即價(jià)格波動(dòng)行為越復(fù)雜。為了驗(yàn)證以上認(rèn)識,圖4和圖5分別匯報(bào)了樣本區(qū)間內(nèi)上證綜指和S&P500指數(shù)的收益率序列、每天價(jià)格波動(dòng)的方差、Sα和Sf。由圖4和圖5可以看出,無論是上證綜指還是S&P500指數(shù),其Sα、Sf的分布與價(jià)格波動(dòng)的方差分布具有非常強(qiáng)的相似性,并且在很多時(shí)候,Sα對于價(jià)格大幅波動(dòng)的反映要比方差更敏感,另外Sf還指示了價(jià)格波動(dòng)的相對高低趨勢。值得注意的是,一些文獻(xiàn)中運(yùn)用一天中H¨older指數(shù)α的極差Δα(Δα=αmax-αmin)來反映該天金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的不均勻性。但是我們認(rèn)為,由于Δα只運(yùn)用了一天中所有α值的兩個(gè)記錄,并沒有充分利用H¨older指數(shù)α所提供的所有波動(dòng)信息,而且通過圖2和圖3我們還可以看出,多分形譜f(α)分布本身對于價(jià)格波動(dòng)也有著良好的反映。因此,綜合運(yùn)用α和f(α)的標(biāo)準(zhǔn)差(Sα和Sf)而不只是α的極差Δα來作為多分形波動(dòng)率測度的構(gòu)建基礎(chǔ)無疑具有更為合理和堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。3金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的信息本文以上證綜指和S&P500指數(shù)為例,在確認(rèn)了股指價(jià)格波動(dòng)具有多分形特征的基礎(chǔ)上,充分提煉并探討了多分形語言中所蘊(yùn)含的價(jià)格波動(dòng)信息。運(yùn)用多分形分析研究金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng),就像用不同倍數(shù)的放大鏡來觀察同一事物一樣,可以得到不同幅度的價(jià)格波動(dòng)信息,而這些信息對于金融風(fēng)險(xiǎn)管理、衍生產(chǎn)品定價(jià)等具有相當(dāng)?shù)闹匾?。因?/p>