板材成本控制問題

板材成本控制問題【摘要】本文解決了板材成本控制問題即如何下料，并建立初等模型來進行求解，并用線性規(guī)劃的方法計算最大用材數(shù)y與長寬比l的關(guān)系。確定切割成的用材數(shù)最大以及最大數(shù)與板材長寬比的關(guān)系。根據(jù)四個問題建立不等式，運用分類討論，線性規(guī)劃等方法綜合求解，最終結(jié)果通過LINGO軟件運行，并給出結(jié)果表達式。關(guān)于確定最大用材數(shù)y與長寬比l的關(guān)系，題設(shè)的要求是16nA/B25，即要求原板材的面積A與每個用材的面積B的比值n在16和25范圍之內(nèi)。依據(jù)此要求，我們在四個問題中分情況討論可能的下料方式。除了第一個問題討論一種情況，其余問題分別各討論三種下料方式，根據(jù)其中各個變量的關(guān)系來確定最大用材數(shù)y與長寬比l的關(guān)系。問題一：正方形，按照最規(guī)則的順序排列，依據(jù)正方形的邊長與原矩形長寬的關(guān)系來確定最大用材數(shù)和長寬比的表達式。問題二：圓形，分為四種下料方式，一是整齊排列，即將每個圓看成是一個正方形，簡化了問題；二是錯位排列，使圓形相互錯開緊密排列即下一排的圓在上一排兩個圓之間，這種方法材料利用率比第一種高；第三種是將第一二種結(jié)合，即既有整齊排列也有相互錯開緊密排列；第四種為不規(guī)則排列，用料較多舍棄。根據(jù)每個情況中圓半徑原板材長寬之間的關(guān)系來確定最大用材數(shù)和長寬比的表達式。問題三：長寬比為2的矩形，也分為三種下料方式，一是把兩個長方形當成是一個正方形來處理；二是幾行長方形橫著排列，幾行長方形豎著排列也可以把兩個長方形當成是正方形來處理〔其結(jié)果相同〕，分為許多種小情況；第三種為不規(guī)則排列，用料浪費所以舍棄。根據(jù)每個情況中各個變量之間的關(guān)系來確定最大用材數(shù)和長寬比的表達式。問題四：長寬比為m的矩形，分為四種下料方式分析。第一種是長方形橫排，第二種是長方形豎排，而第三種是第一二種的結(jié)合，第四種不規(guī)則排列浪費所以舍棄。根據(jù)各個關(guān)系來確定最大用材數(shù)和長寬比的表達式。關(guān)鍵詞：板材成本控制、初等模型、線性規(guī)劃、分類比較

目錄1問題重述...............................................2問題分析...............................................00總體分析...................................................................................................................................0問題一的分析...........................................................................................................................0問題二的分析...........................................................................................................................0問題三的分析...........................................................................................................................0問題四的分析...........................................................................................................................13符號說明...............................................4模型假設(shè)...............................................5模型建立...............................................122問題二模型的建立問題三模型的建立問題四模型的建立...................................................................................................................3...................................................................................................................7.................................................................................................................106模型求解及結(jié)果分析....................................13問題一的模型求解及結(jié)果分析.............................................................................................13問題一的模型求解問題一的結(jié)果分析.........................................................................................................13.........................................................................................................15問題二的模型求解及結(jié)果分析.............................................................................................15問題二的模型求解問題二的結(jié)果分析.........................................................................................................15.........................................................................................................21問題三的模型求解及結(jié)果分析.............................................................................................21問題三的模型求解問題三的結(jié)果分析.........................................................................................................21.........................................................................................................23問題四的模型求解及結(jié)果分析.............................................................................................23問題四的模型求解問題四的結(jié)果分析.........................................................................................................23.........................................................................................................287模型的優(yōu)缺點分析......................................28模型優(yōu)點.................................................................................................................................28模型缺點.................................................................................................................................288改良方向..............................................9參考文獻..............................................2828

1問題重述板材下料成本控制問題是經(jīng)典的優(yōu)化問題?？紤]一塊面積為A，長寬比為l的板材?，F(xiàn)在需要切割成面積為B的用材。16nA/B25，不妨假設(shè)n為整數(shù)。請根據(jù)以下需求，建立實際問題的數(shù)學建模，確定最大的用材數(shù)y與l的關(guān)系?！?〕用材為正方形，1l2?！?〕用材為圓形，1l2。并給出可能的不同下料方式?！?〕用材為矩形，長寬比為2，1l2。并給出可能的不同下料方式?！?〕用材為矩形，長寬比為m，1l2，1m2。并給出可能的不同下料方式。2問題分析這四個問題有個共同的特點：都是求解如何下料使得切割的用材數(shù)最大以及最大用材數(shù)和板材長寬比的關(guān)系。不同點就是同一種下料方式不一定都適用于這四種情況。就第一個問題而言，相對于其他三個較為簡單。下料方式就是使正方形整齊排列來切割板材使得得到的用材數(shù)最大。其他的下料方式〔例如斜著切割〕會導致板材浪費較多。就問題二來說，可分為四大種情況來考慮。第一種是讓圓形整齊排列，關(guān)鍵在于把每個圓形當成一個正方形來處理，簡化了問題。第二種是使圓形相互錯開緊密排列即下一排的圓在上一排兩個圓之間，關(guān)鍵在于找出板材長與寬分別與能放的圓的個數(shù)的關(guān)系，然后根據(jù)這關(guān)系來解決問題。第三種是前兩種情況的結(jié)合，即既有整齊排列也有相互錯開緊密排列，這種情況包括了很多種小情況，比方先整齊排列后是間隔排列，或者整齊排列與間隔排列相互交錯，針對每一種情況都有不同的解題方式。第四種情況就是不規(guī)則排列，由于這種下料方式會導致板材浪費較多所以舍棄。就問題三來說，可分為四種情況來考慮。第一種是把長方形全部橫放來處理，關(guān)鍵是先使長方形整齊排列在判斷剩余邊角料部分能否放進去一個長方形其中兩個上下緊挨著的長方形可以看做是兩個長方形豎著緊挨著擺放。第二種情況是把長方形豎著擺放，關(guān)鍵是先使長方形整齊排列在判斷剩余邊角料部分能否放進0

去一個長方形，其中兩個左右緊挨著的長方形可以看做是兩個橫著上下緊挨著的長方形擺放。第三種情況是幾行長方形橫著排列，幾行長方形豎著排列也可是把兩個長方形當成是正方形來處理〔其結(jié)果相同〕都有即有許多種小情況，這種情況可以簡化成先是橫著排列再是豎著排列，其結(jié)果與這許多小情況結(jié)果形同。其邊角料處理方法與第一種類似。第四種情況就是不規(guī)則排列，由于這種下料方式會導致板材浪費較多所以舍棄。就問題四來說有四種情況，第一種是長方形橫著整齊排列，排剩余的邊角料部分判斷是否可以豎著放進去長方形，分情況處理。第二種是長方形豎著排列，其方法與第一種類似。第三種是幾排橫著，幾排豎著排列，可見其中有幾種小情況，但都可簡化為先橫著排列在豎著排列的情況處理。第四種情況是不規(guī)則排列，由于這種下料方式會導致板材浪費較多所以舍棄。3符號說明符號表示說明板材的面積ABa用材的面積板材的寬l板材的長寬比labr板材的長用材〔正方形〕邊長用材〔圓形〕半徑用材〔矩形〕寬用材〔長寬之比為2的矩形〕長用材〔長寬之比為m)長最大的用材數(shù)x2xmxy14模型假設(shè)[1]假設(shè)不考慮刀具的厚度；[2]假設(shè)不考慮在切割板材的過程中的損耗；[3]假設(shè)不考慮板材厚度的影響；[4]假設(shè)不考慮人為的損耗；[5]假設(shè)不考慮切割工藝的不同；[6]切割過程中不會出現(xiàn)機器故障等其他非正常故障。[7]假設(shè)每次切割都準確無誤。5模型建立問題一模型的建立作為板材下料成本控制問題的決策者，決定板材A的長寬比l，所以決策變量為l,引入?yún)?shù)正方形的邊長b。決策者的目的是使用材數(shù)y所以目標函數(shù)為alay[][]〔1〕bb又因為板材面積A與用材面積B有關(guān)系16nA/B25(2)Alaa(3)2Bb(4)所以有約束條件2lab1625(5)22即4alb5(6)l另外有1l2(7)所以約束條件為4alb5(6)l1l2(7)0ba(8)作為板材下料成本控制問題的決策者，決定板材A的長寬比l，所以決策變量為l,引入?yún)?shù)圓形的半徑rr,決策者的目的是使用材數(shù)y最大。根據(jù)問題二的分析，第一種下料情況如圖5.2.1所示所以目標函數(shù)為y[a][la](9)2r2r又因為板材面積A與用材面積B有關(guān)系16nA/B25(2)Alaa(3)2Br(10)所以22lar1625(11)3即44a5r(12)(12)lll另外有1l2(7)所以約束條件為a5rl1l2(7)02ra(13)02rla〔14〕(a)(b)(a),一共排的行數(shù)n[a2r]1(14)3ral根據(jù)歸納分析得當[]為奇數(shù)時，即第一排最后一個圓大于半個圓但不是整圓，rla[]1r2所以每一行的整圓的個數(shù)是相同的，第一行整圓的個數(shù)是，所以總共的la[]1alr用材數(shù)為n,當[]為偶數(shù)時，第一排最后一個圓小于半個圓，奇數(shù)行的2rla[]r2整圓的個數(shù)總比偶數(shù)行正圓的個數(shù)大1，第一行整圓的個數(shù)為，所以總共的4la[]r2n用材數(shù)為n[]。所以目標函數(shù)為2(15)約束條件有4a5(12)lrl1l2(7)02ra(13)02rla〔16〕(b)(a)處理方法，所以目標函數(shù)為(17)約束條件有4a5(12)rll1l2(7)02ra(13)02rla〔16〕5引進參數(shù)，整齊擺放的圓形的行數(shù)由歸納分析得m1，相互錯開緊密擺放的圓形的行數(shù)m2，a3rm12r（m21)3r2ra〔18〕所在長上，整齊擺放的整個圓形的個數(shù)為[la]；相互錯開緊密擺放的整個圓中，2r偶數(shù)行擺放的整圓的個數(shù)為[la]，假設(shè)是2rrla[la]2r2r〔19〕2r則奇數(shù)行擺放的整圓的個數(shù)為[la]，則目標函數(shù)為2ry[la](m1m2)〔20〕2r假設(shè)是0la[la]2rr〔21〕2r則奇數(shù)行擺放的整圓的個數(shù)為[la]1，則目標函數(shù)為2rmy[la](m1m2)[2]〔22〕2r2所以目標函數(shù)為〔23〕約束條件為a3rm12r（m21)3r2ra〔18〕4a5r(12)ll61l2(7)02ra(13)02rla〔16〕作為板材下料成本控制問題的決策者，決定板材A的長寬比l，所以決策變量為l，引入?yún)?shù)用材〔矩形〕寬x,則長為2x,決策者的目的是使用材數(shù)y最大。所以目標函數(shù)為y[a][la](24)x2x假設(shè)是板材長度放整個長方形外還有剩余，且剩余長度足夠豎著放進去一個長方形即xla[la]2x2x(25)2x則還能放進[a]個長方形，即2xy[a][la][a](26)x2x假設(shè)是剩余長度不夠豎著放進去一個長方形級即2xla0la[]2xx(27)2x所以此時y[a][la](24)x2x因此目標函數(shù)為(28)又因為板材面積A與用材面積B有關(guān)系716nA/B25(2)Alaa(3)Bx2x(29)所以2lax1625(30)22即42a52(31)xll另有1l2(7)0xa(32)02xla(33)所以約束條件為42a52(31)lxl1l2(7)0xa(32)02xla(33)同第一種情況，所以目標函數(shù)為(34)約束條件為842a52(31)xll1l2(7)0xa(32)02xla(33)引進參數(shù)，橫著擺放矩形的行數(shù)m1，豎著擺放矩形的行數(shù)m2，則axm1xm22xa〔35〕所以在長上，橫著擺放的矩形個數(shù)為[la]，豎著擺放的矩形個數(shù)為[la]2，所2x2x以目標函數(shù)m1[la]m2[la]2〔36〕y2x2x假設(shè)是板材長度放整個長方形外還有剩余，且剩余長度足夠豎著放進去一個長方形即xla[la]2x2x(25)2x則還能放進[a]個長方形，即2xym1[la]m2[la]2[a]〔37〕2x2x假設(shè)是剩余長度不夠豎著放進去一個長方形級即2x0la[la]2xx(27)2x所以此時m1[la]m2[la]2〔36〕y2x2x因此目標函數(shù)為9〔38〕約束條件為axm1xm22xa〔35〕42a52(31)lxl1l2(7)0xa(32)02xla(33)作為板材下料成本控制問題的決策者，決定板材A的長寬比l，所以決策變量為l，引入?yún)?shù)用材〔矩形〕寬x,則長為mx,決策者的目的是使用材數(shù)y最大。m的矩形第一種下料方式所以目標函數(shù)為y[a][la](39)xmx假設(shè)是板材長度放整個長方形外還有剩余，且剩余長度足夠豎著放進去一個長方形即xla[la]mxmx(40)mx則還能放進[a]個長方形，即mxy[a][la][a](41)xmx假設(shè)是剩余長度不夠豎著放進去一個長方形級即mx100la[la]mxx(42)mx所以此時y[a][la](39)xmx因此目標函數(shù)為(43)又因為板材面積A與用材面積B有關(guān)系16nA/B25(2)Alaa(3)Bxmx(44)所以2la1625(45)2xm即4ma5m(46)lxl另有1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)所以約束條件為4ma5m(46)lxl1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)11m的矩形第二種下料方式同第一種情況，所以目標函數(shù)為(49)約束條件為4ma5m(46)lxl1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)m的矩形第三種下料方式引進參數(shù)，橫著擺放矩形的行數(shù)m1，豎著擺放矩形的行數(shù)m2，則axm1xm2mxa〔49〕所以在長上，豎著擺放的矩形個數(shù)為[]，橫著擺放的矩形個數(shù)為[la]，所以目laxmx標函數(shù)lalam1[]m2[]〔50〕2xxy假設(shè)是板材長度放整個長方形外還有剩余，且剩余長度足夠豎著放進去一個長方形即12xla[la]mxmx(40)mx則還能放進[amxmxm2]個長方形，即amxm2]〔51〕mxym1[la]m2[la][2xx假設(shè)是剩余長度不夠豎著放進去一個長方形級即0la[la]mxx(42)mx所以此時m1[la]m2[]〔50〕lay2xx因此目標函數(shù)為〔52〕約束條件為axm1xm2mxa〔49〕4ma5m(46)xll1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)6模型求解及結(jié)果分析根據(jù)問題一的模型，用LINGO求解最優(yōu)解，程序代碼如下所示，max=n*m;@bnd(1,l,2);b>0;a>0;s=a^2*l/b^2;13@gin(s);s>=16;s<=25;d=a/b;n=@floor(d);m=@floor(d*l);運行結(jié)果如圖6.1.1.1所示14a所以，當l1,[]5,時y最大，y25。b下料方式就是使正方形整齊排列來切割板材使得得到的用材數(shù)最大。其他的下料方式〔例如斜著切割〕會導致板材浪費較多。當l取其他值的時候，例如l2a時，y21所以，當l1,[]5,時y最大，y25。b根據(jù)問題二的模型，用LINGO求解最優(yōu)解，第一種下料方式程序代碼如圖下所示，max=n*m;@bnd(1,l,2);r>0;a>0;s=a^2*l/(@PI()*r^2);@floor(s)>=16;@floor(s)<=25;d=a/(2*r);n=@floor(d);m=@floor(d*l);15所以，當l1.28,a2.80,r0.35時y最大，y20。第二種下料方式程序代碼如圖下所示max=@if(g#eq#0,m/2*n-@bnd(1,l,2);@floor(n/2),(m-1)/2*n);r>0;16a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a/r;@gin(n);d<=n*@sqrt(3)+2;d>=(n-1)*@sqrt(3)+2;m=@floor(d*l);g=@mod(m,2);max=@if(g#eq#0,m/2*n-@floor(n/2),@floor((m-1)/2*n));@bnd(1,l,2);r>0;a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a*l/r;@gin(n);d<=n*@sqrt(3)+2;d>=(n-1)*@sqrt(3)+2;m=@floor(d/l);g=@mod(m,2);17

(a)18(b)所以，對于(a)當l1.52,a1.34,r0.19時y最大，y18。對于(b)當l1.60,a23.49,r3.36時y最大，y18。19第三種下料方式程序代碼如下所示max=@if(@mod(n,2)#eq#0,n/2*(m1+m2)-@floor(m2/2),(n-1)/2*(m1+m2));@bnd(1,l,2);r>0;a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a/r;@gin(m1);@gin(m2);m1>=0;m2>=0;n=@floor(d*l);d<=m2*@sqrt(3)+2*m1+2;d>=(m2-1)*@sqrt(3)+2*m1+2;20圖6.2.1.3。問題二第三種下料方式運行結(jié)果所以，當l1.33,a41.44,r5.51，m11，m23時y最大，y18。這三種方案進行比較，第一種方案切割的用材數(shù)最大，其他的下料方式〔例如斜著切割〕會導致板材浪費較多。所以，按照第一種切割方式切割較為合理，即按照第一種切割方式，當l1.28,a2.80,r0.35時y最大，y20。根據(jù)問題三的模型，用LINGO求解最優(yōu)解，第一種下料方式程序代碼如下所示，max=@floor(c*d/2);@bnd(1,l,2);b>0;a>b;@gin(s);s=a^2*l/(2*b^2);s>=16;21s<=25;c=@floor(a/b);d=@floor(a*l/b);所以，當l2，a3.80，x0.76時，y最大，y25。由于兩個矩形可看做一個正方形，所以前三種方案所能切割的最大用材數(shù)相同，即當l2，a3.80，x0.76時，y最大，y25。22由于其與切割方式會使板材利用不充分導致板材浪費較多。任意一種切割方式都可獲得最大的用材數(shù)25所以按照前三種根據(jù)問題四的模型，用LINGO求解最優(yōu)解，第一種下料方式程序代碼如下所示，max=@if(d*l-n*m#ge#0#and#d*l-n*m#lt#1,n*@floor(d),n*@floor(d)+c);@bnd(1,l,2);@bnd(1,m,2);b>0;a>b;@gin(s);s=a^2*l/(m*b^2);s>=16;s<=25;@gin(n);n=@floor(d*l/m);d=a/b;c=@floor(d/m);d*l/m-n<=1;d*l/m-n