三角形“四心”的向量表示及應(yīng)用

三角形“各心”的向量表示及應(yīng)用石家莊市第十九中學(xué)岳儒芳在《平面向量》這一章，用向量知識研究平面圖形性質(zhì)是本章的一個重要方面．這充分體現(xiàn)了向量知識與平面幾何知識的聯(lián)系．例如以向量為視角研究三角形的“各心”，可以得到三角形“各心”的向量表示．由于三角形的“各心”與向量之間有著密切的聯(lián)系，這就為運用向量法解決這類“心”題提供了可能性．與三角形“各心”有關(guān)的向量問題是一類極富思考性和挑戰(zhàn)性，又具有相當深度和難度的重要題型，備受各級各類考試命題者的青睞，頻頻出現(xiàn)在各級各類考試中，凸現(xiàn)出較好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的極好素材．下面擷取一些例子加以剖析，希望能起到拋磚引玉的效果．一、知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心——三角形的三條中線的交點；2、垂心——三角形的三條垂線的交點；3、內(nèi)心——三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點（三角形內(nèi)切圓的圓心）；4、外心——三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心）根據(jù)概念，可知各心的特征條件．比如：重心將中線長度分成2：1；垂線與對應(yīng)邊的向量積為0；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點的距離相等．（二）三角形各心的向量表示O是的重心；O是的垂心；O是的外心(或)；O是的內(nèi)心；注意：向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)ACACBCCP(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1．(03年新課標)是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，,則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心解析：因為是向量的單位向量，設(shè)與方向上的單位向量分別為和，又，則原式可化為，由菱形基本性質(zhì)可知平分，那么在中，平分，故選B．點評：解決此題，關(guān)鍵是要知道表示向量的單位向量．另外，此題所用的都是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，就很容易求解此題．(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查例2．(2005．湖南文)是所在平面上一點，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心 D．垂心解析：由得.即即,則，所以P為的垂心．故選D．點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識．將三角形垂心定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合．(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查例3．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是的重心.證明：，∵G是△ABC的重心，∴==，即,由此得.（反之亦然（證略））(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例4．若為內(nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等．故是的外心，故選B．點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合．(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例5．已知向量，，滿足條件++=，||=||=||=1，求證:△P1P2P3是正三角形．（《數(shù)學(xué)》第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明：由已知+=，兩邊平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，從而△P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正△P1P2P3的中心，則顯然有++=且||=||=||．即O是△ABC所在平面內(nèi)一點，++=且||=||=||點O是正△P1P2P3的中心．三、專題訓(xùn)練1．已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是的重心，動點P滿足=(++2),則點P一定為三角形ABC的（）A．AB邊中線的中點B．AB邊中線的三等分點（非重心）C．重心D．AB邊的中點2．在同一個平面上有及一點O滿足關(guān)系式：，則Ｏ為的（

）Ａ．外心Ｂ．內(nèi)心C．重心D．垂心3．已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過的（

）Ａ．外心Ｂ．內(nèi)心C．重心D．垂心4．已知P為所在平面上一點，且點P滿足，則點P為的（

）Ａ．外心Ｂ．內(nèi)心C．重心D．垂心5．在中，動點P滿足,則P點軌跡一定通過的（）Ａ．外心Ｂ．內(nèi)心C．重心D．垂心6．已知非零向量與滿足,且,則為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形7．（2009年．陜西卷文）在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）Ａ．Ｂ．C．D．8．（2009年．寧夏海南卷理）已知在所在平面內(nèi)，且，，且，則點依次是的（）A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心9.(2005.全國理)外接圓的圓心為，兩條邊上高的交點為，，則實數(shù)=________．參考答案或提示1、B．提示：取AB邊中點M，則，由=(++2),可得，∴，即點P為中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B．2、D．提示：由得,即,,,同理,,故選D．3、C．提示：設(shè)邊中點為,則有，即,∴過的重心，故選C．4、B．提示：則,所以，因為分別為,方向上的單位向量，所以向量平分,因為與共線，所以平分，同理平分,平分,所以是的內(nèi)心，故選B．5、A．提示：，即，∴,∴以,為鄰邊的平行四邊形的對角線互相垂直，∴點在線段的中垂線上，故選A．6、D．提示：，∴角A的平分線垂直