九年級函數(shù)專題

一次函數(shù)和反比例函數(shù)考點1：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系例1、（2012?黃石）已知反比例函數(shù)y=（b為常數(shù)），當x＞0時，y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=x+b的圖象不經(jīng)過第幾象限（）A、一B、二C、三D、四例2、（2012?貴陽）在正比例函數(shù)y=-3mx中，函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，則P（m，5）在第象限。例3、已知二次函數(shù)y=ax2-1的圖象開口向下，則直線y=ax-1經(jīng)過的象限是（）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第一、三、四象限D(zhuǎn)、第二、三、四象限總結(jié)：注意a、b、c的意義，及一次函數(shù)的k和b的意義.變式：1、若實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且a＜b＜c，則函數(shù)y=ax+c的圖象可能是（）A．B．C．D．考點2：一次函數(shù)的確定例1、（2012?湘潭）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過點（0，2），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的解析式。例2、一次函數(shù)y=mx+|m-1|的圖象過點（0，2），且y隨x的增大而增大，則m=（）A．-1B．3C．1D．-1或3總結(jié)：注意一次函數(shù)的k和b的意義變式：1、如圖1，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（6，4）；若直線l經(jīng)過點（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式是（）A、y=x+1B、y=+1C、y=3x-3D、y=x-1圖1圖22、已知四條直線y=kx-3，y=-1，y=3和x=1所圍成的四邊形的面積是12，則k的值為（）A、1或-2B、2或-1C、3D、43、如圖2，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，點B的坐標為（-1，2），將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1O，則過A1，B兩點的直線解析式為。考點3：一次函數(shù)的平移如圖1，直線l：y=x+2與y軸交于點A，將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)90°后，所得直線的解析式為（）A、y=x-2B．y=-x+2C．y=-x-2D．y=-2x-1圖1圖2變式：1、在平面直角坐標系中，把直線y=-3x-2向左平移3個單位長度后，其直線解析式為。2、如圖2，把直線y=-2x向上平移后得到直線AB，直線AB經(jīng)過點（a，b），且2a+b=6，則直線AB的解析式是（）A、y=-2x-3B、y=-2x-6C、y=-2x+3D、y=-2x+6考點4：一次函數(shù)與方程（組）不等式（組）的關系例1、（2012?桂林）如圖，函數(shù)y=ax-1的圖象過點（1，2），則不等式ax-1＞2的解集是。例2、（2012?恩施州）如圖，直線y=kx+b經(jīng)過A（3，1）和B（6，0）兩點，則不等式組0＜kx+b＜x的解集為。（例1圖）（例2圖）（例3圖）例3、如圖，直線y1=k1x+a與y2=k2x+b的交點坐標為（1，2），則使y1＜y2的x的取值范圍為（）A、x＞1B、x＞2C、x＜1D、x＜2總結(jié)：通常過交點作y軸的平行線，接著比較函數(shù)值的大小。例4、（2012?貴陽）如圖，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象與y=k2x+b2的圖象相交于點P，則方程組的解是（）A、B、C、D、例5、如圖，過點Q（0，3.5）的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點P，能表示這個一次函數(shù)圖象的方程是（）A、3x-2y+3.5=0B、3x-2y-3.5=0C、3x-2y+7=0D、3x+2y-7=0例6、如圖，直線l1，l2交于點A，觀察圖象，點A的坐標可以看作方程組的解。（例4圖）（例5圖）（例6圖）總結(jié)：一次函數(shù)圖像的交點即為方程組的解?？键c5：一次函數(shù)的應用例1、（2012?漳州）某校為實施國家“營養(yǎng)早餐”工程，食堂用甲、乙兩種原料配制成某種營養(yǎng)食品，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下表：原原料維生素C及價格甲種原料乙種原料維生素C（單位/千克）600400原料價格（元/千克）95現(xiàn)要配制這種營養(yǎng)食品20千克，要求每千克至少含有480單位的維生素C．設購買甲種原料x千克。（1）至少需要購買甲種原料多少千克？（2）設食堂用于購買這兩種原料的總費用為y元，求y與x的函數(shù)關系式．并說明購買甲種原料多少千克時，總費用最少？例2、（2012?遵義）為了促進節(jié)能減排，倡導節(jié)約用電，某市將實行居民生活用電階梯電價方案，圖中折線反映了每戶每月用電電費y（元）與用電量x（度）間的函數(shù)關系式．（1）根據(jù)圖象，階梯電價方案分為三個檔次，填寫下表：檔次第一檔第二檔第三檔每月用電量x（度）0＜x≤140（2）小明家某月用電120度，需交電費元；（3）求第二檔每月電費y（元）與用電量x（度）之間的函數(shù)關系式；（4）在每月用電量超過230度時，每多用1度電要比第二檔多付電費m元，小剛家某月用電290度，交電費153元，求m的值。總結(jié):分析實際問題中的函數(shù)意義。考點6：一次函數(shù)的綜合例1、如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標是（2，4）．

（1）求G點坐標；

（2）求直線EF解析式；

（3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由。線，觀察是否存在?？键c7：反比例函數(shù)解析式的確定例1、（2012?哈爾濱）如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，-2），則k的值是（）A、2B、-2C、-3D、3例2、（2012?濰坊）點P在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，點Q（2，4）與點P關于y軸對稱，則反比例函數(shù)的解析式為。例3、（2012?廣元）已知關于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的實數(shù)解，且反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，那么反比例函數(shù)的關系式為（）A、B、C、D、考點8、反比例函數(shù)的性質(zhì)例1、（2012?佳木斯）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)圖象的兩個分支分別在（）A、第一、三象限B、第二、四象限C、第一、二象限D(zhuǎn)、第三、四象限例2、（2012?臺州）點（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函數(shù)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是。例3、（2012?孝感）若正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)圖象的一個交點坐標為（-1，2），則另一個交點的坐標為。例4、（2012?恩施州）已知直線y=kx（k＞0）與雙曲線交于點A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1y2+x2y1的值為（）A、-6B、-9C、0D、9例5、（2012?南京）若反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點，則k的值可以是（）A、-2B、-1C、1D、2例6、（2012?宿遷）在平面直角坐標系中，若一條平行于x軸的直線l分別交雙曲線和于A，B兩點，P是x軸上的任意一點，則△ABP的面積等于。變式1、（2012?青島）點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3的大小關系是。2、（2012?菏澤）反比例函數(shù)的兩個點（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，則下式關系成立的是（）A、y1＞y2B、y1＜y2C、y1=y2D、不能確定考點9：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖像共存問題例1、如圖，反比例函數(shù)y=（k≠0）與一次函數(shù)y=kx+k（k≠0）在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A．B．C．D．總結(jié)：根據(jù)圖像性質(zhì)進行區(qū)別.變式：一次函數(shù)y=x+m（m≠0）與反比例函數(shù)y=的圖象在同一平面直角坐標系中是（）A．B．C．D．2、函數(shù)y=kx+b與函數(shù)y=在同一坐標系中的大致圖象正確的是（）A．B．C．D．考點10：反比例函數(shù)k的幾何意義例3、如下左圖，直線y=﹣x+b（b＞0）與雙曲線y=QUOTE（x＞0）交于A、B兩點，連接OA、OB，AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N；有以下結(jié)論：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S△AOB=k；④當AB=QUOTE時，ON﹣BN=1.其中結(jié)論正確的個數(shù)為個。例4、如下右圖，是反比例函數(shù)和（k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點，若S△AOB=2，則k2-k1的值是_________。OBOBAxy例3、（2012?鐵嶺）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線（k≠0）上，AB∥x軸，分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為D、C，若矩形ABCD的面積是8，則k的值為（）A、12 B、10 C、8 D、6例4、（2012?株洲）如圖，直線x=t（t＞0）與反比例函數(shù)的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上的任意一點，則△ABC的面積為（）A、3 B、 C、 D、不能確定（例1圖）（例2圖）變式：1、如下左圖所示，點A1，A2，A3在x軸上，且OA1=A1A2=A2A3，分別過點A1，A2，A3作y軸的平行線，與反比例函數(shù)y=（x>0)的圖象分別交于點B1，B2，B3，分別過點B1，B2，B3作x軸的平行線，分別交y軸于點C1，C2，C3，連接OB1，OB2，OB3，那么圖中陰影部分的面積之和為。如下中圖，雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA與軸正半軸的夾角，AB∥軸，將△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇點落在OA上，則四邊形OABC的面積是。如上右圖，在函數(shù)（x＞0）的圖象上，有點，，，…，，，若的橫坐標為2，且以后每點的橫坐標與它前面一個點的橫坐標的差都為2，過點，，，…，，分別作x軸、y軸的垂線段，構(gòu)成若干個矩形如圖所示，則=?？键c11：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用例1、（2012?岳陽）如圖，一次函數(shù)y1=x+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AO、BO，下列說法正確的是（）A、點A和點B關于原點對稱B、當x＜1時，y1＞y2C、S△AOC=S△BODD、當x＞0時，y1、y2都隨x的增大而增大例2、（2012?肇慶）已知反比例函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第一、第三象限；（1）求k的取值范圍；（2）若一次函數(shù)y=2x+k的圖象與該反比例函數(shù)的圖象有一個交點的縱坐標是4．①求當x=-6時反比例函數(shù)y的值；②當0＜x＜時，求此時一次函數(shù)y的取值范圍。2.如圖，直線y=k1x+b與雙曲線y=相交于A（1，2）、B（m，-1）兩點．

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1＜x2＜0＜x3，請直接寫出y1，y2，y3的大小關系式；

（3）觀察圖象，請直接寫出不等式k1x+b＞的解集．例3、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+n與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y=在第一象限內(nèi)交于點C（1，m）；

（1）求m和n的值；

（2）過x軸上的點D（3，0）作平行于y軸的直線l，分別與直線AB和雙曲線y=交于點P、Q，求△APQ的面積。課后作業(yè)：1、當三角形的面積為常數(shù)時，底邊與底邊上的高的函數(shù)關系的圖象大致是（）2、對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A、點在它的圖象上 B、它的圖象在第一、三象限C、當時，隨的增大而增大 D、當時，隨的增大而減小3、如圖，，，是雙曲線上的三點，過這三點分別作軸的垂線，得到三個三角形，，，設它們的面積分別是，，則（）．Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、4、如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M、N兩點.⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；⑵根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.5、（2008年重慶市）已知：如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B，點A的坐標為（1，3），點B的縱坐標為1，點C的坐標為（2，0）.（1）求該反比例函數(shù)的解析式；（2）求直線BC的解析式.二次函數(shù)考點分析：考點一：二次函數(shù)圖象上點的坐標特點例1、（2012?常州）已知二次函數(shù)y=a（x-2）2+c（a＞0），當自變量x分別取、3、0時，對應的函數(shù)值分別：y1，y2，y3，，則y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A、y3＜y2＜y1 B、y1＜y2＜y3 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2變式：（2012?衢州）已知二次函數(shù)y=x2-7x+，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A、y1＞y2＞y3B、y1＜y2＜y3C、y2＞y3＞y1D、y2＜y3＜y1考點二：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2、（2012?咸寧）對于二次函數(shù)y=x2-2mx-3，有下列說法：①它的圖象與x軸有兩個公共點；②如果當x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；③如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=-1；④如果當x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相等，則當x=2012時的函數(shù)值為-3。其中正確的說法是．（把你認為正確說法的序號都填上）變式：（2012?河北）如圖1，拋物線y1=a（x+2）2-3與y2=（x-3）2+1交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②a=1；③當x=0時，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正確結(jié)論是（）A、①② B、②③ C、③④ D、①④（圖1） （圖2） （圖3）考點三：拋物線的特征與a、b、c的關系例3、（2012?玉林）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，其對稱軸為x=1，有如下結(jié)論：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，則正確的結(jié)論是（）A、①② B、①③ C、②④ D、③④變式：1、（2012?重慶）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖3所示對稱軸為x=；下列結(jié)論中，正確的是（）A、abc＞0 B、a+b=0 C、2b+c＞0 D、4a+c＜2b2、（2012?天門）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（-1，0），（3，0）．對于下列命題：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0；其中正確的有（）A、3個B、2個C、1個D、0個3、（2012?孝感）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的對稱軸是直線x=1，其圖象的一部分如圖所示．對于下列說法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④當-1＜x＜3時，y＞0；其中正確的是（把正確的序號都填上）．（第2題圖）（第3題圖）總結(jié)：注意a、b、c的意義，及a、b、c與方程根的關系?？键c四：拋物線的平移例1、（2012?桂林）如圖，把拋物線y=x2沿直線y=x平移個單位后，其頂點在直線上的A處，則平移后的拋物線解析式是（）A、y=（x+1）2-1B、y=（x+1）2+1C、y=（x-1）2+1D、y=（x-1）2-1例2、拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2-2x-3，則b=、c=。例3、（2012?揚州）將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得拋物線的函數(shù)關系式是（）A、y=（x+2）2+2B、y=（x+2）2-2C、y=（x-2）2+2D、y=（x-2）2-2例4、（2012?宿遷）在平面直角坐標系中，若將拋物線y=2x2-4x+3先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，則經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的頂點坐標是（）A、（-2，3）B、（-1，4）C、（1，4）D、（4，3）例5、（2012?陜西）在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m個單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點，則|m|的最小值為（）A、1B、2C、3D、6總結(jié)：拋物線平移問題，先將二次函數(shù)化為頂點式，再進行“左＋右－，上＋下－”變式：1、在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2B．y=-（x-1）2+4C．y=-（x-1）2+2D．y=-（x+1）2+42、平面直角坐標系中，若平移二次函數(shù)y=（x-2009）（x-2010）+4的圖象，使其與x軸交于兩點，且此兩點的距離為1個單位，則平移方式為（）A．向上平移4個單位B．向下平移4個單位C．向左平移4個單位D．向右平移4個單位3、將拋物線C：y=x2+3x-10，將拋物線C平移到C′．若兩條拋物線C，C′關于直線x=1對稱，則下列平移方法中正確的是（）A、將拋物線C向右平移個單位B、將拋物線C向右平移3個單位C、將拋物線C向右平移5個單位D、將拋物線C向右平移6個單位考點五：二次函數(shù)的最值例5、（2012?呼和浩特）已知：M，N兩點關于y軸對稱，且點M在雙曲線上，點N在直線y=x+3上，設點M的坐標為（a，b），則二次函數(shù)y=-abx2+（a+b）x（）A、有最大值，最大值為B、有最大值，最大值為C、有最小值，最小值為D、有最小值，最小值為變式：（2012?蘭州）已知二次函數(shù)y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，則a，b的大小關系為（）A、a＞bB、a＜bC、a=bD、不能確定考點六：確定二次函數(shù)關系式例6、（2012?珠海）如圖，二次函數(shù)y=（x-2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B；（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范圍。AABCOxy變式：（2012?佳木斯）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0）；（1）求此拋物線的解析式；（2）寫出頂點坐標及對稱軸；（3）若拋物線上有一點B，且S△OAB=3，求點B的坐標．考點七：二次函數(shù)與x軸的交點問題例7、（2012?天津）若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數(shù)根x1、x2，且x1≠x2，有下列結(jié)論：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A、0B、1C、2D、3變式：（2012?株洲）已知拋物線與x軸的一個交點A（1，0），對稱軸是x=-1，則該拋物線與x軸的另一交點坐標是（）A、（-3，0） B、（-2，0） C、x=-3 D、x=-2考點八：二次函數(shù)的實際應用例1、（2012?益陽）已知：如圖，拋物線y=a（x-1）2+c與x軸交于點A（1-，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P'（1，3）處；（1）求原拋物線的解析式；（2）學校舉行班徽設計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P'作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：≈2.236，≈2.449，結(jié)果可保留根號）例2、（2012?紹興）教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系為y=-（x-4）2+3，由此可知鉛球推出的距離是m。變式：（2012?襄陽）某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）2，該型號飛機著陸后滑行m才能停下來?？键c九：二次函數(shù)綜合性題目例9、（2012?自貢）如圖，拋物線交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3）．將拋物線沿y軸翻折得拋物線．（1）求的解析式；（2）在的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑；變式：（2012?遵義）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標；（2）在拋物線上求點P，使S△POA=2S△AOB；（3）在拋物線上是否存在點Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由。