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文檔簡介
浙江省金華市磐安縣第二中學(xué)2023年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)試題4月考考試試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則“”的一個(gè)充分不必要條件是A. B.C.且 D.或2.已知,其中是虛數(shù)單位,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.3.已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.5.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.26.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.57.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.8.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形9.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.11.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要12.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則__________.14.如圖,是圓的直徑,弦的延長線相交于點(diǎn)垂直的延長線于點(diǎn).求證:15.已知,為虛數(shù)單位,且,則=_____.16.已知函數(shù),若,則的取值范圍是__三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,均為正數(shù),且.證明:(1);(2).18.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對(duì)角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)時(shí),求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,證明:21.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求證:.(2)討論函數(shù)的極值;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C.2、C【解析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),此時(shí)直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7、A【解析】
首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.8、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
畫出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).10、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號(hào),即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)?,所以為奇函?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí),,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).11、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.12、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】解:由題意可知:.14、證明見解析.【解析】試題分析:四點(diǎn)共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因?yàn)闉閳A的直徑,所以,又,則四點(diǎn)共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.15、4【解析】
解:利用復(fù)數(shù)相等,可知由有.16、【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),即可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,所以,故的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍,還涉及對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)由進(jìn)行變換,得到,兩邊開方并化簡,證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),兩邊加上得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴.(2).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連.可證得,,于是可得平面,進(jìn)而可得結(jié)論成立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點(diǎn),連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識(shí)可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】利用向量法求解直線和平面所成角時(shí),關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時(shí)通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時(shí)注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.19、(1)(2)【解析】
(1)代入可得對(duì)分類討論即可得不等式的解集;(2)根據(jù)不等式在上恒成立去絕對(duì)值化簡可得再去絕對(duì)值即可得關(guān)于的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式為,解得;②當(dāng)時(shí),不等式為,無解;③當(dāng)時(shí),不等式為,解得,綜上,原不等式的解集為.(2)因?yàn)榈慕饧冢瑒t不等式可化為,即.解得,由題意知,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法分類討論解絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.20、(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn),即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點(diǎn);綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點(diǎn);在有極小值點(diǎn),即為;在有極大值點(diǎn),即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.21、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計(jì)算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當(dāng)a<x<時(shí),f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當(dāng)x時(shí),f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域?yàn)閇﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點(diǎn):1.含絕對(duì)值不等式的證明與解法.1.基本不等式.22、(1)證明見解析;(2)見解析;(3)存在,1.【解析】
(1),求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出,即可證明結(jié)論;(2)對(duì)(或)是否恒成立分類討論,若恒成立,沒有極值點(diǎn),若不恒成立,求出的解,即可求出結(jié)論;(3)令,可證恒成立,而,由(2)得,在為減函數(shù),在上單調(diào)遞減,在都存在,不滿足,當(dāng)時(shí),設(shè),且,只需求出在單調(diào)遞增時(shí)的取值范圍即可.【詳解】(1),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴,故.(2)由題知,,,①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值;
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