高等流體力學(xué)-第二章-流體力學(xué)的基本概念

第二章流體力學(xué)的基本概念

流動性壓縮性粘性連續(xù)介質(zhì)假設(shè)1第一節(jié)流體的特征和連續(xù)介質(zhì)假設(shè)

一流體的定義和特征物質(zhì)常見的存在狀態(tài)是固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)，處在這三種狀態(tài)下的物質(zhì)分別稱為固體、液體和氣體。通常說能流動的物質(zhì)為流體，液體和氣體易流動，我們把液體和氣體稱之為流體。但這樣說是不嚴(yán)格的，嚴(yán)格地說應(yīng)該用力學(xué)的語言來敘述：在任何微小剪切力的持續(xù)作用下能夠連續(xù)不斷變形的物質(zhì)，稱為流體。根據(jù)上述定義，流體顯然不能保持一定的形狀，即具有流動性。但流體在靜止時不能承受切向力，這顯然與固體不同。固體在靜止時也能承受切向力，發(fā)生微2微小變形以抗拒外力，一直達(dá)到平衡為止。只要作用力保持不變，固體的變形就不再變化。

流體和固體具有上述不同性質(zhì)是由于分子間的作用力不同造成的。在相同體積的固體和流體中，流體所含的分子數(shù)目比固體少得多，分子間的空隙就大得多，因此流體分子間的作用力小，分子運(yùn)動強(qiáng)烈，從而決定了流體具有流動性和不能保持一定形狀的特性。流體中所包括的液體和氣體除具有上述共同特性外，還具有如下的不同特性：液體的分子距和分子的有效直徑差不多是相等的，當(dāng)對液體加壓時，只要分子距稍有縮小，分子間的斥力就會增大以抵抗外壓力。所以，液體的分子距很難縮小，即液體很不易被壓縮，以致一定重量的液體具有一定的體積，液體的形狀取決于容器的形狀，并且由于分子間吸引力的3

作用，液體有力求自身表面積收縮到最小的特性。所以，當(dāng)容器的容積大于液體的體積時，液體不能充滿容器，故在重力的作用下，液體總保持一個自由表面(或稱自由液面)，通常稱為水平面。氣體的分子距比液體的大，在0℃、1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)（101325Pa）下，氣體的平均分子距約為3.3×10-7cm，其分子平均直徑約為2.5×10-8cm，分子距比分子平均直徑約大十倍。因此，只有當(dāng)分子距縮小很多時，分子間才會出現(xiàn)斥力?？梢?，氣體具有很大的壓縮性。此外，因其分子距與分子平均直徑相比很大，以致分子間的吸引力微小，分子熱運(yùn)動起決定性作用，所以氣體沒有一定形狀，也沒有一定的體積，它總是能均勻充滿容納它的容器而不能形成自由表面。4二、流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)從微觀角度看，流體和其它物體一樣，都是由大量不連續(xù)分布的分子組成，分子間有間隙。但是，流體力學(xué)所要研究的并不是個別分子的微觀運(yùn)動，而是研究由大量分子組成的宏觀流體在外力作用下的宏觀運(yùn)動。因此，在流體力學(xué)中，取流體微團(tuán)來作為研究流體的基元。所謂流體微團(tuán)是一塊體積為無窮小的微量流體，由于流體微團(tuán)的尺寸極其微小，故可作為流體質(zhì)點(diǎn)看待。這樣，流體可看成是由無限多連續(xù)分布的流體微團(tuán)組成的連續(xù)介質(zhì)。

5二、流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)

所謂的流體質(zhì)點(diǎn)指的是微觀上充分大，宏觀上充分小的分子團(tuán)。一方面，分子團(tuán)的尺度L2與分子運(yùn)動的尺度L1相比應(yīng)足夠大，使得其中包含大量的分子。對分子團(tuán)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均后能得到穩(wěn)定的數(shù)值，少數(shù)分子出入分子團(tuán)不影響穩(wěn)定的平均值。另一方面，要求分子團(tuán)的尺度L2與所研究問題的特征尺度L3相比要充分小，使得分子團(tuán)內(nèi)平均物理量可看成是均勻不變的6二、流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)從微觀角度看，流體和其它物體一樣，都是由大量不連續(xù)分布的分子組成，分子間有間隙。但是，流體力學(xué)所要研究的并不是個別分子的微觀運(yùn)動，而是研究由大量分子組成的宏觀流體在外力作用下的宏觀運(yùn)動。因此，在流體力學(xué)中，取流體微團(tuán)來作為研究流體的基元。所謂流體微團(tuán)是一塊體積為無窮小的微量流體，由于流體微團(tuán)的尺寸極其微小，故可作為流體質(zhì)點(diǎn)看待。這樣，流體可看成是由無限多連續(xù)分布的流體微團(tuán)組成的連續(xù)介質(zhì)。這種對流體的連續(xù)性假設(shè)是合理的，因?yàn)樵诹黧w介質(zhì)內(nèi)含有為數(shù)眾多的分子。例如，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，lmm3氣體中有2.7×1016個分子；lmm3的液體中有3×1019個分子?？梢姺肿娱g的間隙是極其微小的。因此在研究流體宏觀運(yùn)動時，可7可以忽略分子間的間隙，而認(rèn)為流體是連續(xù)介質(zhì)。

當(dāng)把流體看作是連續(xù)介質(zhì)后，表征流體性質(zhì)的密度、速度、壓強(qiáng)和溫度等物理量在流體中也應(yīng)該是連續(xù)分布的。這樣，可將流體的各物理量看作是空間坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)，從而可以引用連續(xù)函數(shù)的解析方法等數(shù)學(xué)工具來研究流體的平衡和運(yùn)動規(guī)律。流體作為連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)對大部分工程技術(shù)問題都是適用的，但對某些特殊問題則不適用。例如，火箭在高空非常稀薄的氣體中飛行以及高真空技術(shù)中，其分子距與設(shè)備尺寸可以比擬，不再是可以忽略不計(jì)了。這時不能再把流體看成是連續(xù)介質(zhì)來研究，需要用分子動力論的微觀方法來研究。本書只研究連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)規(guī)律。8第二節(jié)流體的主要物理性質(zhì)一流體的密度

1、流體的密度流體的密度是流體的重要屬性之一，它表征流體在空間某點(diǎn)質(zhì)量的密集程度，流體的密度定義為：單位體積流體所具有的質(zhì)量，用符號ρ來表示。對于流體中各點(diǎn)密度相同的均質(zhì)流體，其密度

式中：—流體的密度，kg/m3；

—流體的質(zhì)量，kg；

—流體的體積，m3。9對于各點(diǎn)密度不同的非均質(zhì)流體，在流體的空間中某點(diǎn)取包含該點(diǎn)的微小體積，該體積內(nèi)流體的質(zhì)量則該點(diǎn)的密度為（1-2）

2、流體的相對密度流體的相對密度是指某種流體的密度與4℃時水的密度的比值，用符號d來表示。（1-3）式中：—流體的密度，kg/m3；

—4℃時水的密度，kg/m3。

表1-1和表1-2列出了一些常用液體、氣體在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)下的物理性質(zhì)。

10表1-1在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下常用液體的物理性質(zhì)11表1-2在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓和20℃常用氣體性質(zhì)12二流體的壓縮性和膨脹性隨著壓強(qiáng)的增加，流體體積縮小；隨著溫度的增高，流體體積膨脹，這是所有流體的共同屬性，即流體的壓縮性和膨脹性。

1、流體的膨脹性在一定的壓強(qiáng)下，流體的體積隨溫度的升高而增大的性質(zhì)稱為流體的膨脹性。流體膨脹性的大小用體積膨脹系數(shù)來表示，它表示當(dāng)壓強(qiáng)不變時，升高一個單位溫度所引起流體體積的相對增加量，即（1-4）

式中—流體的體積膨脹系數(shù)，1/℃，1/K；

13

—流體溫度的增加量，℃，K；

—原有流體的體積，m3；

—流體體積的增加量，m3。

實(shí)驗(yàn)指出，液體的體積膨脹系數(shù)很小，例如在9.8×104Pa下，溫度在1～10℃范圍內(nèi)，水的體積膨脹系數(shù)=14×10-61/℃；溫度在10～20℃范圍內(nèi)，水的體積膨脹系數(shù)=150×10-61/℃。在常溫下，溫度每升高1℃，水的體積相對增量僅為萬分之一點(diǎn)五；溫度較高時，如90～100℃，也只增加萬分之七。其它液體的體積膨脹系數(shù)也是很小的。流體的體積膨脹系數(shù)還取決于壓強(qiáng)。對于大多數(shù)液體，隨壓強(qiáng)的增加稍為減小。水的在高于50℃時也隨壓強(qiáng)14的增加而增大。在一定壓強(qiáng)作用下，水的體脹系數(shù)與溫度的關(guān)系如表1-3所示。表1-3水的體脹系數(shù)（1/℃）

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2、流體的壓縮性在一定的溫度下，流體的體積隨壓強(qiáng)升高而縮小的性質(zhì)稱為流體的壓縮性。流體壓縮性的大小用體積壓縮系數(shù)k來表示。它表示當(dāng)溫度保持不變時，單位壓強(qiáng)增量引起流體體積的相對縮小量，即

(1-5)

式中

—流體的體積壓縮系數(shù)，m2/N；

—流體壓強(qiáng)的增加量，Pa；

—原有流體的體積，m3；

—流體體積的增加量，m3。

16由于壓強(qiáng)增加時，流體的體積減小，即與的變化方向相反，故在上式中加個負(fù)號，以使體積壓縮系數(shù)恒為正值。實(shí)驗(yàn)指出，液體的體積壓縮系數(shù)很小，例如水，當(dāng)壓強(qiáng)在(1～490)×107Pa、溫度在0～20℃的范圍內(nèi)時，水的體積壓縮系數(shù)僅約為二萬分之一，即每增加105Pa，水的體積相對縮小約為二萬分之一。表l-4列出了0℃水在不同壓強(qiáng)下的值。表1-40℃水在不同壓強(qiáng)下的值17氣體的壓縮性要比液體的壓縮性大得多，這是由于氣體的密度隨著溫度和壓強(qiáng)的改變將發(fā)生顯著的變化。對于完全氣體，其密度與溫度和壓強(qiáng)的關(guān)系可用熱力學(xué)中的狀態(tài)方程表示，即（1-6）式中—?dú)怏w的絕對壓強(qiáng)，Pa；

—?dú)怏w的密度，kg/m3；

—熱力學(xué)溫度，K；

—?dú)怏w常數(shù)，J/(kg·K)。

常用氣體的氣體常數(shù)見表1-2。在工程上，不同壓強(qiáng)和溫度下氣體的密度可按下式計(jì)算：18

(1-7)

式中為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)(0℃,101325Pa)下某種氣體的密度。如空氣的＝1.293kg/m3；煙氣的＝1.34kg/m3。為在溫度t℃、壓強(qiáng)N/㎡下，某種氣體的密度。

3、可壓縮流體和不可壓縮流體

壓縮性是流體的基本屬性。任何流體都是可以壓縮的，只不過可壓縮的程度不同而已。液體的壓縮性都很小，隨著壓強(qiáng)和溫度的變化，液體的密度僅有微小的變化，在大多數(shù)情況下，可以忽略壓縮性的影響，認(rèn)為液體的密度是一個常數(shù)。=0的流體稱為不可壓縮流體，19而密度為常數(shù)的流體稱為不可壓均質(zhì)流體。氣體的壓縮性都很大。從熱力學(xué)中可知，當(dāng)溫度不變時，完全氣體的體積與壓強(qiáng)成反比，壓強(qiáng)增加一倍，體積減小為原來的一半；當(dāng)壓強(qiáng)不變時，溫度升高1℃體積就比0℃時的體積膨脹1/273。所以，通常把氣體看成是可壓縮流體，即它的密度不能作為常數(shù)，而是隨壓強(qiáng)和溫度的變化而變化的。我們把密度隨溫度和壓強(qiáng)變化的流體稱為可壓縮流體。把液體看作是不可壓縮流體，氣體看作是可壓縮流體，都不是絕對的。在實(shí)際工程中，要不要考慮流體的壓縮性，要視具體情況而定。例如，研究管道中水擊和水下爆炸時，水的壓強(qiáng)變化較大，而且變化過程非常迅速，這20時水的密度變化就不可忽略，即要考慮水的壓縮性，把水當(dāng)作可壓縮流體來處理。又如，在鍋爐尾部煙道和通風(fēng)管道中，氣體在整個流動過程中，壓強(qiáng)和溫度的變化都很小，其密度變化很小，可作為不可壓縮流體處理。再如，當(dāng)氣體對物體流動的相對速度比聲速要小得多時，氣體的密度變化也很小，可以近似地看成是常數(shù)，也可當(dāng)作不可壓縮流體處理。三流體的黏性和牛頓內(nèi)摩擦定律

1、流體的黏性

黏性是流體抵抗剪切變形的一種屬性。由流體的力學(xué)特點(diǎn)可知，靜止流體不能承受剪切力，即在任何微小剪切力的持續(xù)作用下，流體要發(fā)生連續(xù)不斷地變形。21不同的流體在相同的剪切力作用下其變形速度是不同的，它反映了抵抗剪切變形能力的差別，這種能力就是流體的黏性?，F(xiàn)通過一個實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步說明流體的黏性。將兩塊平板相隔一定距離水平放置，其間充滿某種液體，并使下板固定不動，上板以某一速度u0向右平行移動，如圖1-l所示。22由于流體與平板間有附著力，緊貼上板的一薄層流體將以速度u0跟隨上板一起向右運(yùn)動，而緊貼下板的一薄層流體將和下板一樣靜止不動。兩板之間的各流體薄層在上板的帶動下，都作平行于平板的運(yùn)動，其運(yùn)動速度由上向下逐層遞減，由上板的u0減小到下板的零。在這種情況下，板間流體流動的速度是按直線變化的。顯然，由于各流層速度不同，流層間就有相對運(yùn)動，從而產(chǎn)生切向作用力，稱其為內(nèi)摩擦力。作用在兩個流體層接觸面上的內(nèi)摩擦力總是成對出現(xiàn)的，即大小相等而方向相反，分別作用23圖1-1流體的黏性實(shí)驗(yàn)24圖1-1流體的黏性實(shí)驗(yàn)25在相對運(yùn)動的流層上。速度較大的流體層作用在速度較小的流體層上的內(nèi)摩擦力F，其方向與流體流動方向相同，帶動下層流體向前運(yùn)動，而速度較小的流體層作用在速度較大的流體層上的內(nèi)摩擦力F’，其方向與流體流動方向相反，阻礙上層流體運(yùn)動。通常情況下，流體流動的速度并不按直線變化，而是按曲線變化，如圖1-1虛線所示。

2、牛頓內(nèi)摩擦定律根據(jù)牛頓(Newton)實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果得知，運(yùn)動的流體所產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力(切向力)F的大小與垂直于流動方向的速度梯度du/dy成正比，與接觸面的面積A成正比，并與流體的種類有關(guān)，而與接觸面上壓強(qiáng)P無關(guān)。內(nèi)摩擦力的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為26（1-8）寫成等式為（1-9）式中F

—流體層接觸面上的內(nèi)摩擦力，N；

A—流體層間的接觸面積，m2；

du/dy—垂直于流動方向上的速度梯度，1/s；

μ—動力黏度，Pa·s。

流層間單位面積上的內(nèi)摩擦力稱為切向應(yīng)力，則（1-10）式中τ—切向應(yīng)力，Pa。27從式(1-9)可知，當(dāng)速度梯度等于零時，內(nèi)摩擦力也等于零。所以，當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)或以相同速度運(yùn)動(流層間沒有相對運(yùn)動)時，內(nèi)摩擦力等于零，此時流體有黏性，流體的黏性作用也表現(xiàn)不出來。當(dāng)流體沒有黏性(μ=0)時，內(nèi)摩擦力等于零。在流體力學(xué)中還常引用動力黏度與密度的比值，稱為運(yùn)動黏度用符號ν表示，即（1-11）式中ν—運(yùn)動黏度，m2/s。

常用液體和氣體的動力黏度見表1-1和表1-2。表l-5和表1-6分別給出了水和空氣不同溫度時的黏度。28和圖1-3。

3、影響?zhàn)ば缘囊蛩亓黧w黏性隨壓強(qiáng)和溫度的變化而變化。在通常的壓強(qiáng)下，壓強(qiáng)對流體的黏性影響很小，可忽略不計(jì)。在高壓下，流體(包括氣體和液體)的黏性隨壓強(qiáng)升高而增大。流體的黏性受溫度的影響很大，而且液體和氣體的黏性隨溫度的變化是不同的。液體的黏性隨溫度升高而減小，氣體的黏性隨溫度升高而增大。造成液體和氣體的黏性隨溫度不同變化的原因是由于構(gòu)成它們黏性的主要因素不同。分子間的吸引力是構(gòu)成液體黏性的主要因素，溫度升高，分子間的吸引力減小，液體的黏性降低；構(gòu)成氣體黏性的主要因素是氣體分子作不規(guī)則熱運(yùn)動時，在不同速度分子層間所進(jìn)行的動量交換。溫度越高，氣體分子熱運(yùn)動越強(qiáng)烈29動量交換就越頻繁，氣體的黏性也就越大。

4、理想流體的假設(shè)如前所述，實(shí)際流體都是具有黏性的，都是黏性流體。不具有黏性的流體稱為理想流體，這是客觀世界上并不存在的一種假想的流體。在流體力學(xué)中引入理想流體的假設(shè)是因?yàn)樵趯?shí)際流體的黏性作用表現(xiàn)不出來的場合(像在靜止流體中或勻速直線流動的流體中)，完全可以把實(shí)際流體當(dāng)理想流體來處理。在許多場合，想求得黏性流體流動的精確解是很困難的。對某些黏性不起主要作用的問題，先不計(jì)黏性的影響，使問題的分析大為簡化，從而有利于掌握流體流動的基本規(guī)律。至于黏性的影響，則可根據(jù)試驗(yàn)引進(jìn)必要的修正系數(shù)，對由理想流體得出的流動規(guī)30表1-5水的黏度與溫度的關(guān)系

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表1-6空氣的黏度與溫度的關(guān)系

32律加以修正。此外，即使是對于黏性為主要影響因素的實(shí)際流動問題，先研究不計(jì)黏性影響的理想流體的流動，而后引入黏性影響，再研究黏性流體流動的更為復(fù)雜的情況，也是符合認(rèn)識事物由簡到繁的規(guī)律的?；谝陨现T點(diǎn)，在流體力學(xué)中，總是先研究理想流體的流動，而后再研究黏性流體的流動。

33第三節(jié)描述流體運(yùn)動的兩種方法連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數(shù)個流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。我們把流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全部空間稱為流場。由于流體是連續(xù)介質(zhì)，所以描述流體運(yùn)動的各物理量(如速度、加速度等)均應(yīng)是空間點(diǎn)的坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。(描述流體運(yùn)動的實(shí)例)

拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場中個別流體質(zhì)點(diǎn)著手來研究整個流體運(yùn)動的。這種研究方法，最基本34顆粒在旋風(fēng)分離器內(nèi)不同時刻的運(yùn)動軌跡35恐龍奔跑過程中身體周圍流場的分布36的參數(shù)是流體質(zhì)點(diǎn)的位移，在某一時刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為：

X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)(3-1)

式中a、b、c為初始時刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)。對于某個確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。對于某個確定的時刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號。37將式（3-1）對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為：

(3-2)

(3-3)38同樣，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度也可寫成a、b、c、的函數(shù)，即ρ=ρ（a，b，c，），P=P(a，b，c，)，t=t(a，b，c，)。

歐拉法，又稱局部法，是從分析流場中每一個空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動著手，來研究整個流體的運(yùn)動的，即研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過某一空間點(diǎn)時流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。所以流體質(zhì)點(diǎn)的流動是空間點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）和時間t的函數(shù)，例如：流體質(zhì)點(diǎn)的三個速度分量、壓強(qiáng)和密度可表示為：u=u(x，y，z，t)v=v(x，y，z，t)（3-4）

w=w(x，y，z，t)式中，u，v，w分別表示速度矢量在三個坐標(biāo)軸上的分量：39

P=p(x，y，z，t)Ρ=ρ（x，y，z，t)(3-5)

式（3-4）中，當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點(diǎn)的速度分布。

x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時間t的函數(shù)：

x=x(t)y=y(t)z=z(t)(3-6)40式（3-6）是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程，將上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動軌跡的三個速度分量（3-7）現(xiàn)在用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。由于加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附近運(yùn)動軌跡上一段微小距離時的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將式（3-4）中三個速度分量對時間取全導(dǎo)數(shù)，并將式（3-7）代入，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時刻經(jīng)過某空間點(diǎn)時的三個加速度分量414243v44由于流場的不定常性引起的速度變化，稱為局部導(dǎo)數(shù)由于場的不均勻性引起的速度變化，稱為位變導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)4546流體密度的隨體導(dǎo)數(shù)：不可壓縮流體：任一質(zhì)點(diǎn)的密度在運(yùn)動的全過程中不變均質(zhì)流體：流場中各個質(zhì)點(diǎn)的密度都相同不可壓縮均質(zhì)流體：流場中密度各個質(zhì)點(diǎn)的密度均為常數(shù)，不隨時間變化47

由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三。一是利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問題中還是方便的。

48跡線是流場中某一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，也就是跡線。流場中所有的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的跡線，跡線是流體運(yùn)動的一種幾何表示，可以用它來直觀形象地分析流體的運(yùn)動，清楚地看出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況。跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容，跡線表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時刻所形成的曲線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

（2-14）第四節(jié)跡線與流線49式(2-14)就是跡線微分方程。

流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線，如圖3-3所示。流線可以形象地給出流場的流動狀態(tài)。通過流線，可以清楚地看出某時刻流場中各點(diǎn)的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。流線的引入是歐拉法的研究特點(diǎn)。例如在流動水面上同時撤一大片木屑，這時可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時各水點(diǎn)的流動方向線就是流線。

50圖3-3流線的概念51圖3-3流線的概念52

1、流線的基本特性

(1)在定常流動時，因?yàn)榱鲌鲋懈髁黧w質(zhì)點(diǎn)的速度不隨時間變化，所以通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。

(2)通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)將同時有幾個不同的流動方向。只有在流場中速度為零或無窮大的那些點(diǎn)，流線可以相交，這是因?yàn)?，在這些點(diǎn)上不會出現(xiàn)在同一點(diǎn)上存在不同流動方向的問題。速度為零的點(diǎn)稱駐點(diǎn)，速度為無窮大的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。

53

1、流線的基本特性

(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。

(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。54

2、流線微分方程現(xiàn)由矢量分析法導(dǎo)出流線微分方程。設(shè)在某一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量，通過該點(diǎn)流線上的微元線段。由流線的定義知，空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度與流線相切。根據(jù)矢量分析，這兩個矢量的矢量積應(yīng)等于零，即

即上式又可寫成55（3-15）

式（3-15）就是流線的微分方程，式中時間t是個參變量。

【例3-3】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求其流線方程。

【解】由于w=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為將兩個分速度代入流線微分方程（3-15），得到

即xdx+ydy=0

積分上式得到x2+y2=c

即流線簇是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。56任何一個剛體運(yùn)動可以分解為平動和轉(zhuǎn)動之和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

第五節(jié)速度分解定理平動轉(zhuǎn)動57流體的運(yùn)動可以分解為平動、轉(zhuǎn)動和變形之和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

第五節(jié)速度分解定理平動轉(zhuǎn)動變形58速度V在P點(diǎn)鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)展開并略去二階無窮小量

流場中，流體微團(tuán)的速度函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

矢量形式

59直角坐標(biāo)形式