第四講 第3課時 天體運動中的三類典型問題

開始類型(一)衛(wèi)星(航天器)的變軌及對接問題0102目錄類型(二)衛(wèi)星或天體的追及相遇問題02類型(三)雙星、三星模型第3課時天體運動中的三類典型問題(綜合應用課)本課時學習萬有引力定律在天體運動中的三類典型問題：衛(wèi)星(航天器)的變軌及對接問題、衛(wèi)星或天體的追及相遇問題、雙星或多星模型，近年來常以選擇題形式在高考中出現(xiàn)。學好本課時有助于學生更加靈活地應用萬有引力定律，加深對力和運動關(guān)系的理解。類型(一)衛(wèi)星(航天器)的變軌及對接問題1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。(2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓軌道Ⅲ。2．三個運行物理量的大小比較[例1]

如圖所示是我國發(fā)射的“天問一號”火星探測器的運動軌跡示意圖。首先在地面上由長征五號運載火箭將探測器發(fā)射升空，然后經(jīng)過漫長的七個月地火轉(zhuǎn)移飛行，到達近火點時精準“剎車”被火星捕獲，成為環(huán)繞火星飛行的一顆衛(wèi)星。以下說法中正確的是

(

)A．長征五號需要把“天問一號”加速到第三宇宙速度B．近火點的“剎車”是為了減小火星對“天問一號”的引力C．從火星停泊軌道向遙感軌道變軌過程，“天問一號”還需要在近火點制動減速D．“天問一號”沿遙感軌道運行時在近火點處的動能最小[答案]

C[解析]

“天問一號”要脫離地球的吸引，需要加速到第二宇宙速度，A錯誤；近火點的“剎車”是為了減小“天問一號”所需的向心力，B錯誤；從火星停泊軌道向遙感軌道變軌過程，“天問一號”所需的向心力進一步減小，需要在近火點制動減速，C正確；“天問一號”沿遙感軌道運行時在近火點處的動能最大，D錯誤。[例2]

(2022·浙江6月選考)神舟十三號飛船采用“快速返回技術(shù)”，在近地軌道上，返回艙脫離天和核心艙，在圓軌道環(huán)繞并擇機返回地面。則

(

)A．天和核心艙所處的圓軌道距地面高度越高，環(huán)繞速度越大B．返回艙中的宇航員處于失重狀態(tài)，不受地球的引力C．質(zhì)量不同的返回艙與天和核心艙可以在同一軌道運行D．返回艙穿越大氣層返回地面過程中，機械能守恒[答案]

C

[針對訓練]1．(2023·丹陽高三調(diào)研)2022年11月12日10時03分，搭載天舟五號貨運飛船的長征七號遙六運載火箭，在文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射。隨后天舟五號貨運飛船與天和核心艙實現(xiàn)對接。假設(shè)“天舟五號”與“天和核心艙”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間站的對接，下列措施可行的是

(

)A．使飛船與空間站在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間站實現(xiàn)對接B．使飛船與空間站在同一軌道上運行，然后空間站減速等待飛船實現(xiàn)對接C．飛船先在比空間站半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間站，兩者速度接近時實現(xiàn)對接D．飛船先在比空間站半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間站，兩者速度接近時實現(xiàn)對接答案：C

解析：若使飛船與空間站在同一軌道上運行，然后飛船加速，所需向心力變大，則飛船將脫離原軌道而進入更高的軌道，不能實現(xiàn)對接，A錯誤；若使飛船與空間站在同一軌道上運行，然后空間站減速，所需向心力變小，則空間站將脫離原軌道而進入更低的軌道，不能實現(xiàn)對接，B錯誤；要想實現(xiàn)對接，可使飛船在比空間站半徑較小的軌道上加速，飛船將進入較高的空間站軌道，逐漸靠近空間站后，兩者速度接近時實現(xiàn)對接，C正確；若飛船在比空間站半徑較小的軌道上減速，則飛船將進入更低的軌道，不能實現(xiàn)對接，D錯誤。2．(2023·宜興模擬)我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射“中星9A”廣播電視直播衛(wèi)星，按預定計劃，“中星9A”應該首先被送入近地點約為200公里、遠地點約為3.6萬公里的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ(橢圓)，然后通過遠地點Q變軌，最終進入地球同步軌道Ⅲ(圓形)(如圖所示)。但是由于火箭故障，衛(wèi)星實際入軌后初始軌道遠地點只有1.6萬公里，科技人員沒有放棄，通過精心操作，利用衛(wèi)星自帶燃料在近地點點火，盡量抬高遠地點的高度，經(jīng)過10次軌道調(diào)整，終于將其成功定位于預定軌道，下列說法正確的是

(

)A．衛(wèi)星從軌道Ⅰ的P點進入軌道Ⅱ后機械能不變B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ經(jīng)過Q點時和在軌道Ⅱ經(jīng)過Q點時的速度相同C．衛(wèi)星在軌道Ⅰ經(jīng)過P點時和在軌道Ⅱ經(jīng)過P點時的加速度相同D．“中星9A”發(fā)射失利原因可能是發(fā)射速度沒有達到7.9km/s答案：C解析：衛(wèi)星從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ軌道半徑變大，要做離心運動，衛(wèi)星應從軌道Ⅰ的P點加速后才能做離心運動從而進入軌道Ⅱ，衛(wèi)星加速過程機械能增加，故A錯誤；衛(wèi)星由軌道Ⅱ的Q點加速后才能進入軌道Ⅲ，由此可知，衛(wèi)星在軌道Ⅲ經(jīng)過Q點時的速度大于在軌道Ⅱ經(jīng)過Q點時的速度，故B錯誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，在同一個點衛(wèi)星所受的萬有引力相同，故衛(wèi)星在不同軌道上的同一點P上的加速度相同，故C正確；衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為7.9km/s，衛(wèi)星已經(jīng)發(fā)射，失利原因不可能是發(fā)射速度沒有達到7.9km/s，故D錯誤。類型(二)衛(wèi)星或天體的追及相遇問題[科學思維]某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之分，但它們都處在同一條直線上，由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理，而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實際上內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時，就是出現(xiàn)最近或最遠的時刻。1．相距最近兩衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側(cè)時，兩衛(wèi)星相距最近，從運動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運動關(guān)系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)。2．相距最遠當兩衛(wèi)星位于和中心連線的半徑上兩側(cè)時，兩衛(wèi)星相距最遠，從運動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運動關(guān)系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)。[典例]

如圖，行星a、b的質(zhì)量分別為m1、m2，中心天體c的質(zhì)量為M(M遠大于m1及m2)，在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的是

(

)A．a(chǎn)、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶6B．a(chǎn)、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次l[答案]

DC．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．A、B與地心連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等答案：B2．“火星合日”是指火星、太陽、地球三者之間形成一條直線時，從地球的方位觀察，火星位于太陽的正后方，火星被太陽完全遮蔽的現(xiàn)象，如圖所示，已知地球、火星繞太陽運動的方向相同，若把火星和地球繞太陽運行的軌道視為圓，火星繞太陽公轉(zhuǎn)周期約等于地球公轉(zhuǎn)周期的2倍，由此可知

(

)A．“火星合日”約每1年出現(xiàn)一次B．“火星合日”約每3年出現(xiàn)一次答案：C

類型(三)雙星、三星模型(一)

雙星模型

續(xù)表[例1]

(2023·鹽城模擬)“雙星系統(tǒng)”是指在相互間萬有引力的作用下，繞連線上某點O做勻速圓周運動的兩個孤立星球組成的系統(tǒng)。如圖所示，若忽略其他星球的影響，可以將A星球和B星球看成“雙星系統(tǒng)”。已知A星球的公轉(zhuǎn)周期為T，A星球和B星球之間的距離為L，B星球表面重力加速度為g，半徑為R，引力常量為G，不考慮B星球的自轉(zhuǎn)。則

(

)[答案]

C[規(guī)律方法]雙星模型的“兩等”與“兩不等”雙星問題的“兩等”①它們的角速度相等。②雙星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的。雙星問題的“兩不等”①雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。②由m1ω2r1＝m2ω2r2知，由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等。[針對訓練]1．天文學家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞繞它們連線上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是

(

)A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等答案：D

解析：由牛頓第三定律知，兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，它們的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙兩個黑洞做圓周運動的半徑與質(zhì)量成反比，由v＝ωr知，線速度之比為29∶36，A

、B正確；設(shè)甲、乙兩個黑洞質(zhì)量分別為m1和m2，軌道半徑分別為r1和r2，(二)

三星模型情景導圖運動特點轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運動半徑相等受力特點各星所受萬有引力的合力提供圓周運動的向心力續(xù)表C．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍[答案]

C[規(guī)律方法]多星模型的運行規(guī)律被研究星體所受的萬有引力的合力提供其做圓周運動的向心力。除中央星體外，各星體的角速度、周期相等，三星和四星系統(tǒng)的存在形式有：[針對訓練]2.

宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作