導(dǎo)數(shù)的概念與切線問題(學(xué)生版)

專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念及切線問題1．函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)對于函數(shù)，設(shè)自變量從變化到，如果當(dāng)時(shí)，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)（也稱瞬時(shí)變化率），記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，是x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）．記作f′(x)或y′，即f′(x)＝＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx+?x?f(x)?x.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0),則切線方程為y?fx03．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)若f′(x)，g′(x)存在，則有

（1）

（2）；特別地：

（3）5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，對于由函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．重要結(jié)論：導(dǎo)數(shù)研究一個函數(shù)在其定義域內(nèi)的某點(diǎn)處的變化率問題，是對函數(shù)局部性質(zhì)的刻畫；定義法求導(dǎo)數(shù)的步驟：第一步：寫出函數(shù)的平均變化率并化簡；第二步：求極限，若存在，則導(dǎo)數(shù);函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化情況，其正負(fù)號反映了變化的方向，描述了變化速度的快慢，越大，變化越快，圖象越陡峭；；若函數(shù)，在R上可導(dǎo)，，則.

1.【人教A版選擇性必修2P70】如圖所示，水波的半徑以1的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為5m時(shí)，該水波面的圓面積的瞬時(shí)膨脹率是______

2.【人教A版選擇性必修二練習(xí)4P70】某堆雪在融化過程中，其體積V(單位：m3)與融化時(shí)間t(單位：h)近似滿足函數(shù)關(guān)系：V(t)=H10?110t3(H為常數(shù))，其圖象如圖所示．記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為v(m3/h).考點(diǎn)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【方法儲備】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算技巧：1.實(shí)際情境中需明確導(dǎo)數(shù)代表的涵義；2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，對于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先化簡再求導(dǎo)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)進(jìn)行換元；4.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后靈活應(yīng)用方程思想求解.【典例精講】例1（2022·江西省模擬題)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，則limΔx→0?A.2 B.?2 C.94 D.例2(2022·廣東省月考題)反射性元素的特征是不斷發(fā)生同位素衰變，而衰變的結(jié)果是放射性同位素母體的數(shù)目不斷減少，但其子體的原子數(shù)目將不斷增加，假設(shè)在某放射性同位素的衰變對程中，其含量N(單位：貝克)與時(shí)間t(單位：天)滿足函數(shù)關(guān)系N(t)=N0e?t24(e為自然對數(shù)的底數(shù))，其中N0為A.12貝克 B.12e貝克 C.24貝克 D.24e貝克【拓展提升】練11(2023·江蘇省模擬題)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．若f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，則練12(2023·安徽省模擬題)已知：若函數(shù)f(x)，g(x)在R上可導(dǎo)，f(x)=g(x)，則f′(x)=g′(x).又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式e2x=a0+a1x+a2x練13(2023·浙江省模擬題)麥克勞林是18世紀(jì)英國最具有影響的數(shù)學(xué)家之一，他得到數(shù)學(xué)分析中著名的麥克勞林級數(shù)展開式，其中有公式sin?x=x?x33!+x55!?x77!+?+(?1)n?1xA.π4 B.π2 C.3π4 考點(diǎn)二考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用【方法儲備】1.明確導(dǎo)數(shù)幾何意義，理解以直代曲思想；2.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題：（1）已知斜率求切線方程：由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程.（2）已知切點(diǎn)求切線方程：求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線斜率，求出切線方程.（3）過點(diǎn)P（x0,=1\*GB3①點(diǎn)P（x0,y0）=2\*GB3②點(diǎn)P（x0,y0）不為切點(diǎn)：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P'（x1,y1）3.切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．【典例精講】例3.(2022·湖北省單元）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，記A=f′x1、B=f′x2、C=f′x3，則A、B、C最大的是例4(2022·江蘇省月考)我國魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算.設(shè)f(x)=ln?x，則曲線y=f(x)在點(diǎn)1,0處的切線方程為

，用此結(jié)論近似計(jì)算4000e的值為

(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)【拓展提升】練21(2022·湖南省月考)（多選）吹氣球時(shí)，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為r(V)，r′(V)為r(V)的導(dǎo)函數(shù)．已知r(V)在0≤V≤3上的圖象如圖所示，若0≤V1<V2≤3，則下列結(jié)論正確的是(

)A.r(1)?r(0)1?0<r(2)?r(1)2?1

B.r′(1)>r′(2)

C.r(V1練22(2023·吉林省期末）已知直線y=3x+b是曲線y=x(lnx+2)的一條切線，則實(shí)數(shù)b=

練23(2022·海南省月考)數(shù)學(xué)常常使用近似計(jì)算，已知函數(shù)圖象在某一點(diǎn)附近可以近似用該點(diǎn)處的切線代替．函數(shù)y=x+1的圖象在x=0處的切線方程是

；近似用該切線代替原函數(shù)在切點(diǎn)附近的圖象，以直代曲，估計(jì)考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決一些具體的問題時(shí)要始終以導(dǎo)數(shù)的幾何意義概念為本,充分利用轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想等；【典例精講】例5.(2023·四川省單元)設(shè)直線l是曲線f(x)=ex+cosx在點(diǎn)(0,2)處的切線，則直線l與x軸，yA.2 B.1 C.12 D.例6.(2022·北京市單元)若過點(diǎn)(a,?b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則A.eb<a B.ea<b C.0<a<【拓展提升】練31(2022·江蘇省單元)若曲線y=cosx,x∈(?π,π)在P點(diǎn)處切線平行于曲線y=x(x3+1)在練32(2023·湖北省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=e?2x?1,x≤0,12ln(x+1),x>0.若x(f(x)?a|x|)≤0練33(2022·哈爾濱期中)若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足3ln?a?a2b=c+2dA.32 B.22 C.練34(2022·四川省月考)已知函數(shù)f?(x)=ax3+3x2?6ax?11，g(x)=3x(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線y=f

(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．1.(2023·江蘇省南通市)已知定義域都是R的兩個不同的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f′(x)=g(x)，且g′(x)=f(x).寫出一個符合條件的函數(shù)f(x)的解析式f(x)=

．2.(2023·湖北省武漢市)已知函數(shù)f(x)=|ln(x+1)|,x1<0,x2>0，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(x1,f(x1))和點(diǎn)B(3.(2023·浙江省溫州市)若存在a∈R使對于任意x∈[1e,e]不等式lnx≤ax2A.?e2+ee?1 B.?e3+e+1e【答案解析】【教材改編】1.【人教A版選擇性必修2P70】解：因?yàn)樗ǖ陌霃揭詖=1?m/s的速度向外擴(kuò)張，水波面的圓面積S=πr2=π(vt)2=πt2．

所以利用瞬時(shí)變化率，可求水波面的圓面積在時(shí)刻t0的瞬時(shí)膨脹率S′t=t0=2πt0．

當(dāng)半徑為【人教A版選擇性必修二練習(xí)4P70】解：V=V(100)?V(0)100?0，反映的是v(t)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率，

觀察可知t3處瞬時(shí)速度(即切線的斜率)與平均速度一致．【考點(diǎn)歸納】例1解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f(x)，有l(wèi)imΔx→0?f(2+Δx)?f(2)Δx==f′(2)，

又由f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，則f′(x)=2x+3f′(2)+1x，

令x=2得f′(2)=4+3f′(2)+1例2解：因?yàn)镹(t)=N0e?t24，

所以N′(t)=?124N0e?t24，

當(dāng)t=48時(shí)，練11

解：令g(x)=

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，則f(x)=xg(x)，f′(x)=g(x)+xg′x，故答案為120．練12解：由題意，f(x)=e2x=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...，

故f(0)=e0=a0?a0=1;

而f′(x)=2e2x=a1練13解：f(x)=(sinx)′=cosx，f(x+π4)=cos(x+π4)

∵函數(shù)cos(x+π4)例3.解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(x1)、f′(x2)、f′(x3)分別為x1、x2、x3處的切線斜率，又x1與x3附近的圖像單調(diào)遞增，x2附近的圖像單調(diào)遞減，且x例4解：由題意，得f′(x)=1x，則f′(1)=1，故所求切線方程為y=x?1;

因?yàn)?000e=e14000與1之間的距離比較小，因此在切點(diǎn)附近用切線代替曲線，近似計(jì)算，

即在x=1附近，有l(wèi)nx≈x?1，4000e=練21解：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于它在該點(diǎn)的切線的斜率，

因?yàn)閞′(1)=r(1)?r(0)1?0，r′(2)=r(2)?r(1)2?1，

所以由圖象可得r(V)的導(dǎo)數(shù)r′(V)在逐漸減小，

所以可得r′(1)>r′(2)，即A錯誤，B正確；

由圖可得r(V1+V22)>r(V1)+r(V2)練22解：設(shè)切點(diǎn)為(x0,2x0+x0lnx0)，

對y=x(lnx+2)求導(dǎo)得y′=lnx+3，

∴切線的斜率k=lnx0+3，

故切線方程為y?(2x0+x0練23解：對于函數(shù)y=x+1，y′=12x+1，

所以函數(shù)y=x+1的圖象在x=0處的切線的斜率k=y′|x=0=12，

又切線經(jīng)過切點(diǎn)0,1，

所以切線方程為y?1=12(x?0)，即y=1例5.解：因?yàn)閒(x)=ex+cosx，所以f′(x)=ex?sinx，

所以f′(0)=e0?sin0=1，

所以直線l的方程為y?2=x?0，即y=x+2，

令x=0，得y=2，令y=0，得x=?2例6.解：設(shè)切點(diǎn)為x0,ex0,y’=ex.根據(jù)兩點(diǎn)之間斜率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

易知ex0?bx0?a=ex0，整理得：ex0?b?x0ex0+aex0=0有兩解，綜上，0<b<e練31解：設(shè)P(a,b)，Q(m,n)，

由y=cosx，得y′=?sinx，

∵x∈(?π,π)，∴?1≤?sinx≤1，

由y=x(x3+1)，得y′=12(x+1x)≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立，

∵函數(shù)y=cosx，x∈(?π,π)圖象在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=x(x3+1)在點(diǎn)Q處的切線平行，

∴?sina=12(m+1m)=1，

∵a∈(?π,π)，m>0練32解：f(x)=e?2x?1,x≤0,12若x(f(x)?a|x|)≤0，

易知x=0時(shí)恒成立，此時(shí)a∈R；

x>0時(shí)，f(x)?a|x|≤0，即f(x)≤ax，

x<0時(shí)，f(x)?a|x|≥0，即f(x)≥?ax．

x>0時(shí)，f(x)=12ln(x+1)，f′(x)=12(x+1)，

易知f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，f′(x)<f′(0)=12，

故若f(x)≤ax，則a≥12；

x<0時(shí)，f(x)=e?2x?1，f′(x)=?2e?2x，

易知f′(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，練33解：3ln?a?a2b=c+2d=1，∴b=3lna?a2，d=c+2，

∴點(diǎn)(a,b)在曲線y=3lnx?x2上，點(diǎn)(c,d)在曲線y=x+2上，

(a?c)2+(b?d)2的幾何意義就是曲線y=3lnx?x2(x>0)上的點(diǎn)到直線y=x+2上點(diǎn)的距離的平方，

考查曲線y=3lnx?x2(x>0)平行于直線y=x+2的切線，如下圖：

∵y=3lnx?x2(x>0)的導(dǎo)數(shù)y′=3x?2x，令y′=3x?2x=1練34解：(1)由已知得f′(x)=3ax因?yàn)閒′(?1)=0，所以3a?6?6a=0，所以a=?2．（2）存在．由已知得，直線m