專題04圓錐曲線（難點(diǎn)）（解析版）

專題04圓錐曲線（難點(diǎn)）一、單選題1．已知直線與雙曲線無(wú)公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可求得結(jié)果.【解析】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點(diǎn)，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C3．已知雙曲線：斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，如圖1.若直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，由，得三點(diǎn)共線，從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.【解析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，則，兩式相減得，所以①，設(shè)，線段CD的中點(diǎn)，同理得②，因?yàn)?，所以，則三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得：，即，所以，即，所以，故選：D.4．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，記線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進(jìn)而得，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得.【解析】解：設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以根據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.5．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是該橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】A【分析】設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標(biāo)，同理可求的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.【解析】不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因?yàn)楣簿€，故，整理得到即，若，，因?yàn)?，，故，所以，?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與橢圓有關(guān)的角的計(jì)算，一般利用其正切來(lái)刻畫，因?yàn)榻堑恼信c直線的斜率相關(guān)，注意運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.6．是拋物線C：上一定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得①，設(shè)直線AB：并聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理及①求參數(shù)b關(guān)于的關(guān)系式，并將直線化為，利用其過定點(diǎn)求x、y，即可確定坐標(biāo).【解析】設(shè)，則，相減得，，同理得：，

為常數(shù)，，，整理有，①設(shè)直線AB：，代入拋物線方程得：，，則，代入①，得：，有，代入AB的直線方程，得：，，，直線過定點(diǎn)，則，解得：，即，直線AB所過定點(diǎn)

.故選：C.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)的軌跡為曲線，若，且是曲線上不同的點(diǎn)，滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件推導(dǎo)出曲線C2：y2=4x．，，由AB⊥BC，推導(dǎo)出，由此能求出的取值范圍．【解析】∵橢圓C1：+=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∴F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l1：x=﹣1，設(shè)l2：y=t，設(shè)P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），則y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，∴曲線C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的點(diǎn)，∴，，∵AB⊥BC，∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，∵，，∴（﹣4）（﹣）+=0，∵y1≠2，y1≠y2，∴，整理，得，關(guān)于y1的方程有不為2的解，∴，且y2≠﹣6，∴0，且y2≠﹣6，解得y2＜﹣6，或y2≥10．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．8．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)．存在非零實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)A的直線與C點(diǎn)的軌跡相交于MN兩點(diǎn)．若的面積為，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由條件可知點(diǎn)C的軌跡為橢圓，容易驗(yàn)證直線MN不垂直與x軸，設(shè)，直線MN的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)的面積為求出t，繼而可求出結(jié)果．【解析】設(shè)點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，由，知G為的重心，則G的坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)P在角的平分線上，又角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)，因此點(diǎn)I為的內(nèi)心，如圖，設(shè)角平分線交于，則，故，由為角平分線可得，而，故，故即,因此，點(diǎn)C的軌跡是橢圓，點(diǎn)C的軌跡方程為．若直線MN垂直于x軸，則，此時(shí)，不符合題意；所以直線MN不垂直于x軸，設(shè)直線MN的方程為：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直線MN的方程為：，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為：．故選：C．二、多選題9．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓和，其中r1，r2為正常數(shù)，滿足或，一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（

）A．兩個(gè)橢圓 B．兩個(gè)雙曲線C．一個(gè)雙曲線和一條直線 D．一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線【答案】BCD【分析】?jī)蓤A圓心距C1C2＝4，當(dāng)r1+r2＜4，即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切；當(dāng)r1+r2＞4，兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，分別討論，得出結(jié)論．【解析】解：根據(jù)題意圓，半徑r1，圓，半徑r2，所以，設(shè)圓P的半徑為r，（1）當(dāng)，即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，①均內(nèi)切時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在C1，C2的垂直平分線上．②均外切時(shí)|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此時(shí)．此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是與①相同．③與一個(gè)內(nèi)切與一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時(shí)，同理得，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線，與①中雙曲線不一樣．（2）當(dāng)，兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，④均內(nèi)切時(shí)軌跡和①相同．⑤均外切時(shí)軌跡和①相同⑥與一個(gè)內(nèi)切另一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時(shí)，同理得，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，圓與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的定義的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)動(dòng)圓圓心與已知圓的圓心距離，的和與差與，間的關(guān)系，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義進(jìn)行分析10．已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若直線的斜率為，則B．的最小值為C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為D．若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為【答案】BC【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出MN坐標(biāo)聯(lián)立進(jìn)行求解當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)B；畫出大致圖像過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交y軸于，結(jié)合拋物線定義判斷選項(xiàng)C；過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，結(jié)合的周長(zhǎng)為進(jìn)而進(jìn)行判斷選項(xiàng)D即可．【解析】解：由題意得點(diǎn)在拋物線C：上，所以，解得，所以C：，則，設(shè)直線：，與聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；如圖，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交y軸于，取MF的中點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以MF為直徑的圓與y軸相切，所以為圓與y軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，又D為MF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，又點(diǎn)M在拋物線上，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，故C項(xiàng)正確；過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選:BC．11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且的最小值為6，則（

）A．該雙曲線的方程為 B．若，則直線的斜率為C．的最小值為25 D．面積的最小值為12【答案】ACD【分析】由題知，，進(jìn)而可求得雙曲線的方程判斷A；設(shè)直線，由已知可知，聯(lián)立直線與雙曲線方程結(jié)合可判斷B；利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn)計(jì)算可判斷C；利用面積公式及弦長(zhǎng)公式可求得面積，再利用函數(shù)思想求得最值可判斷D.【解析】對(duì)于A，依題意可知，，，結(jié)合，得，，所以雙曲線的方程為，故A正確；對(duì)于B，易知，拋物線漸近線的斜率為，設(shè)，，直線，由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以，從而，聯(lián)立，得，則，，，若，則，即，解得，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，，所以因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，則，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，故D正確，故選：ACD．12．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上），外接圓的圓心為H，內(nèi)切圓的圓心為I，直線PI交x軸于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（

）A．存在，使得成立B．的最小值為C．過點(diǎn)I的直線l斜率為，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N，直線ON的斜率為，則D．橢圓C的離心率【答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，進(jìn)而判斷出與共線，最后判斷答案；對(duì)B，根據(jù)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式求得答案；對(duì)C，利用“點(diǎn)差法”即可求得答案；對(duì)D，運(yùn)用角平分線定理即可求得答案.【解析】對(duì)A，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以與共線，而.A正確；對(duì)B，，取線段的中點(diǎn)G，則HG⊥，由平面向量數(shù)量積的定義可知，，同理，所以.由基本不等式易得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.B正確；對(duì)C，設(shè)，則，所以，有因?yàn)?，?C錯(cuò)誤；對(duì)D，易知，分別是的角平分線，由角平分線定理可知：.D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線的第一象限的交點(diǎn)，且，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，則由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，則可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其范圍【解析】解：設(shè)，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，設(shè)，則，解得所以，當(dāng)時(shí)，最大值為時(shí)，的值為2，所以的取值范圍是.故答案為：14．已知雙曲線：，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，在線段上取“的周長(zhǎng)中點(diǎn)”，滿足，同理可在線段上也取“的周長(zhǎng)中點(diǎn)”.若的面積最大值為1，則________．【答案】【分析】根據(jù)題目中對(duì)周長(zhǎng)中點(diǎn)的定義，可以列出圖像中各線段之間的關(guān)系，將兩式相加，相減，得到與雙曲線定義，焦距相關(guān)的式子，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解【解析】解：由題意作出圖形，設(shè)雙曲線的焦距為,根據(jù)題意可得：,①,②①②得：，即所以，所以：①②得：所以,所以,,所以當(dāng)時(shí),的面積取最大值,所以,所以,故答案為:.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是________（1）雙曲線的離心率

（2）當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上

（3）為定值

（4）的最小值為【答案】（1）（3）（4）【分析】先依據(jù)題給條件求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求得雙曲線的離心率判斷（1）；求得△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)判斷（2）；對(duì)化簡(jiǎn)整理，并求值判斷（3）；求得的最小值判斷（4）.【解析】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的漸近線為，由圓與雙曲線的漸近線相切，可得，解之得或（舍），則雙曲線，，，（1）雙曲線的離心率.判斷正確；（2）為雙曲線右支上（異于右頂點(diǎn)）一點(diǎn)，設(shè)△的內(nèi)切圓與x軸相切于M點(diǎn)，則，解之得，則切點(diǎn)則△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，則圓心總在直線上.判斷錯(cuò)誤；（3）設(shè)雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則又雙曲線的漸近線為則，即為定值.判斷正確；（4）設(shè)雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，可得由，可得不妨令，則由為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，可得，則則，即的最小值為.判斷正確.故答案為：（1）（3）（4）16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)(A在第一象限)，若，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先根據(jù)已知條件找到，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而整理，然后把整體看做變量，找到其范圍，求出函數(shù)的值域即可.【解析】∵直線AB過原點(diǎn)，所以A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即又∵，∴四邊形為矩形∴則在中，∵，∴∵

∴∵A在第一象限，∴∴∴令，則有，即故答案為：【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．17．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則______________.①的取值范圍是

②直線與軸垂直③若，則

④的取值范圍是【答案】②③④【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的傾斜角判斷①；利用雙曲線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)的定義判斷②；根據(jù)平面幾何的知識(shí)得后，再根據(jù)直角三角形相似求得判斷③；根據(jù)得范圍，再根據(jù)基本不等式求解即可.【解析】解：如圖，設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為，由切線的性質(zhì)得的橫坐標(biāo)相等，，由雙曲線的定義得，所以，所以，設(shè)，則，解得，即的橫坐標(biāo)，同理可得的橫坐標(biāo)也是，對(duì)于①，雙曲線的漸近線方程為，傾斜角分別為，故當(dāng)過且傾斜角滿足時(shí)，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，故直線與軸垂直，正確；對(duì)于③，連接，由三角形的內(nèi)切圓圓心是角平分線的交點(diǎn)得，所以，，，故，即，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)直線軸，，，所以，故正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，故，所以，所以，故正確.故答案為：②③④18．已知曲線：，拋物線：，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說(shuō)法正確的有___________①直線l：是曲線和的公切線：②曲線和的公切線有且僅有一條；③最小值為；④當(dāng)軸時(shí)，最小值為.【答案】①③④【分析】對(duì)于①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；對(duì)于②，分別設(shè)兩條曲線上的切線方程，然后根據(jù)公切線的定義建立方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，研究函數(shù)的零點(diǎn)即可；對(duì)于③，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求的最小值，進(jìn)而建立函數(shù)，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于④，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)單調(diào)性即可.【解析】解：選項(xiàng)①，對(duì)于曲線，，當(dāng)時(shí)，，，故直線與曲線相切與點(diǎn)；聯(lián)立，可得，故此時(shí)直線與切于點(diǎn)，故直線l：是曲線和的公切線，故①正確；對(duì)于②，設(shè)公切線分別與切于點(diǎn)，則曲線的切線為：，曲線的切線為，根據(jù)與表示同一條直線，則有，解得，令，則有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在一條公切線故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖所示，可得，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，故有：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則有：，令，可得，再次求導(dǎo)可得：，故在上單調(diào)遞增，又，可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故，則，故，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，則，則有：，記，則有，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有，故，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①③④.四、解答題19．已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn)，直線與C交于兩點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)直線l與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線的斜率與直線斜率之比為，求證以為直徑的圓一定過C的左頂點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)，由題可得，，根據(jù)斜率公式結(jié)合條件即得；（2）由題可設(shè)直線，方程，與聯(lián)立可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)斜率關(guān)系即得.（1）由題意得，，設(shè)，，，則，，即，，得，又∵點(diǎn)在C上，即，得，∴；（2）∵，設(shè)直線方程為，則方程為，聯(lián)立，得（且），設(shè)，得，，同理設(shè)，得，，，，∴，即，∴以MN為直徑的圓一定過C的左頂點(diǎn).20．拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)若是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過向作兩條切線，切點(diǎn)為M，N，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案；（2）利用（1）可得到的方程為，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得到切線，的方程，通過計(jì)算可得到直線的方程，可知直線恒過定點(diǎn)，則到直線的距離達(dá)到最大值時(shí)，必有，即可得到答案（1）由橢圓可得，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，

又因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸正半軸上，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而的準(zhǔn)線方程為；（2）由（1）知的方程為，即，則，

設(shè)，切點(diǎn)，，從而切線方程為，即，

同理切線方程為，

分別代入有，從而和均滿足直線方程，所以直線的方程為，即，

又因?yàn)樵谥本€上，所以，

所以直線的方程為，從而直線恒過定點(diǎn)，

當(dāng)?shù)街本€的距離達(dá)到最大值時(shí)，必有，因?yàn)?，所以，所以，從而此時(shí)的坐標(biāo)為21．從①點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)與、三點(diǎn)共線；②這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．已知為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作直線交曲線于、兩點(diǎn)，軸上是否存在一定點(diǎn)，使得______？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)條件選擇見解析，存在滿足題意【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)可得出點(diǎn)的軌跡方程；（2）選①，分析可知直線的斜率存在，分兩種情況討論：時(shí)，直接驗(yàn)證；時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合可得出結(jié)論；選②，假設(shè)存在滿足題意，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，求出的值，即可得出結(jié)論.（1）解：設(shè)，又、，則，，由，得，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為．（2）解：若選①，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在．當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)對(duì)軸上任意一點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立得，，則，由韋達(dá)定理可得，，則直線的斜率，所以，直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以，直線過定點(diǎn)，存在滿足題意．綜上，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為；若選②，假設(shè)存在滿足題意，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立得，，則，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，即對(duì)任意的恒成立，則.所以，存在滿足題意．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.22．已知點(diǎn)A、F分別為雙曲線C：的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且點(diǎn)A、F到直線的距離相等．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)M為雙曲線C上的點(diǎn)，且點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為．①求雙曲線C的方程；②設(shè)過點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點(diǎn)P、Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)B，求值．【答案】(1)2(2)①；②1【分析】（1）根據(jù)已知條件列出等式，化簡(jiǎn)可以得到雙曲線C的離心率；（2）①由（1）可得，設(shè)，代入雙曲線方程，由根據(jù)點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為列出等式，結(jié)合可求出a的值，從而求得雙曲線C的方程；②由①得，設(shè)直線l的方程為，，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，得到線段PQ的垂直平分線的方程，用m表示與，從而得到的值．（1）點(diǎn)A、F到直線的距離相等，得，即，所以c＝2a，所以，即雙曲線C的離心率為2．（2）①由（1）c＝2a，所以，所以雙曲線C：，漸近線方程為．設(shè)，則，即．因?yàn)辄c(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離乘積為，所以，即，所以，解得a＝1．所以雙曲線C的方程為．②由①得F（2，0），設(shè)直線l的方程為x＝my＋2，，，，則由得．所以．設(shè)線段PQ中點(diǎn)E為，則，，所以線段PQ的垂直平分線的方程為．令y＝0，則，即．所以．由，得，所以，所以，即的值為1．23．已知橢圓的離心率為，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.①求證：直線恒過定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②.【分析】（1）由離心率、焦點(diǎn)三角形最大面積及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程組求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）①設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件，應(yīng)用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)斜率公式化簡(jiǎn)求得，即可證結(jié)論；②由面積公式與韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．（2）①依題意，設(shè)，若直線的斜率為0則P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，即，所以，則，即因?yàn)?，所以，此時(shí)，故直線恒過x軸上一定點(diǎn)．②由①得：，所以，而，當(dāng)時(shí)的最大值為．24．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，解方程求出，即可得出答案.（2）由（1）得到直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，由韋達(dá)定理代入求出，設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，求出d，由面積公式即可求出答案.（3）設(shè)，，設(shè)，由題目條件表示結(jié)合定比分點(diǎn)公式由表示，設(shè)同理用表示，代入，可求得答案.（1）由題意，得解得∴，故的方程為．（2）由（1）知，∴直線AB的方程為，由即，設(shè)，，則，，∴．設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則．∴．（3）設(shè)AB直線方程，設(shè)，，，，由由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，由于A，C滿足橢圓方程，故得兩式作差得③，將①②代