專題07 與線段有關的計算（解析版）

07與線段有關的計算1．如圖所示，點M、N分別是線段AC、BD的中點．求證MN=（AB-CD）．【答案】證明見解析【詳解】證明：∵點M、N分別是線段AC、BD的中點，∴AM=AC，BN=BD，∴MN=AB-AM-BN=AB-AC-BD=AB-（AC+BD）=AB-（AB+CD）=（AB-CD）．2．如圖，已知點D是線段上一點，點C是線段的中點，且，若，求線段的長．【答案】線段的長為【詳解】解：∵，，∴，∴，∵點C是線段的中點，∴，答：線段的長為．3．已知線段，直線上有一點C，，點D是線段的中點，求線段的長．【答案】線段的長是20或40．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，當點C在線段上時，，，∵點D是線段的中點，∴．②如圖2，當點C在線段的延長線上時，，，∵點D是線段的中點，綜上可知，線段的長是20或40．4．如圖，點是線段上一點，點、、分別是線段，，的中點．(1)若，則；若，則．(2)若，，求線段的長．【答案】(1)5，12；(2)2.5【詳解】（1）∵、分別是、的中點，∴，，∴；若，∴，；故答案為：5，12；（2）∵，，∴，∵是線段的中點，∴，∴，∵是線段的中點，，∴．5．如圖，延長線段到，使，點是線段的中點，如果，(1)求的長度；(2)若點是線段的中點，求的長度．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：設，∴，∵點是線段的中點，∴，則，解得：，，∴．（2）解：∵點是線段的中點，∴，∵，∴，∴．6．如圖，點是線段的中點，點在線段上，且，，求線段和線段的長．【答案】，【詳解】解：∵，，∴，∴，∵點是線段的中點，∴，∴．7．如圖，，C是AB的中點，D是CB上一點，E為DB中點，．求CD的長．【答案】9【詳解】解：∵點C是AB的中點，∴，又∵點E是DB的中點，∴，∴．8．已知點在直線上，點，分別為，的中點．(1)如圖所示，若在線段上，厘米，厘米，求線段，的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足厘米，請根據(jù)題意畫圖，并求的長度（結果用含的式子表示）．【答案】(1)；；(2)作圖見解析，【詳解】（1）解：是的中點，，，又為的中點，，；（2）解：根據(jù)題意，點的位置分兩種情況：①點的位置在點左側(cè)，如圖所示：是的中點，，∵N是的中點，，；②點的位置在點右側(cè)，如圖所示：是的中點，，∵N是的中點，，．9．已知：如圖，線段AC上依次有D，B，E三點，其中點B為線段AC的中點，，若，求線段AC的長．【答案】8【詳解】解：∵D，B，E三點依次在線段AC上，∴DE=DB+BE．∵AD=BE，∴DE=DB+AD=AB．∵DE=4，∴AB=4．∵點B為線段AC的中點，∴AC=2AB=8．10．已知，點在直線上，點、分別是線段、的中點．(1)如圖1，點在線段上一點，，求的長；(2)如圖2，點在線段的延長線上，，點為直線上一點，，求長．【答案】(1)；(2)3或10【詳解】（1）解：∵是中點，是中點，∴，，∴，∵，∴．（2）解：∵是中點，是中點，∴，∴∴當點在點的右側(cè)時，，即，解得；當點在點的左側(cè)時，，即，解得，∴．綜上所述，的長為3或10．11．如圖，已知點C是線段上的點，D是延長線線上的點，且，，，求的長.【答案】【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．12．已知，如圖，點為線段上一點，，，且，分別為，的中點，求和的長．【答案】，【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，分別為，的中點，∴，，∴．13．已知，點在線段上，(1)試說明和有怎樣的關系？(2)若，求的長【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵．14．已知，線段，在直線上畫線段，使，點D是中點，點E是的中點，求的長．【答案】圖見解析；20或40【詳解】解：（1）當點C在線段上時，如下圖，()；（2）當點C在線段的延長線上時，如下圖，()；∴的長為20或40．15．已知點B是直線AC上一點，，分別是線段的中點，求線段的長（畫出圖形并解答）【答案】線段PQ的長為或．【詳解】解：∵分別是中點，∴，，當點在線段上時，，當點在的延長線上時，，∴線段PQ的長為或．16．點為數(shù)軸的原點，點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A表示的數(shù)為，線段的長為線段長的倍，點C在數(shù)軸上．(1)點B表示的數(shù)為(2)若線段，求線段的長；(3)在（2）的條件下，若點M為線段的中點，求出線段的長；【答案】(1)；(2)或；(3)或【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)為；所以因為線段的長為線段長的倍；所以所以所以點B表示的數(shù)為（2）解：當點C在點B的左側(cè)時，如圖：因為，；所以；當點C在點B的右側(cè)時，如圖：因為，；所以綜上所述：線段的長為或；（3）解：當點C在點B的左側(cè)時，如圖：因為點M為線段的中點，；所以所以；當點C在點B的右側(cè)，如圖：因為點M為線段的中點，；所以所以綜上所述：線段的長為或．17．回答下列問題：(1)如圖，已知線段，點線段上，、分別是線段與線段的中點，求線段的長；(2)已知線段，點在線段的延長線上，、分別是線段與線段的中點，則線段的長為多少？(3)已知線段，點在線段的反向延長線上，、分別是線段與線段的中點，則線段的長為多少？【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：點是中點，，點是中點，，；（2）解：如圖1所示：點是中點，，點是中點，，；（3）解：如圖2所示：為的中點，為的中點，，，．18．如圖所示，點C為線段上一點，點M、N分別是、的中點．求證：MN=AB【答案】證明見解析【詳解】證明：∵M、N分別是線段AC、BC的中點，∴MC=AC，CN=BC，∴MN=MC+CN=（AC+BC）=AB19．如圖，點C為線段AB上一點，AC＝12cm，，D、E分別為AC、AB的中點，求DE的長．【答案】【詳解】解：∵，，∴，∴，∵分別為的中點，，∴，∴．20．已知A，B，C，D四點在同一條直線上，點C是線段AB的中點．(1)點D在線段AB上，且AB=6，，求線段CD的長度；(2)若點E是線段AB上一點，且AE=2BE，當時，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關系，請說明理由．【答案】(1)線段CD的長度為2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由見解析【詳解】（1）解：如圖1，∵點C是線段AB的中點，AB=6，∴BC=AB=3，∵BD=BC，∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：當點D在線段AB上，如圖2，設AD=2x，則BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵點C是線段AB的中點，∴AC=AB=，∴CD=AC-AD=x，∵AE=2BE，∴AE=AB=x，CE=AE-AC=x，∴=，即5CD=3CE；當點D在BA延長線上時，如圖3，設AD=2a，則BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵點C是線段AB的中點，∴AC=AB=，∴CD=AC+AD=a，∵AE=2BE，∴AE=AB=a，CE=AE-AC=a，∴=，即CD=15CE．綜上，5CD=3CE或CD=15CE．21．如圖，已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點(1)如圖1，若，，求的長；(2)若，求的值；(3)若，，取的中點G，的中點H，的中點P，求的長(用含a的式子表示)．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：為的中點，E為的中點，，，，為的中點，∴，；（2）解：設，，則，，，為的中點，，∴；，，，，即的值為；（3）解：如圖，設，，即，則，，的中點為G，的中點為H，，，，的中點為P，，，∵x-y=a，．22．A、B、C、D四個車站的位置如圖所示，A、B兩點之間的距離表示為，，，．(1)求A、C兩站的距離；(2)求C、D兩站的距離；(3)探究：與之間的數(shù)量關系．【答案】(1);(2);(3)【詳解】（1）解：由圖可知；（2）解：由圖可知；（3）解：由（2）可知，∴．∵，∴．23．已知點、、在同一條直線上，點、分別是、的中點，且，．(1)如圖①，若點在線段上，，，求線段的長；(2)若點為線段上任一點，其它條件不變，請直接寫出你的猜想結果，的長度為（用含有，的代數(shù)式表示），不必說明理由；(3)若點在線段的延長線上，其它條件不變，請在圖②中畫出圖形，試猜想的長度為（用含有，的代數(shù)式表示，，并說明理由．【答案】(1);(2);(3)，理由見解析【詳解】（1）（1）點、分別是、的中點，，，；（2））猜想：，理由如下：點、分別是、的中點，，，．故答案為：；（3）猜想：，理由如下：如圖，點、分別是、的中點，，，．故答案為：．24．已知：點C在直線上，點D、E分別是的中點．(1)當點C在線段上時，如圖（1），①若，則；②若，你能猜想出的長度嗎？寫出你的猜想并說明理由；(2)當點C在線段的延長線上，且時，你能猜想出的長度嗎？請在圖（2）上畫出圖形，并直接寫出你的猜想結果．【答案】(1)①4；②a;(2)（n﹣m）【詳解】（1）解：（1）①∵點D、E分別是的中點，∴，∵，∴．故答案為：4．②∵點D、E分別是的中點，∴，∵，∴．（2）解：畫圖如圖2所示，DE（n﹣m），理由如下：∴，∵，∴．25．如圖，點在線段上，，，點、分別為、的中點．(1)求線段、的長；(2)若在線段的延長線上，且滿足，、分別是線段、的中點，求的長度．【答案】(1)，;(2)【詳解】（1）解：，是的中點，，，，為的中點，，，故答案為：，．（2）如下圖所示，是中點，是中點，，，，．故答案為：．26．如圖，點在線段上，點、分別是、的中點，若，，求線段的長．【答案】【詳解】解：由、分別是、的中點，得，．由線段的和差，得．27．如圖，已知點C為線段上一點，，，分別是、的中點．求：(1)求的長度；(2)求的長度；(3)若M在直線上，且，求的長度．【答案】(1);(2);(3)或【詳解】（1）解：由線段中點的性質(zhì)，；（2）由線段的和差，得，由線段中點的性質(zhì)，得，由線段的和差，得；（3）當M在點B的右側(cè)時，；當M在點B的左側(cè)時，，∴的長度為或．28．已知點在直線上，點，分別為，的中點．(1)如圖所示，若在線段上，厘米，厘米，求線段，的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足厘米，請根據(jù)題意畫圖，并求的長度（結果用含的式子表示）．【答案】(1)厘米，厘米；(2)厘米．【詳解】（1）解：點，分別為，的中點，厘米，，，（厘米），厘米，（厘米）；（2）解：如圖，點，分別為，的中點，，，厘米．29．如圖，線段，請用尺規(guī)按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），再完成作答．(1)延長線段到點C，使，并直接取、的中點分別為點D、點E；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析;(2)3cm【詳解】（1）解：如下圖，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線與點C，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線與點E，，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交與點D，，點C、點D、點E為所求；（2），，是的中點，，是的中點，，．30．如圖，點C在線段AB上，，點M、