ANSYS工程分析-基礎(chǔ)與觀念Chapter02

第2章結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)ReviewofStructuralMechanics這一章的目的是希望能夠在最短的時(shí)間內(nèi)，幫讀者對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)作一個(gè)總復(fù)習(xí)，以具備必要的背景知識(shí)去理解以后各章節(jié)所介紹的觀念。本章的討論只限于線性、靜態(tài)的結(jié)構(gòu)之問題。在第一節(jié)中我們先定義結(jié)構(gòu)分析的問題：一個(gè)實(shí)體（body）承受了負(fù)載（loads），我們要去求出它所產(chǎn)生的反應(yīng)（responses）。在這個(gè)簡(jiǎn)潔的定義中我們使用了幾個(gè)名詞：body、loads、及responses，我們將一一分別討論。結(jié)構(gòu)承受負(fù)載后的反應(yīng)通?？梢杂米兾唬╠isplacements）、應(yīng)變（strains）、及應(yīng)力（stresses）來表示，這些量之間存在某些關(guān)系；我們將在第二節(jié)中討論控制著這些未知量間的方程式。第三節(jié)我們將討論利用有限元素法來解這些控制方程式的基本觀念，包括有限元素法的基本構(gòu)想及形狀函數(shù)（shapefunctions）、勁度矩陣（stiffnessmatrices）等名詞及其背后的重要性。第節(jié)結(jié)構(gòu)分析問題的定義DefinitionofStructuralAnalysisProblems結(jié)構(gòu)分析問題很多的工程分析問題都可以定義成在一個(gè)區(qū)域（domain）中，承受某些的負(fù)載（loads），而我們想要知道這個(gè)domain的反應(yīng)（response）。所謂domain可能是一固體、流體、或只是一個(gè)空間，但在結(jié)構(gòu)分析問題上，domain是指一個(gè)固態(tài)的實(shí)體（solidbody）。結(jié)構(gòu)分析是一個(gè)固態(tài)的實(shí)體（body）承受負(fù)載（loads）后（如圖2-1所示），求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)（responses）的過程。圖2-1結(jié)構(gòu)分析問題定義圖2-1中我們畫了一個(gè)body，并有四個(gè)常見的負(fù)載加在這個(gè)body上。第一個(gè)load是作用在邊界S1上的均布載重F1；第二個(gè)load是作用在邊界S2上的集中載重F2；第三個(gè)load是作用在邊界S3上的拘束（變位為0）；第四個(gè)load是作用在邊界S4上的已知變位。結(jié)構(gòu)分析的目是去求解在這樣的loads下所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。我們所舉的四個(gè)負(fù)載都是作用在邊界上，所以又可以稱為「邊界條件」（boundaryconditions）。但是負(fù)載并不一定全部都作用在邊界上，譬如重力可以均勻作用在body內(nèi)部，這種情形我們通常不稱之為邊界條件，而以「負(fù)載」統(tǒng)稱這些分布在邊界上及物體內(nèi)的條件。負(fù)載種類我們將在小節(jié)進(jìn)一步介紹，而要怎么去完整的描述結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，我們將在至小節(jié)討論。在小節(jié)中我們僅以兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明圖2-1的意義。2.1.2結(jié)構(gòu)分析實(shí)例圖2-2的例子中的body是一根梁，這根梁承受三個(gè)負(fù)載：一是集中載重P；二是均布載Q；三是梁左端的一個(gè)拘束（變位為0）。我們想知道在這些負(fù)載下，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)是怎樣子的。圖2-3的例子是一個(gè)根梁承受了兩個(gè)負(fù)載：一是右端的已知變位D，二是左端的固定拘束。我們想要知道在這樣的情形下，它的反應(yīng)會(huì)是怎樣子的。PPQ圖2-2結(jié)構(gòu)分析實(shí)例：懸臂梁承受集中載重P及均布載QDD圖2-3結(jié)構(gòu)分析實(shí)例：懸臂梁承受變位D2.1.3負(fù)載為了有效地將負(fù)載作用在body中，我們有必要對(duì)loads去作一個(gè)很清楚的分類。前面所舉的一些loads例子，都是作用在body表面上的，所以我們可以先將負(fù)載分為兩大類：作用在物體表面及作用在物體內(nèi)部的loads。圖2-4列出ANSYS中所考慮的結(jié)構(gòu)物負(fù)載。作用在物體表面的loads包括了力及變位；力又可分為集中力（SI單位N）及分布力（SI單位N/m2）；變位則又可分為零變位及非零變位。以上這些負(fù)載應(yīng)該都是很容易理解的。作用在body內(nèi)部的loads，最?？吹降氖菬嶝?fù)載，在ANSYS中是以溫度變化量（℃）描述于整個(gè)body中（而非只有表面）。慣性力（如重力、離心力等，SI單位N/m3）也是常見的分布于整個(gè)body的力。其它還有靜電力、磁力等也是分布在body的力。負(fù)載作用在物體表面力表面分布力點(diǎn)集中力變位零變位（固定）非零變位作用在物體內(nèi)部力慣性力（重力、離心力）其它體積分布力（電力、磁力）熱溫度變化圖2-4結(jié)構(gòu)負(fù)載的分類2.1.4反應(yīng)我們通常用變位、應(yīng)變、應(yīng)力來表示一個(gè)body承受loads后的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。圖2-5列出本書所用的變位、應(yīng)變、應(yīng)力的符號(hào)及它們分量的個(gè)數(shù)。注意，在3D的結(jié)構(gòu)分析中，我們總共使用了15個(gè)分量來描述結(jié)構(gòu)反應(yīng)，而每一個(gè)分量都是位置的函數(shù)。事實(shí)上，這些量之間并非是完全獨(dú)立的，我們將在節(jié)討論它們之間的關(guān)系。為什么我們要用變位、應(yīng)變、應(yīng)力來描述結(jié)構(gòu)反應(yīng)呢？變位是指每一直點(diǎn)的位移，它代表結(jié)構(gòu)的變形；所以描述結(jié)構(gòu)反應(yīng)時(shí)，變位是不可或缺的。但是應(yīng)力、應(yīng)變的重要性又是如何呢？一個(gè)材料它能夠承受的應(yīng)力、應(yīng)變都是有一限度的；應(yīng)力、應(yīng)變超過某一程度，就會(huì)破壞掉（fracture）或降伏掉（yield），所以它們通常作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是否實(shí)用的重要檢驗(yàn)基準(zhǔn)。結(jié)構(gòu)反應(yīng)符號(hào)分量數(shù)目變位（displacements）{u}3應(yīng)變（strains）{}6應(yīng)力（stresses）{}6圖2-5結(jié)構(gòu)負(fù)載的分類在本書中，我們用{u}來代表變位、用{}來代表應(yīng)變、用{}來代表應(yīng)力。我們會(huì)在以下的三個(gè)小節(jié)里分別來討論這些量。注意，這三個(gè)量都不是單一的量，所以我們用向量來表示它們。在3D的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)里面，變位有3個(gè)分量，應(yīng)變及應(yīng)力各有六個(gè)分量，一共有15個(gè)分量。我們把這15個(gè)量當(dāng)做是我們要去求解的未知量，只要知道了這15個(gè)量，就能清楚的來描述結(jié)構(gòu)反應(yīng)。注意，去選用多少的未知量是任意的，只要我們建立出等量的方程式，就可以去解出未知量。2.1.5變位圖2-6變位變位應(yīng)該是很容易了解的。在圖2-6中，我們畫了變形前及變形后的body；假設(shè)某一個(gè)特定的質(zhì)點(diǎn)（x,y,z）在變形后移到了一個(gè)新的位置，我們把它的位移用一個(gè)向量（vector）來表示，這就是這個(gè)點(diǎn)的變位（displacement），我們用{u(x,y,z)}來代表。因?yàn)樗且粋€(gè)向量，所以在3D中我們可以用三個(gè)分量ux、uy、uz來表示： (2.1)注意，式中的3個(gè)分量都是位置的函數(shù)。2.1.6應(yīng)力上一小節(jié)所討論的「變位」是很容易了解的，它可以用向量來表示，而我們通常很熟悉向量的觀念。相對(duì)的，應(yīng)力及應(yīng)變的觀念則有一點(diǎn)復(fù)雜。嚴(yán)格來說「應(yīng)力」用向量來表示是不精確的；比較精確的方式是用張量（tensor）來表示，但是tensor是很不容易理解的數(shù)學(xué)表示方式，所以除非必須非常深入地討論應(yīng)力，一般的結(jié)構(gòu)力學(xué)講解還是舍棄用tensor來解說應(yīng)力。應(yīng)力是在描述力的密度（intensity），也就是是每單位面積有多少力量（SI單位N/m2）。如果有一條斷面積A的鋼條被施以F的力量，則我們說沿著長度方向有F/A的應(yīng)力。在3D的情況下，事情變得有點(diǎn)復(fù)雜?，F(xiàn)在假想你被埋在一個(gè)body里面的A點(diǎn)，這個(gè)body承受了某些loads，如圖2-7所示；你如何對(duì)外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢？也就是說你的每單位表面積受到多少力。圖2-7結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的某一點(diǎn)A的應(yīng)力為了說明，我們假設(shè)有一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)xyz可供參照，如圖所示。如果這個(gè)body是一靜止的液體，你會(huì)受到四面八方相同的壓力，所以只要一個(gè)量就可以完整地描述你承受的應(yīng)力。假設(shè)壓應(yīng)力大小是p（SI單位N/m2），那么你可以如此描述：「我感受到p的壓應(yīng)力」。當(dāng)我們感受力量向著自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為壓應(yīng)力；反之當(dāng)我們感受力量遠(yuǎn)離自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為張應(yīng)力。注意，當(dāng)圖中的body是靜止液體時(shí)，你永遠(yuǎn)會(huì)感受力量向著自己的，亦即永遠(yuǎn)是壓應(yīng)力，而且此壓應(yīng)力大小與方向無關(guān)。當(dāng)圖中的body是固態(tài)實(shí)體時(shí)，你會(huì)在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要精確地描述所承受的力，必須先說明在哪個(gè)方向，譬如：「我在某方向感受到p的應(yīng)力」。注意，p本身是一個(gè)向量，當(dāng)向著你自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為壓應(yīng)力；反之當(dāng)遠(yuǎn)離自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為張應(yīng)力。圖2-8物體中某一點(diǎn)的應(yīng)力描述我們以圖2-8來進(jìn)一步說明上述這一句話（在某方向感受到p的應(yīng)力）的意義。圖2-8中，我們以圍繞在A點(diǎn)（圖2-7）的6個(gè)平面來分別代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向，譬如垂直于+x方向的平面稱為+x平面、垂直于-x方向的平面稱為-x平面、其它類同。假設(shè)你在+x方向感受到p的應(yīng)力（注意，其SI單位為N/m2），亦即有p的應(yīng)力作用在+x平面上。若將此應(yīng)力拆成三個(gè)分量，分別平行于x、y、及z方向——在圖中我們以x、xy、xz來表示，注意其中第一個(gè)下標(biāo)x是指作用在+x平面上、第二個(gè)下標(biāo)是指應(yīng)力的方向。因?yàn)閤垂直于+x平面，所以我們稱之為該平面上的正向應(yīng)力；而因?yàn)閤y、xz相切于+x平面，所以我們稱之為該平面上的剪向應(yīng)力。圖2-9是與圖2-8是完全一樣的，只是轉(zhuǎn)個(gè)方向而已。圖2-9物體中某一點(diǎn)的應(yīng)力描述（X-YPlaneView）為了描述某一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力，只有描述一個(gè)方向（或平面）的應(yīng)力是不夠的；在3D的世界里，我們最少需要描述三個(gè)方向的應(yīng)力才能完整地描述某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。其它方向的應(yīng)力可以從這三個(gè)方向的應(yīng)力來推算出來，但是這三個(gè)方向必須是獨(dú)立的，一般我們選擇+x、+y、及+z方向。如前面所討論的，我們以x、xy、xz來表示+x方向的正應(yīng)力及平行于+y及+z方向的剪應(yīng)力；同樣的我們以y、yx、yz來表示+y方向的正應(yīng)力及平行于+x及+z方向的剪應(yīng)力；而以z、zx、zy來表示+z方向的正應(yīng)力及平行于+x及+y方向的剪應(yīng)力。所以我們可以用9個(gè)分量來表示一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： (2.2)這9個(gè)應(yīng)力分量分別表示在圖2-8中的立方體上。事實(shí)上這9個(gè)分量也并不是完全的獨(dú)立的，我們可以證明 (2.3)也就是說式中的矩陣是對(duì)稱的。所以只要用6個(gè)分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成 (2.4)式的證明很簡(jiǎn)單，只要將圖2-8的立方體視為一個(gè)自由體（freebody），再取下列力平衡條件即可得到證明：2.1.7應(yīng)變圖2-10質(zhì)點(diǎn)A的應(yīng)變應(yīng)變是在描述某一質(zhì)點(diǎn)被拉申或壓縮的程度，它的單位是每單位長度的拉伸長度（SI單位m/m，所以相當(dāng)于無單位）。如果有一長度L的物體被均勻拉長L，則我們說沿著長度方向有L/L的應(yīng)變。在3D的情況下，應(yīng)變比應(yīng)力更難理解。現(xiàn)在讓我們來思考一個(gè)body內(nèi)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A及鄰近的點(diǎn)B和C，如圖2-10所示。注意，我們故意選擇三個(gè)點(diǎn)的位置使的AB和AC互相垂直。假設(shè)這個(gè)body變形以后ABC三個(gè)點(diǎn)變?yōu)锳’B’C’三個(gè)點(diǎn)。為了要計(jì)算AB和AC這兩根纖維在變形后被拉伸了多少，我們先將變位前后的纖維迭合在一起做比較，亦即將變形后的纖維A’B’C’作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變成A’B”C”，再作一個(gè)平移變成AB’’’C’’’。注意，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)及平移后并不影響其兩根纖維的相對(duì)關(guān)系（即長度及夾角）。現(xiàn)在可以很清楚地看出原來的x方向的一條小纖維AB被拉伸成AB’’’，其總伸長可以用向量BB’’’來表示。這個(gè)伸長量BB’’’可拆成兩個(gè)分量：正向伸長量BD及剪向伸長量DB’’’，我們將它們除以原來的長度AB就是正向應(yīng)變（用x表示）及剪向應(yīng)變（用xy表示）：注意我們使用了和應(yīng)力一樣的下標(biāo)，亦即第一個(gè)下標(biāo)x是指作用在+x平面上、第二個(gè)下標(biāo)是指應(yīng)變的方向。以上的誘導(dǎo)主要是要讓讀者在觀念上理解到正向應(yīng)變及剪向應(yīng)變的涵義。根據(jù)上式，正向應(yīng)變（normalstrain）是很容易理解的：x平面上（有關(guān)x平面的定義請(qǐng)參照小節(jié)）的正向應(yīng)變就是x方向的一條無窮小的纖維，它的伸長量除以原來的長度。而剪向應(yīng)變（shearstrain）則需進(jìn)一步思考，以下的討論我們假設(shè)變形是無窮小的。根據(jù)上式，x平面上向著y方向的剪應(yīng)變事實(shí)上就是夾角BAB’’’，亦即在無窮小的變位假設(shè)下這個(gè)角度也就是兩根原來垂直的纖維其角度的變化。我們的結(jié)論是：xy表示x平面上y方向的剪應(yīng)變分量，它是xy平面上兩根原來垂直的纖維其角度的變化。注意此角度是以徑度量（radian）表示的，相當(dāng)于無單位（dimensionless）。在3D的情況下，x平面上除了正應(yīng)變x外還有y方向的剪應(yīng)變分量xy及z方向的剪應(yīng)變分量xz；y平面上則有正應(yīng)變y、x方向的剪應(yīng)變分量yx、及z方向的剪應(yīng)變分量yz；z平面上則有正應(yīng)變z、x方向的剪應(yīng)變分量zx、及y方向的剪應(yīng)變分量zy。所以在3D的情況下，我們可以用9個(gè)分量來表示一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài) (2.5)這9個(gè)應(yīng)變分量可以分別表示乘類似圖2-8的樣子（只要把改為就可以了）；圖2-11則是x-y平面的表示方式。圖2-11質(zhì)點(diǎn)A的應(yīng)變描述式中的9個(gè)分量也并不是完全的獨(dú)立的，我們可以證明（程序有點(diǎn)復(fù)雜，若有興趣可以參考任何材料力學(xué)課本，譬如Ref.24）； (2.6)也就是說式中的矩陣是對(duì)稱的。所以只要用6個(gè)分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成 (2.7)第節(jié)控制方程式GoverningEquations2.2.1控制方程式在節(jié)所定義的結(jié)構(gòu)分析問題中，我們所選定的未知量是變位{u}、應(yīng)力{}、及應(yīng)變{}， (2.1) (2.4) (2.7)其中變位有3個(gè)未知量，應(yīng)力有6個(gè)未知量，應(yīng)變也有6個(gè)未知量，這15個(gè)未知量都是位置的函數(shù)，所以我們分別稱之為變位場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、及應(yīng)變場(chǎng)。我們必須建立15個(gè)方程式才能解出這15個(gè)未知量，這些方程式就是所謂的控制方程式（governingequations）。一般在建立控制方程式我們會(huì)先尋求可以利用的物理法則，例如動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、及質(zhì)量守恒定律。再來是觀察這些未知量間是否存在著幾何關(guān)系或任何數(shù)學(xué)關(guān)系。最后，在未能建立足夠的方程式之下，我們必須做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，當(dāng)然這些假設(shè)是經(jīng)過很多實(shí)驗(yàn)來證實(shí)大致上是可以應(yīng)用的。注意，很多物理定律、假設(shè)、或數(shù)學(xué)定理都會(huì)以不同的形式來描述或應(yīng)用，工程師需要深切理解這點(diǎn)，譬如動(dòng)量守恒定律在結(jié)構(gòu)力學(xué)上常以牛頓運(yùn)動(dòng)定律的形式（力平衡原理）來應(yīng)用。我們先大致敘述結(jié)構(gòu)分析控制方程式的誘導(dǎo)程序，然后在接下來的三個(gè)小節(jié)中再詳細(xì)討論。面對(duì)節(jié)所定義的結(jié)構(gòu)分析的問題，我們會(huì)先利用力平衡原理來建立3個(gè)方程式。在3D中，力平衡方程式應(yīng)該有6個(gè)，但是其中3個(gè)我們已經(jīng)用來證明在剪應(yīng)力是對(duì)稱的了（小節(jié)最后部分）。接著利用應(yīng)變與變位之間的幾何關(guān)系，去建立出6個(gè)方程式，稱為應(yīng)變與變位關(guān)系。最后是假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著某一個(gè)關(guān)系（就是有名的虎克定律），有6條方程式。所以共有15個(gè)方程式。注意，在以下三個(gè)小節(jié)的討論中，有時(shí)侯在別的教科書上你所看到的控制方程式并不一定是這樣子的，可能是另一種形式，可是它們都是相等的。記著，當(dāng)你選用幾個(gè)未知量，就必須建立一樣數(shù)量的方程式才能解這些結(jié)構(gòu)反應(yīng)。2.2.2力平衡方程式我們要介紹的第一組方程式稱為力平衡方程式，即動(dòng)量守恒定律的另一種形式。為了思考body上某一質(zhì)點(diǎn)的力平衡，我們可分成兩個(gè)可能性來討論。第一個(gè)可能性是這一點(diǎn)是在body內(nèi)部的某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第二個(gè)可能性是這一點(diǎn)是在body表面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。我們先討論在body里面的某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，假想一個(gè)微小元素（如圖所示），它的長寬高分別是dx、dy、dz。假設(shè)它除了受x、y、z、xy、yz、zx外，其內(nèi)部還受了fx、fy、fz的bodyforces（譬如重力等，SI單位N/m3），我們對(duì)這個(gè)微小的元素應(yīng)用力平衡條件可以得到下列方程式 (2.8)注意，我們不能再應(yīng)用三個(gè)力矩平衡條件，因?yàn)槲覀円呀?jīng)用這三個(gè)力矩平衡條件來證明在剪應(yīng)力是對(duì)稱的了（小節(jié)最后部分）。如果這個(gè)質(zhì)點(diǎn)是在body的表面上，我們也是可以取一個(gè)微小元素，再對(duì)這個(gè)微小元素應(yīng)用力平衡條件，也可求得方程式如下 (2.9)其中nx、ny、nz是該點(diǎn)在body表面上的單位法向向量（unitnormalvector）的分量，而Tx、Ty、Tz是作用在body表面上外力（稱為surfacetractions）。以上、的誘導(dǎo)步驟我們并沒有詳細(xì)說明，因?yàn)檎T導(dǎo)過程并不是我們的重點(diǎn)，我們的重點(diǎn)是：無論質(zhì)點(diǎn)是在body內(nèi)部或邊界上，都存在著3個(gè)方程式，它們描述了應(yīng)力分量之間的關(guān)系；這3個(gè)方程式式由力平衡條件誘導(dǎo)來的；在body的內(nèi)部它們的形式是，而在body的邊界上它們的形式是。注意，這些方程式都是線性的。2.2.3應(yīng)變與變位關(guān)系接下來我們介紹下列的6個(gè)方程式，描述著應(yīng)變{}和變位{u}間的關(guān)系； (2.10)純粹是一種幾何關(guān)系（而不涉及任何物理現(xiàn)象）。你可以取一個(gè)微小的元素，從其幾何關(guān)系導(dǎo)出這樣的關(guān)系出來。誘導(dǎo)過程中忽略了二次微分項(xiàng)及更高的微分項(xiàng)只留下一次微分項(xiàng)；這代表是在很小的變形量下才能夠成立。所以對(duì)我們要強(qiáng)調(diào)的有三個(gè)重點(diǎn)：其一是它們描述了應(yīng)變與變位之間的關(guān)系。其二是它們由純粹幾何關(guān)系（而不含物理觀念）導(dǎo)出；其三是應(yīng)變與變位是線性的，因?yàn)槭窃跓o窮小的變形假設(shè)之下所導(dǎo)出來的。我們稍微進(jìn)一步地去觀察中6個(gè)方程式的涵意，我們看第一個(gè)方程式是指在x方向的纖維每單位長度在x方向的變位，這是相當(dāng)符合我們?cè)谛」?jié)的理解的。同樣的y、z也是一樣意思。而xy是xy平面上原來垂直的兩根纖維的角度變化量，它等于2.2.4應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系接下來我們要介紹下列的這6個(gè)方程式，它們又叫做虎克定律（Hooke’sLaw），它們描述了應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系： (2.11)注意這6條方程式只是一種理想化的假設(shè)，也就是說當(dāng)你應(yīng)用到這些方程式的時(shí)候，你必須確定材料符合這種假設(shè)。這種描述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的方程式又稱為材料的本構(gòu)方程式（constitutiveequations），是常被應(yīng)用的形式，因?yàn)樗亲詈?jiǎn)單的形式，并且在很多情況下其精確度是可以接受的。注意，中，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系。符合的材料稱為線性材料（或線性彈性材料）。為什么需要假設(shè)一組應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的方程式呢？理由很簡(jiǎn)單：因?yàn)槿绱瞬庞凶銐虻姆匠淌絹斫饨Y(jié)構(gòu)反應(yīng)。中包含了3個(gè)參數(shù)，它們代表線性彈性材料的材料參數(shù)：E、G、及。E稱為楊氏模數(shù)（Young’sModulus）。當(dāng)我們對(duì)線性彈性材料做單軸拉伸實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果把橫軸作為應(yīng)變，縱軸作為應(yīng)力，所畫出來的線應(yīng)該是一條直線，而直線的斜率即為楊氏模數(shù)E。G稱為剪力模數(shù)（shearmodulus）。當(dāng)我們對(duì)線性彈性材料作剪力實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果把橫軸作為剪應(yīng)變，縱軸作為剪應(yīng)力，所畫出來的線應(yīng)該是一條直線，而直線的斜率即為剪力模數(shù)G。稱為波松比（Poisson’sratio）。當(dāng)我們做單軸拉伸實(shí)驗(yàn)時(shí)，x方向被拉伸的同時(shí)，y和z的方向會(huì)收縮；此時(shí)y或z方向的收縮量與x方向拉伸量的比即為Poisson’sratio。事實(shí)上這3個(gè)材料參數(shù)并非獨(dú)立的，實(shí)驗(yàn)可以證明它們存在著下列的關(guān)系： (2.12)所以只要知道其中兩個(gè)參數(shù)即可知道其它一個(gè)參數(shù)，也就是說符合虎克定律的線性彈性材料只有兩個(gè)獨(dú)立的材料參數(shù)——E、G、之中的任何兩個(gè)。讓我們來看看中的方程式。第1、2、3條方程式事實(shí)上就是楊氏模數(shù)及Poisson’sratio的定義。對(duì)3D空間中的某一質(zhì)點(diǎn)而言，它承受的應(yīng)力可能是多軸的，所以當(dāng)我們?cè)谟^察x方向的應(yīng)變時(shí)，不只是x方向的應(yīng)力會(huì)造成x方向的拉伸，y方向的應(yīng)力也會(huì)造成x方向的收縮，同樣的z方向的應(yīng)力也會(huì)造成x方向的收縮。第4、5、6條方程式事實(shí)上就是剪力模數(shù)的定義。第節(jié)解題方法：有限元素法SolutionMethod:FiniteElementMethod2.3.1數(shù)值解法在節(jié)中我們建立了15條方程式，這15條方程式共包含了15個(gè)未知量。理論上這15條方程式可以來解15個(gè)未知量，但是實(shí)務(wù)上，只有很簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)并且承受很簡(jiǎn)單的負(fù)載的結(jié)構(gòu)問題才有可能獲得一個(gè)解析解（analyticalsolution）。實(shí)務(wù)上的工程問題中，結(jié)構(gòu)的幾何形狀及負(fù)載都是很復(fù)雜的。過去在沒有計(jì)算機(jī)的年代，大都數(shù)的工程師會(huì)對(duì)問題都做一個(gè)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，把幾何形狀及負(fù)載做簡(jiǎn)化，再來解問題。譬如簡(jiǎn)化成一個(gè)懸臂梁承受一個(gè)集中載重或均布載重等。但是大部分的工程問題若是太勉強(qiáng)地簡(jiǎn)化的結(jié)果，所解出來的解答與實(shí)際的偏離太多了。在少數(shù)可以簡(jiǎn)化的問題上，工程師本身必須具有相當(dāng)?shù)闹R(shí)、經(jīng)驗(yàn)、及洞察能力，才能適當(dāng)?shù)诤?jiǎn)化這些問題，才能適當(dāng)?shù)刈プ≡窘Y(jié)構(gòu)的行為本質(zhì)；這些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、及洞察能力常常需要長時(shí)間（譬如20、30年）的養(yǎng)成。所以長久以來工程師、數(shù)學(xué)家試著去研發(fā)很多的方法來解節(jié)中所描述的方程式。數(shù)值解法是必要的，因?yàn)楝F(xiàn)代的電子計(jì)算器都是以數(shù)值方式來處理的（其它處理方式都不算很成功）。數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展幾乎是平行于計(jì)算機(jī)科技發(fā)展的。工程師們從有計(jì)算機(jī)開始就開始著手發(fā)展一套有效數(shù)值的方法來解類如節(jié)所描述的方程式，其中有很多成功的例子，但是到目前為止最成功、最被普遍應(yīng)用的方法可以說是有限元素法了。從1930年代至今，它已經(jīng)發(fā)展了70年以上了。有限元素法事實(shí)上是針對(duì)邊界值問題（boundaryvalueproblems）所發(fā)展的。實(shí)際的工程問題的自變量通?？煞譃閮深悾粋€(gè)是空間（常用x、y、z三個(gè)變量表示），另一個(gè)是時(shí)間（常用t表示）。在空間變量上我們通?？梢詫栴}model成一個(gè)邊界值問題，但是在時(shí)間變量上，我們通常將問題model成一個(gè)初始值問題（initialvalueproblem），因?yàn)橥ǔ３跏紩r(shí)間的條件是已知的，但是最后時(shí)間點(diǎn)的條件通常無法得知。初始值問題通常以有限差分法（finitedifferencemethod）來解是比較適合的。所以一般含時(shí)間變量在內(nèi)的工程問題（即動(dòng)態(tài)問題），我們沿著時(shí)間軸將問題切割（利用有限差分法）成許多只含空間變量的邊界值問題，再以有限元素法來解這些邊界值問題；亦即在固定的時(shí)間點(diǎn)上去解一個(gè)邊界值問題，再將每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的解答串聯(lián)起來。2.3.2有限元素法：基本構(gòu)想前面提過實(shí)務(wù)上的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)大多有很復(fù)雜的幾何形狀及負(fù)載，而我們也知道對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何形狀及負(fù)載，可直接去寫出它的方程式。有限元素法的基本構(gòu)想是基于上述的事實(shí)的。首先我們把一個(gè)有復(fù)雜幾何形狀的區(qū)域切割成一些比較小且形狀較簡(jiǎn)單的區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域稱為一個(gè)元素（element），如圖2-12所示。圖2-12有限元素法的基本構(gòu)想所謂簡(jiǎn)單的區(qū)域是指其幾何形狀是簡(jiǎn)單的，譬如說在2D的情況下是三角形或四邊形等，在3D的情況下是四面體或六面體等。元素與元素假設(shè)是經(jīng)由節(jié)點(diǎn)（nodes）來連接的；在圖2-12中我們用黑點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)。就單一個(gè)元素來看，這些節(jié)點(diǎn)可以認(rèn)為是附屬在元素上面的；舉例來講，一個(gè)三角形元素，它的節(jié)點(diǎn)可能座落在三個(gè)頂點(diǎn)上。再以六面體為例，若它的頂點(diǎn)上面各有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的話，那么一個(gè)六面體就共有八個(gè)節(jié)點(diǎn)。無論是2D的三角形、四邊形、3D的四面體或六面體，通常在每個(gè)頂點(diǎn)上都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，但是這并不表示只有頂點(diǎn)上可以有節(jié)點(diǎn)。舉個(gè)例子，2D四邊形的元素，可以在四個(gè)頂點(diǎn)上有節(jié)點(diǎn)外，也可以在四個(gè)邊上的中點(diǎn)各有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣的元素就共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)。在有限元素法中，我們通常取節(jié)點(diǎn)上的變位量作為未知量，未知量又稱為自由度（degreesoffreedom）。在3D的情況下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，分別是x、y、z方向的變位量；而在2D的情況下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有二個(gè)自由度，分別是x、y方向的變位量。對(duì)一個(gè)2D的三角形元素而言，若三個(gè)頂點(diǎn)各有一節(jié)點(diǎn)，那么這個(gè)元素就有6個(gè)自由度。對(duì)一個(gè)3D的六面體而言，若各個(gè)頂點(diǎn)各有一節(jié)點(diǎn)，共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么這個(gè)元素就有24個(gè)自由度。因?yàn)槊恳粋€(gè)元素都是有簡(jiǎn)單的幾何形狀，而只有節(jié)點(diǎn)上可能有外力作用（因?yàn)樵亻g只有節(jié)點(diǎn)相連接），我們很容易可以把這么簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)實(shí)體的方程式寫出來，并且把這些方程式用自由度（未知變位量）來表示，這些方程式就稱為元素的方程式（elementequations）。每個(gè)元素都會(huì)有一組elementequations，它們事實(shí)上是將一個(gè)元素視為一個(gè)自由體（freebody）的力平衡方程式。接著就把全部元素的力平衡方程式聯(lián)立起來，變成一組聯(lián)立方程式系統(tǒng)，稱為整體結(jié)構(gòu)方程式（structuralglobalequations）。解出這組聯(lián)立方程式后就可以得知每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的變位量了。有了節(jié)點(diǎn)上的變位量后，可以計(jì)算整個(gè)元素上的變位場(chǎng)（displacementfield）。變位場(chǎng)與節(jié)點(diǎn)變位的關(guān)系通常是透過合理的假設(shè)的，這是有限元素法的重點(diǎn)之一，也有限元素法誤差的主要來源之一，我們將在小節(jié)再來討論。有了變位場(chǎng){u}后可以利用計(jì)算應(yīng)變場(chǎng){}，再利用計(jì)算應(yīng)力場(chǎng){}。2.3.3自由度前面我們提到的自由度（degreesoffreedom）有必要在這里再進(jìn)一步地討論。自由度是指節(jié)點(diǎn)上的未知量。結(jié)構(gòu)的問題通常是以變位（displacement）為未知量。2D時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有二個(gè)自由度，3D時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。在圖2-13中的3D四面體元素，共有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)四個(gè)節(jié)點(diǎn)上有三個(gè)自由度，所以共有12個(gè)自由度，表示成etrf2gf。假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的自由度分別用ux、uy、uz來表示，而四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別用i、j、k、l來表示，則這個(gè)元素的自由度可以表示成 (2.13)圖2-13自由度對(duì)熱分析而言，自由度通常是指溫度，也就是說未知量是溫度。對(duì)流場(chǎng)分析而言，其自由度則相當(dāng)復(fù)雜，包括了流速（vx、vy、vz）還有壓力（p）等。而對(duì)電場(chǎng)分析上而言，自由度通常是電壓（voltage）。磁場(chǎng)分析則使用磁位能（scalarmagneticpotential或vectormagneticpotential）作為自由度。2.3.4ShapeFunctions讓我們來思考一個(gè)問題，考慮一個(gè)未知函數(shù)y=f(x)，已知某些x點(diǎn)上的y值，那么要怎么去反求這個(gè)函數(shù)f(x)。當(dāng)然，正確解是不可能的，但是至少我們可以找出一條通過這些已知點(diǎn)的曲線，作為其近似解。這條曲線可以是連續(xù)的（continued）或片段連續(xù)的（piece-wisecontinued）。一個(gè)很簡(jiǎn)單的方法是去假設(shè)這些已知點(diǎn)中間的函數(shù)為直線；換句話說把每一個(gè)已知點(diǎn)用直線連結(jié)起來，形成一條片段連續(xù)的函數(shù)，來代表這個(gè)未知函數(shù)。對(duì)很多應(yīng)用而言，這種方法常常已經(jīng)足夠精確；尤其如果已知點(diǎn)之間的距離足夠小時(shí)，通常足夠精確。這樣用直線來作為兩個(gè)已知點(diǎn)間的內(nèi)插值的方法稱為線性內(nèi)插（linearinterpolation）。同樣的道理，你也可以用片段的二次函數(shù)來代表一個(gè)未知函數(shù)，這樣的曲線會(huì)更平滑（smooth），精確度會(huì)更高。這樣用二次曲線來作個(gè)已知點(diǎn)間的內(nèi)插值的方法稱為二次曲線內(nèi)插（quadraticinterpolation）。同樣的觀念可以應(yīng)用在有限元素法里面，我們將變位場(chǎng){u}當(dāng)作未知函數(shù)，節(jié)點(diǎn)上的變位量l341cho當(dāng)成已知量。如果假設(shè)節(jié)點(diǎn)間的變位場(chǎng)是線性的分布，那么就采用線性的內(nèi)插函數(shù)來表示節(jié)點(diǎn)間的變位量的值；同理，如果假設(shè)節(jié)點(diǎn)間的變位場(chǎng)是二次的分布，那么就采用二次的內(nèi)插函數(shù)來表示節(jié)點(diǎn)間的變位量的值。在有限元素里面我們不把它叫內(nèi)插函數(shù)，而叫形狀函數(shù)（shapefunction）。數(shù)學(xué)上{u}和qix8m6y間的關(guān)系可以用下列的方程式來表示 (2.14)中的[N]就是所謂的形狀函數(shù)矩陣；以圖2-13的四面體元素為例，因?yàn)閧u}是3×1的向量，5ugdb0o是12×1的向量，所以[N]是3×12的矩陣，其形式如下所示 (2.15)其中Ni、Nj、Nk、Nl稱為形狀函數(shù)。注意，形狀函數(shù)是位置的函數(shù)。一般而言一個(gè)元素如果有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的話就會(huì)有n個(gè)獨(dú)立的形狀函數(shù)；當(dāng)形狀函數(shù)是線性時(shí)，表示變位場(chǎng)被假設(shè)為片段線性函數(shù)，而當(dāng)形狀函數(shù)是二次時(shí)，表示變位場(chǎng)被假設(shè)為片段二次函數(shù)。2.3.5OrderofElement一個(gè)元素的order是指它的形狀函數(shù)是一次還是二次；如果其形狀函數(shù)是一次的，這個(gè)元素就稱為線性元素（linearelement）；如果其形狀函數(shù)是二次的，這個(gè)元素就稱為二階元素（quadraticelemen