量綱分析法在橋梁模型試驗中的應用

量綱分析法在橋梁模型試驗中的應用

結構試驗主要用于驗證設計理論，并確定復雜結構細節(jié)的張力狀態(tài)。模型設計的關鍵是求出各物理量的相似指標。如果結構的所求量可以用材料力學或彈性力學的知識求得,那么就可以采用方程分析的方法來求相似指標;但很多大型的橋梁結構多為高次超靜定結構或三維彈性體,很難用方程明確的表示出各物理量的函數關系,只能找出與其相關的物理量的單位關系,因此在進行相似指標的推導過程中引入了量綱分析法。量綱分析法以量綱均衡性分析為基礎,可以采用量綱矩陣分析的方法來確定相似指標。量綱的均衡性要考慮以下幾個方面:①物理量相等,不僅要求數值相等,而且要求量綱相等;②兩個同量綱參數的比值是無量綱參數,其值不隨所取單位的大小而變;③導出量綱可和基本量綱組成無量綱組合,但基本量綱之間不能組成無量綱組合;④一個物理量中若有n個物理參數、m個基本量綱,則可組成(n-m)個獨立的無量綱參數組合;⑤一個物理方程式中若含有n個參數x1,x2,…,xn和m個基本量綱,則該方程可改寫成有(n-m)個獨立π因子的判據方程,即一般物理方程f(x1,x2,…,xn)=0改寫為判據方程?(π1,π2,…,πn-m)=0;⑥一個物理方程中,等式兩邊各項的量綱必須相等。1岳陽海溝大橋三塔斜橋模型的靜力相似1.1結構體系的設計岳陽洞庭湖大橋為一座主橋為130+2×310+130m的三塔雙索面PC斜拉橋,模型縮尺比為30/1。該模型為組合體系,梁和塔采用鋁合金材料,索為高強彈簧鋼絲束,而實橋主梁和塔為鋼筋混凝土材料,索為高強鋼絲束,使得彈性模量作單獨的物理量不合理。因此,采用剛度近似的方法來確定模型的尺寸,并把結構的軸向剛度和彎曲剛度即EA、EI和EW作為復合物理量來確定相似關系。1.2有限元模型分析本模型作為彈性模型設計,首先需確定相似常數(包括幾何相似常數CL和彈性模量相似常數CE),而其它的物理量相似常數都是CL和CE的函數。對于其它的物理量的相似常數,通過量綱分析的方法,可以得到:Cσ=CE?Cu=1?Cρ=CE/CL?Cε=1?CL=Cδ?Cφ=1?CA=C2L?CΙ=C4L?CF=CEC2L?Cq=CECL?CΜ=CEC3L}(1)Cσ=CE?Cu=1?Cρ=CE/CL?Cε=1?CL=Cδ?Cφ=1?CA=C2L?CI=C4L?CF=CEC2L?Cq=CECL?CM=CEC3L}(1)式中:σ、E,u、ρ、ε為應力、彈性模量、泊松比、比重、應變;L、δ、φ、A為幾何尺寸、線位移、角位移、面積;F、q、M為集中荷載、線荷載、彎矩。采用方程分析法,設該模型受靜力荷載,當模型梁與原型相似時,有如下關系:εp=Cεεm?Ρp=CpΡm,(EA)p=CEA(EA)m,Μp=CΜCm,(EW)p=CEW(EW)m,σp=Cσσm}(2)εp=Cεεm?Pp=CpPm,(EA)p=CEA(EA)m,Mp=CMCm,(EW)p=CEW(EW)m,σp=Cσσm}(2)根據材料力學,梁在集中荷載P作用點處截面應力為:σ=ΡA+ΜWσ=PA+MW。令σ=Eε,可得:ε=ΡEA+ΜEWε=PEA+MEW。因模型與原型相似,且荷載作用在對應點上,則對應點的應力可表示如下:εm=Ρm/(EA)m+Μm/(EW)mεp=Ρm/(EA)p+Μm/(EW)p}(3)εm=Pm/(EA)m+Mm/(EW)mεp=Pm/(EA)p+Mm/(EW)p}(3)將(2)式代入(3)式得:εm=CpΡmCεCEA(EA)m+CΜΜmCεCEW(EW)m(4)εm=CpPmCεCEA(EA)m+CMMmCεCEW(EW)m(4)要使(4)式與(2)式符合則應有:CpCεCEA=1?CΜCεCEΜ=1(5)CpCεCEA=1?CMCεCEM=1(5)得到相似判據:π1=ΡεEA?π2=ΜεEΜ?σ=Eε?π3=σEεπ1=PεEA?π2=MεEM?σ=Eε?π3=σEε。在用有限元分析橋梁結構的受力時,單元剛度方程為Pe=Keδe(Ke為單元剛度矩陣)。同樣采用方程分析的方法,可以得到:π4=pLEAδ?π5=pL3EAδ?π6=pL2EAφ?π7=ΜL2EAδπ4=pLEAδ?π5=pL3EAδ?π6=pL2EAφ?π7=ML2EAδ以上推導的靜力模型的相似性與文獻的結果一致。2岳陽海溝大橋三塔斜橋模型的動力相似2.1量綱及相似判據彈性結構動力模型試驗,要服從彈性的規(guī)律。因為在振動時有慣性力,為使慣性力的縮尺比不會與力的縮尺比發(fā)生矛盾,要求橋梁動力模型試驗的變形與原型相似。這樣一來,就取消了一個可自由選擇的基本量,而只有兩個比例尺寸可以選擇。對于振動問題,取定長度L、時間T、力F作為3個基本量綱,采用量綱矩陣的分析方法根據相似第二定理,求取π因子建立各物理量的關系。這些物理量的一般函數形式為F(H,d,wρ,u,a,l,F,v,E)=0,用π來表示這個無量綱:π=ΗadbWcρdueaflgFhvlEm(6)π=HadbWcρdueaflgFhvlEm(6)基本量綱為F、L、T(采用力量系統(tǒng)),各物理量的量綱見表1。量綱矩陣為:式(6)中各指數間關系聯(lián)立方程為:-a+d+h+m=0(對F而言)a+b-4d+f+g+l-2m=0(對L而言)-c+2d-2f-l=0(對Τ而言)?a+d+h+m=0(對F而言)a+b?4d+f+g+l?2m=0(對L而言)?c+2d?2f?l=0(對T而言)移項得:c=2d-2f-l;b=-a+4d-f-g-l+2m;h=a-d-m。列出π矩陣:得到相似判據為:π1=ΗFL?π2′=ρω2d4F?π3=u?π4=aω2d?π5=ld?π6=vωd?π7=Ed2Fπ1=HFL?π2′=ρω2d4F?π3=u?π4=aω2d?π5=ld?π6=vωd?π7=Ed2F。將π2′=ρω2d4F與π7=Ed2F結合可得π2=1ωl√Eρ。本文考慮的為理想模型,目的是要模擬慣性力、恢復力和重力三種力的相似,因此對模型材料的彈性模量和密度的要求較嚴格,需要滿足的條件是CE/(CgCρ)=Cl。因實橋和模型橋處于同一重力場中,Cg=1,故有:CE/Cρ=Cl(7)由式(7)聯(lián)立相似判據π2得:Cω=√CE/Cl/Cρ(8)由以上相似判據可得動力學理想模型的相似常數:Cσ=CE?Cε=1?Cu=1?Cρ=CE/Cl?Cδ=Cl?CF=CEC2L?Cω=C-1/2l?Ca=1?Cg=1?Cv=C1/2l,Ct=C1/2l2.2模態(tài)分析的應用按照常規(guī)方法分析大型復雜結構的動力特性時,經常遇到建立結構的數學模型的巨大困難。為了解決這一問題,采用了模態(tài)分析的方法來確定結構的模態(tài)參數(固有頻率、主振型、廣義阻尼、廣義質量和廣義剛度),并進而建立結構的數學模型。在該模型中,可以通過測定各個部件的阻抗數據,建立各自的數學模型,然后通過模態(tài)綜合技術估算出各結構的動力特性。下面確定本試驗過程中模態(tài)參數的相似關系。1模型的頻率由前面推出的結論可知模態(tài)頻率比的表達式即為(8)式。2模型橋基礎參數及測點確定多自由度體系的運動微分方程為:Μ??Y+C˙Y+ΚY=Ρ(t)(9)假設P(t)為簡諧激振力,它可表為如下形式:Ρ(t)=Ρeiθt(10)其穩(wěn)態(tài)解為Y(t)=ρeiθt(11)根據瑞雷阻尼理論,阻尼矩陣C是質量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合,即:C=aΜ+bΚ(12)其中a、b為常數。將(10)～(12)式代入(9)式可得位移傳遞函數:Ηrn=m∑i=1φriφnimis2+Cis+Κi(13)由此式可知,由于該模型橋與實橋有相同的測點,某階振型元素φi與頻響函數Hri成正比關系,所以可以得到Cφ=CH。由前面得出的相似判據π1、π5、π7可得:CΗRΙ=1ClCE=CφΙ(14)3各化學計量參數的確定由于模型橋的頻率比較低(ω?ωi),因此可將(13)式簡化為Ηrn=φriφni-miω2,所以有:(φriφni-miω2)p/(φriφni-miω2)m=(Ηrn)p/(Ηrn)m由(8)和(14)式可得:Cmi=C3lCρ。4模式的硬度由ωi=√Κi/mi可得模態(tài)剛度的相