車輛優(yōu)化設計理論與實踐課件：優(yōu)化設計的基本概念及相關理論 -

車輛優(yōu)化設計理論與實踐優(yōu)化設計的基本概念及相關理論

1.1概述1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.3多元函數的基本性質1.4無約束優(yōu)化問題的極值條件1.5約束優(yōu)化問題的極值條件1.1

概述優(yōu)化設計的概念？優(yōu)化設計是20世紀60年代初發(fā)展起來的一門新學科，它是將最優(yōu)化原理和計算技術應用于設計領域，為工程設計提供一種重要的科學設計方法。利用這種新的設計方法，人們就可以從眾多的設計方案中尋找出最佳設計方案，從而大大提高設計效率和質量。1.1

概述優(yōu)化設計方法的發(fā)展？傳統(tǒng)設計方法只是被動地重復分析產品的性能，而不是主動地設計產品的參數。作為一項設計不僅要求方案可行、合理，而且應該是某些指標達到最優(yōu)的理想方案。雖然設計中的優(yōu)化思想在古代設計中就有所體現，但直到直至20世紀60年代，電子計算機和計算技術的迅速發(fā)展，優(yōu)化設計才有條件日益發(fā)展起來。1.1

概述優(yōu)化設計方法的發(fā)展？現代化的設計工作已不再是過去那種憑借經驗或直觀判斷來確定結構方案，也不是像過去“安全壽命可行設計”方法那樣，。而是借助電子計算機，應用一些精確度較高的力學的數值分析方法（如有限元法等）進行分析計算，并從大量的可行設計方案中尋找出一種最優(yōu)的設計方案，從而實現用理論設計代替經驗設計，用精確計算代替近似計算，用優(yōu)化設計代替一般的安全壽命的可行性設計。1.1

概述優(yōu)化設計方法的發(fā)展？近年來，優(yōu)化設計在汽車設計中的應用也愈來愈廣，汽車零部件的優(yōu)化設計，各系統(tǒng)的優(yōu)化匹配等在近十幾年也有很大發(fā)展，各種減速器的優(yōu)化設計、萬向傳動和滾動軸承的優(yōu)化設計以及軸、彈簧、制動器等的結構參數優(yōu)化等都得到了廣泛研究。另外，近年來發(fā)展起來的計算機輔助設計（CAD)，在引入優(yōu)化設計方法后，使得在設計過程既能夠不斷選擇設計參數并評選出最優(yōu)設計方案，又可以加快設計速度，縮短設計周期。把優(yōu)化設計方法與計算機輔助設計潔合起來，使設計過程完全自動化，已成為設計方法的一個重要發(fā)展趨勢。圖為由兩根鋼管組成的對稱桁架。A處垂直載荷P=300000N，2L=152cm，空心鋼管厚度T=0.25cm，材料彈性模量E=2.16X107N/cm2，屈服極限σs=70300N/cm2。求：在滿足強度條件和穩(wěn)定性條伴下，使體積最小的圓臂直徑d和桁架高度H。

優(yōu)化問題示例解:為保證桁架可靠地工作，就必須要求桿件具有足夠的抗壓強度和穩(wěn)定性。

抗壓強度:桿件截面上產生的壓應力不超過材料的屈服極限;桿內力:桿截面壓應力：抗壓強度：σ

≤

σs

其中穩(wěn)定性:桿件截面上的壓應力不超過壓桿穩(wěn)定的臨界應力。

滿足穩(wěn)定性不發(fā)生屈曲破壞的條件為：為壓桿屈曲極限按歐拉公式I為圓管的剖面慣性矩要求在具有足夠的抗壓強度和穩(wěn)定性的條件下，求總體積最小的桿件尺寸參數H和d，則表達式如下：結構總體積：要求滿足：⑴抗壓強度⑵穩(wěn)定性強度問題的最優(yōu)解為：最優(yōu)點：d=4.77cm;H=51.31cm

最優(yōu)點的體積為：W=686.73cm31.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型優(yōu)化設計包括建立優(yōu)化問題的數學模型和選擇恰當的方法尋求最優(yōu)方法。本節(jié)簡要敘述優(yōu)化設計的數學模型及涉及的基本術語。1.2.1設計變量在一項設計中，有些參數的數值可根據設計對象的具體情況預先給定，這些參數稱為設計參數。如導入實例中傳動軸的計算轉矩、最高工作轉速等都是設計常數。而另一些參數的數值則要在設計過程中優(yōu)選確定，這一部分參數可看作是變量，稱為設計變量。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型

n個設計變量按一定順序排列成數組，稱為n維列向量，表示為：

(1-1)

其中，（i=1,2，，n）是n維向量的分量。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型

n個設計變量組成一個n維向量。而以n個設計變量為坐標軸則構成一個實空間，稱為n維實歐式空間，用表示。在這個空間中，任意一個點都表示一組設計變量的確定值，這種點稱為設計點，它代表一個設計方案。由于這個空間包含著無數設計點，所以稱它為設計空間。設計空間是所有設計方案的集合，用符號表示。設計空間中任一個設計方案，被認為是從設計空間原點出發(fā)的設計向量。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型

對于二維和三維設計空間，可以通過作圖直觀地理解上述概念。（a）二維設計平面（b）三維設計平面圖1-2設計空間示意圖1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型

設計變量的個數決定了設計空間的維數，而設計空間的維數又表征設計的自由度。設計變量愈多，則設計的自由度愈大，求解亦愈復雜。故通常在保證必要的設計精度的前提下，設計變量盡可能取少些。設計變量有連續(xù)變量和離散變量兩種形式。設計變量的值是連續(xù)變化的，稱為連續(xù)變量。例如結構的長度尺寸、角度、重量等，可以在一定范圍內任意取值。但在一些情況下，設計變量的值只能按某種離散數列來變化，則稱為離散變量。例如齒輪的齒數、模數、鋼絲直徑等，不能任意取值，只能在規(guī)定的數列中取值。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.2約束條件如前所述，設計空間是所有設計方案的集合，但實際上并不是任何一個設計方案都是可行的。例如出現負值的面積、長度等。因此，在設計過程中，為了得到可行的設計方案，必須根據實際的要求，對設計變量的取值加以限制。這種限制條件就是設計的約束條件。因每一個約束條件都是設計變量的函數，故又稱約束函數。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.約束條件的形式約束條件可以用數學等式或不等式來表示。等式約束對設計變量的約束嚴格，其形式為

(1-2)

在機械設計優(yōu)化中，不等式約束更為普遍，它的形式為（1-3）

式中，p、m分別表示施加于該項設計的等式約束條件數和不等式約束條件數。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型約束條件也可以根據約束函數的性質分為顯約束和隱約束兩種。顯約束是指有明確設計變量函數關系的一種約束條件；而隱約束則是對某個或某組設計變量的間接限制條件，是設計變量的一個可計算函數。如一個復雜機構的最大工作應力可能是通過有限元方法計算得到的等等。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型另一種分類法是將約束條件分為邊界約束和性能約束。邊界約束又稱為區(qū)域約束，用以限制某個設計變量的變化范圍，或規(guī)定某組變量間的相對關系。邊界約束屬于顯約束。性能約束又稱性態(tài)約束，它是指機械工作性能或狀態(tài)要求的限制條件，是根據對機械的某項性能要求而構成的設計變量的函數方程。例如，機械零件的強度、剛度、效率或振動頻率的允許范圍。這類約束函數，可根據力學和機械設計的公式與規(guī)范導出，所以性能約束通常是隱約束，但也有顯約束的情況。

1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型2．可行設計區(qū)域與非可行設計區(qū)域一個不等式約束將n維實歐式設計空間分成兩部分：一部分是滿足約束條件的設計點，稱為可行設計點，可行設計點的集合R稱為可行設計區(qū)域；另一部分是不滿足約束條件的設計點，稱為非可行設計點，這種設計點的集合稱為不可行區(qū)域。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型2．可行設計區(qū)域與非可行設計區(qū)域的可行設計區(qū)域即在該曲線的AB段1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.3目標函數

要從許多可行設計方案中評選出一個最優(yōu)的方案來，就得有一個衡量設計方案的標準。若能把這個“標準”表示為設計變量的可計算函數，優(yōu)化這個函數，則可以取得最優(yōu)設計方案。這里的函數稱為目標函數或評價函數，它是以設計變量為自變量，以所要求的某種目標為因變量，按一定關系所建立的用以評價設計方案優(yōu)劣的數學關系式，記作

通常都寫成追求目標函數值最小的形式，即1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.3目標函數目標函數有單目標函數和多目標函數之分。用一個評價標準建立的目標函數稱為單目標函數，單目標函數的最優(yōu)化問題稱為單目標優(yōu)化問題。如果同時兼顧幾個評價標準建立的目標函數，則稱為多目標函數，在同一個設計中提出多個目標函數的優(yōu)化問題，稱為多目標優(yōu)化問題。

1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.4優(yōu)化設計的數學模型

優(yōu)化設計問題的數學模型是實際設計問題的特性和本質的抽象，是反映各主要因素之間內在聯系的一種數學形態(tài)。優(yōu)化設計的數學模型一般包括設計變量、目標函數和約束條件三個基本要素，其含義為，在滿足一定的約束條件下，選取設計變量，使目標函數值達到最小。

1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.4優(yōu)化設計的數學模型如果目標函數、約束函數中有一個或多個是的非線性函數，則稱此優(yōu)化問題為非線性規(guī)劃問題。上式表示的優(yōu)化設計數學模型，稱為約束優(yōu)化問題。若式中的m=p=0，即不存在任何約束條件，則稱此問題為無約束優(yōu)化問題。在工程實際問題中，不加任何限制條件的設計問題是不多的，絕大多數都是約束優(yōu)化問題。但因為無約束優(yōu)化問題是約束優(yōu)化方法的基礎，所以在第3章將詳細介紹無約束優(yōu)化方法。1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型1.2.4優(yōu)化設計的數學模型建立數學模型是最優(yōu)化過程中極為重要的一步，數學模型的好壞將直接影響設計質量。下面舉例說明建立數學模型的過程。工程車輛傳動軸最小重量設計的數學模型1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型傳動軸的長度取決于車輛的總體布置，一旦長度確定后，傳動軸的重量則僅取決于軸的橫截面積。

傳動軸必須滿足的設計條件為1。臨界轉速條件2。扭轉強度條件3?？招妮S扭轉失穩(wěn)條件4。制造工藝條件1.2優(yōu)化設計的基本要素和數學模型下面建立上述問題的優(yōu)化設計數學模型取設計變量為目標函數為設計約束為

1.2.5優(yōu)化問題的幾何描述設有二維不等式約束優(yōu)化問題數學模型如下：1.2.5優(yōu)化問題的幾何描述設有二維不等式約束優(yōu)化問題數學模型如下：1.3多元函數的基本性質本節(jié)首先對目標函數和約束函數的某些性質、目標函數達到最優(yōu)解的某些規(guī)律作些必要的討論。同時，對優(yōu)化設計所涉及的多元函數的極值理論的基本概念及有關的數學知識作些闡述。這些都是機械優(yōu)化設計方法的理論基礎。1.3.1.目標函數的等值面（線）優(yōu)化設計的目標函數一般可表示為設計變量的可計算函數。也就是說，若給定一個設計方案，即給定一組的值（實值）時，目標函數必有一確定的數值。那么，若給定函數值，則有無限多組的數值與之相對應。也就是說，當時，在設計空間中有一個點集。一般情況下，此點集是一曲面或超曲面，稱之為目標函數的等值面。1.3.1.目標函數的等值面（線）二維函數的等值線1.3.1.目標函數的等值面（線）等值面具有以下幾個性質：.1）不同值的等值面之間不相交。這是因為目標函數一般都是單值函數。2）除了極值點所在的等值面外，其余的等值面不會在區(qū)域的內部中斷。這是因為目標函數都是連續(xù)函數。3）等值面稠密的地方，目標函數值變化快；稀疏的地方變化慢。4）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現為同心橢圓面族（橢圓族）。1.3.2.方向導數和梯度1.偏導數眾所周知，對于一元函數，可用導數來描述函數相對于自變量的變化率。同樣，對于多元函數，可用偏導數的概念來研究函數值相對于其中一個自變量（其余自變量保持不變）的變化率。1.3.2.方向導數和梯度1.偏導數對于n元函數，則函數在點處沿各坐標軸的一階偏導數分別為

它們是一組標量值，也是該函數在點處沿各坐標軸這些特殊方向的變化率。1.3.2.方向導數和梯度

2.方向導數設二維函數，在點引一方向S，與X軸和Y軸之夾角分別為、，在Ｓ方向上任取一點，其坐標為。兩點之間的距離由此可得，目標函數在處沿Ｓ方向的平均變化率為1.3.2.方向導數和梯度

2.方向導數1.3.2.方向導數和梯度如果上式極限存在，則稱此極限為函數在點處沿Ｓ方向的方向導數，記作顯然，方向導數是函數在某點沿給定方向的變化率，所以，可以把它看成偏導數的推廣，并可用偏導數來表示，1.3.2.方向導數和梯度同理，對于n維函數，若方向與各坐標軸方向間的夾角分別為，則函數在點沿Ｓ方向的方向導數為1.3.2.方向導數和梯度3.梯度我們把取得方向導數最大值的向量定義為函數在該點的梯度，簡記作gradf或。由此可知，目標函數的梯度方向是指函數值增長最快的方向。當S取方向（即=1）時，其方向導數的值為最大。

1.3.2.方向導數和梯度3.梯度上述梯度的概念可推廣到n維函數，設函數在定義域有連續(xù)偏導數（i=1,2，…，n）,則函數在某點的梯度是以其在該點的偏導數為分量的向量，即1.3.2.方向導數和梯度函數的梯度在優(yōu)化設計中具有非常重要的作用?，F將它的一些基本性質歸納如下：1）設函數定義于n維實歐式設計空間En內，并且是連續(xù)和可微的。若為中的某一個設計點，則函數在點的梯度就是對設計變量（i=1,2，…，n）一階偏導數組成的一個列向量，記作

因此，函數在某點的梯度是一個向量，其方向是函數在該點變化率最大的方向，其模就是函數在該點的最大變化率。1.3.2.方向導數和梯度2）函數在點的梯度與過點的等值線（或等值面）的切線是正交的，即梯度方向是等值線（或面）的法線方向。3）負梯度向量是函數在該點的最速下降方向。4）函數在某點有極值，該點所有一階偏導數都等于零，即極值點的梯度。例1-2求在點的梯度和梯度的模。解：由式可得點的梯度為由式（1-20）可得梯度的模為：1.2.3.多元函數的泰勒Taylor表達式由高等數學可知，對于一元函數，在點附近若存在1到n+1階導數，則其可以展開成如下的泰勒形式:1.2.3.多元函數的泰勒Taylor表達式設多元目標函數在點有連續(xù)的n+1階偏導數，則在這一點鄰近的泰勒展開式取到二次項時為:1.2.3.多元函數的泰勒Taylor表達式寫成向量矩陣形式:1.2.3.多元函數的泰勒Taylor表達式簡寫為為:其中：1.4無約束優(yōu)化問題的極值條件無約束極值問題的一般提法是在無約束情況下的最優(yōu)化問題，實際上是求目標函數的極值問題。極值是函數的極大值和極小值的統(tǒng)稱，使函數取得極值的點稱為極值點。對于多變量復雜的目標函數，當其不是單峰函數時，則有幾個極值點，各個極值點都稱為局部極值點，或局部最優(yōu)點，這些局部最優(yōu)點和它們的目標函數稱為局部最優(yōu)解。若某一個局部最優(yōu)解為全域中所有局部最優(yōu)解中的最?。ɑ蜃畲螅┱撸瑒t稱這個解為全域最優(yōu)解，此極值點稱為全域最優(yōu)點。1.4.1.無約束函數極值的必要條件多元函數在點達到極值的必要條件是函數在該點的梯度等于零（零向量）。與一元函數一樣，我們將滿足上式的點稱為多元函數的駐點或穩(wěn)定點。1.4.2.無約束函數極值的充分條件僅求出函數的駐點，還無法確定函數的極值點；即使是極值點，也無法確定是極大點還是極小點。為了解決這個問題，數學上給出了一些判斷極值點的充分條件，這里僅介紹和討論海賽矩陣判別法。其基本定理敘述如下：設具有連續(xù)的二階偏導數，為它的一個穩(wěn)定點，則為的一個極小點的充分條件是的海賽矩陣為正定的。1.4.2.無約束函數極值的充分條件由線性代數可知，階方陣的正定與負定可通過矩陣各階主子式的正負來判別。若矩陣A的各階主子式均大于零，則該矩陣為正定。若所有奇數階順序主子式均小于零，而所有偶數階順序主子式均大于零，則該矩陣為負定。1.4.2.無約束函數極值的充分條件當在點的海賽矩陣為正定時，點極小點，為極小值。當在點的海賽矩陣為負定時，點極大點，為極大值。例1-3求下列函數的極值點和極值。解：通過解下列聯立方程求得穩(wěn)定點（1，1，-2）求出二階偏導數，得海賽矩陣：其各階主子式的值為可見海賽矩陣為正定，故穩(wěn)定點是極小點，函數的極小值

1.5約束優(yōu)化問題的極值條件1.5.1函數的凸性與凸函數1.凸集與凸函數

設D為維歐氏實空間中設計點的一個集合，若其中任意兩點的連線都屬于集合，則稱這種集合為維歐氏空間中的一個凸集。1.5約束優(yōu)化問題的極值條件1.5.1函數的凸性與凸函數1.凸集與凸函數

函數的凸性表現為單峰性。對于具有凸性特點的函數來說，其極值點只有一個。因此，這種具有凸性或只具有唯一的局部最優(yōu)值的函數，稱為凸函數或單峰函數。設為定義在維歐氏空間中的一個凸集上的函數，若對任何實數以及對中任意兩點、恒有如果將上式中的等號去掉而寫成嚴格的不等式，則函數是一個嚴格凸函數

1.5約束優(yōu)化問題的極值條件1.5.1函數的凸性