江蘇省南通市通州區(qū)2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023年高考適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.【詳解】由題可得，故，解可得，則,故，故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由虛數(shù)單位的性質(zhì)求得，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所以的虛部?故選：A.3.為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強(qiáng)學(xué)生的國防意識，某校組織1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機(jī)抽取20名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中的值為0.004B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為75C.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80D.估計(jì)總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)逐一計(jì)算即可【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得，故A錯(cuò)誤；前三個(gè)矩形面積為，即第60百分位數(shù)為80，故B錯(cuò)誤；估計(jì)這二十人眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤；總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為：，故D正確.故選：D4.若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)A；利用兩角和的正切公式判斷選項(xiàng)B；利用基本不等式判斷選項(xiàng)C；根據(jù)題意結(jié)合估算判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，，所以，同理，所以，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）因?yàn)?，所以等號取不到，則，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因，所以，因?yàn)?，所以，則，若，則，解得，因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D.5.已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖可得，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出其中的參數(shù)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)做直線的垂線，垂足分別為，則，，切點(diǎn)為因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)，,所以是梯形的中位線，所以，又因?yàn)閳A的方程為，，所以，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，所以，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷c為最小的數(shù)，再根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可比較的大小，即得答案.【詳解】因?yàn)?，，故為三個(gè)數(shù)中的最小的數(shù)，故只需再比較的大小；由于，故令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選：B7.已知圓臺兩個(gè)底面圓的半徑分別為和，圓臺的側(cè)面中存在兩條母線互相垂直，則圓臺側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓臺的側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，圓臺的母線延長后交于A點(diǎn)，當(dāng)兩條母線所在的平面為軸截面時(shí)此時(shí)母線夾角最大，（顯然過底面圓周上任意一點(diǎn)母線與AD的夾角一定小于∠GAD），設(shè)圓臺母線長為，由相似可得：,故,由圓臺的側(cè)面中存在兩條母線互相垂直,易知，則,故.故圓臺側(cè)面積為：.故選：B8.若曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出其公切線，計(jì)算即可.【詳解】易得,設(shè)公共點(diǎn)為,則由題意可得,即且令,則上式可化為:記，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，而，故滿足的根只有，即.故選：C【點(diǎn)睛】本題考察導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于壓軸題.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組后，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性來解方程，計(jì)算量較大，也需要靈活的轉(zhuǎn)化.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9已知平面向量，，則（）A.若，則B.若，則與的夾角為銳角C.若為任意非零向量，則存在實(shí)數(shù)，使得D.若在上的投影向量為，則或【答案】AD【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；由與的夾角為銳角求出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的性質(zhì)可得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，解得，A對；對于B選項(xiàng)，若與的夾角為銳角，則且、不共線，所以，，解得且，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，設(shè)，其中，若存在，使得，則，令，此時(shí)，該方程無解，若，不存在實(shí)數(shù)，使得，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若在上的投影向量為，則，即，整理可得，解得或，D對.故選：AD.10.如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器以為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（）A.有水的部分始終是棱柱B.水面所在四邊形為矩形且面積不變C.棱始終與水面平行D.當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，是定值【答案】ACD【解析】【分析】利用棱柱的幾何特征，結(jié)合圖形對四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，由棱柱的特征可知，有兩個(gè)平面相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，所以，有水的部分始終是棱柱，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)樗嫠诰匦螢榫匦?，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，矩形的邊的長不變，且隨著傾斜度的變化而變化，故矩形的面積不是定值，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)槭冀K與平行，而始終與水面平行，故棱始終與水面平行，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，水體（棱柱）的底面為三角形，因?yàn)樗捏w積是不變的，高始終是也是不變的，則底面面積也是不變的，即為定值，D對.故選：ACD.11.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若對于任意，都存在，使得，則的可能值為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】先利用三角函數(shù)圖象的變換得出，再將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系后代入選項(xiàng)利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，對于任意，都存在，使得，顯然，故對于任意，都有函數(shù)的值域是的子集，易得此時(shí)，代入A項(xiàng)，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知此時(shí)，不符合題意；代入B項(xiàng)，同理知此時(shí)符合題意；代入C項(xiàng)，知此時(shí)不符合題意；代入D項(xiàng)，知此時(shí)符合題意.故選：BD12.如圖，已知圓錐的軸與母線所成的角為，過的平面與圓錐的軸所成的角為，該平面截這個(gè)圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長軸為,短軸為,長半軸長為，短半軸長為，橢圓的中心為,再以為弦且垂直于的圓截面，記該圓與直線交于，與直線交于，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，平面截這個(gè)圓錐所得的截面也為橢圓B.C.平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率D.平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率【答案】BC【解析】【分析】由截口曲線的含義可判斷A；過N作于點(diǎn)G，求出而，，即可判斷B；根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)求得橢圓的之間的關(guān)系式，即可求得離心率，可判斷C，D.【詳解】由截口曲線知，當(dāng)時(shí)，平面截這個(gè)圓錐所得截面為雙曲線，A錯(cuò).對于B，過N作于點(diǎn)G，而，所以，而，同理過N向作垂線，可得，，B正確；對于C，D，設(shè)圓錐上部球與橢圓截面圓錐側(cè)面均相切，軸截面的內(nèi)切圓，半徑為r，球與的切點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn)F，設(shè)①，，,解得，而，故，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解橢圓的離心率時(shí)，要能根據(jù)圖示求得之間的關(guān)系，這是解答的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵之處，因此通過設(shè)，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，得到，，即可求解.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則該二項(xiàng)式展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為____．【答案】32【解析】【分析】二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和可用賦值法得到，再計(jì)算有理數(shù)項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】令可得，即.展開式通向?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有理項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：32.14.已知點(diǎn)在雙曲線上，且中點(diǎn)在直線上，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，則雙曲線的離心率為____．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合雙曲線方程求解作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，線段的中點(diǎn)，因?yàn)榫€段的中垂線與軸交于點(diǎn)，顯然直線的斜率存在且不為0，則，即，又點(diǎn)在雙曲線上，則，即有，于是，所以雙曲線的離心率.故答案為：15.若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則___．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出，可得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，令可得，可得，令，則，所以，，所以，，所以，.故答案為：.16.在四棱錐中，底面為正方形，，為空間中一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面．若，則的軌跡圍成封閉圖形的體積為___；若與平面所成的角等于，則平面與的軌跡的交線長為___．【答案】①.②.【解析】【分析】由得在為直徑的球面上，計(jì)算可得結(jié)果；計(jì)算與平面所成的角從而可得為定值，根據(jù)定弦對定角可知M軌跡為以為弦的球的一部分球冠，再計(jì)算與面的交線長即可.【詳解】第一空：由可知，即在為直徑的球面上，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?而為的中點(diǎn)，平面，則為直角三角形．所以，故的軌跡圍成封閉圖形的體積為：；第二空：由題意可得，，而面，面,故面，所以與平面所成的角等于，易得,又為定值，為定銳角，故的軌跡為以為弦的球的上方與下方合著的球冠,其與平面的交線為圓（如下圖所示）.如圖所示，連接AC、BD交于N，連接AG、PN交于Q.則N為AC中點(diǎn)，故NG平行等于AP，故AQ:QG=2:1.故，即AG⊥PN,PN面PBD，AG面PBD，故AG⊥面PBD.即平面與的軌跡的交線為Q為圓心MQ為半徑的圓,如圖所示，連接MQ，設(shè)，由上知,則有,化簡得：，解得（舍負(fù)值），故交線長為：.故答案：；【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，屬于壓軸題.關(guān)鍵在于由定弦定角確定軌跡為球面，從而確定球心與半徑，需要很強(qiáng)的空間想象能力及計(jì)算能力.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，的面積為．（1）求證：；（2）點(diǎn)在邊上，若，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式可得，進(jìn)而得到，然后利用正弦定理即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】，則，即，即，故，由正弦定理得.【小問2詳解】由，由（1）可知，則，可得為等邊三角形，則，從而，在中，由余弦定理可得，又，所以，所以.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且是公差為1的等差數(shù)列．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算得到，根據(jù)等比數(shù)列公式得到，計(jì)算得到答案.（2）確定，則，，相減計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，是公差為的等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，滿足通項(xiàng)公式，則.是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，而，故，，即.【小問2詳解】，，，兩式相減得到：故.19.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，，，為CD的中點(diǎn)，，為的重心．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作梯形的高,利用等腰梯形的性質(zhì)得到為等邊三角形，利用三角形全等得到，進(jìn)而得到,然后利用線面垂直的判定即可證明;（2）在平面內(nèi)，過作，與交于點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和直線的方向向量,利用空間向量的夾角公式進(jìn)而求解.【小問1詳解】如圖作等腰梯形的高為，在等腰梯形中，，，，，為中點(diǎn)，，為等邊三角形，則，在和中，，則與全等，，又，，而面，面.【小問2詳解】在平面內(nèi)，過作，與交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，則，，，，從而，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.2023年3月11日，丁俊暉在泰國巴吞他尼府舉行的2023斯諾克6紅球世錦賽決賽中以8:6戰(zhàn)勝泰國球員塔猜亞·烏努，第二次奪得這項(xiàng)賽事冠軍．丁俊暉認(rèn)為“中式臺球更易在職業(yè)和業(yè)余之間找到平衡，更容易讓臺球運(yùn)動(dòng)在全中國乃至全世界流行起來．”為了促進(jìn)中國臺球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某體育公司面向社會推出“臺球培訓(xùn)”活動(dòng)，由以往培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)測算這項(xiàng)“臺球培訓(xùn)”成本為800元/人，為了確定其培訓(xùn)價(jià)格，調(diào)查了對這項(xiàng)“臺球培訓(xùn)”有意向培訓(xùn)的人員預(yù)期價(jià)位，并將收集的100名有意向培訓(xùn)的人員預(yù)期價(jià)位整理如下：有意向培訓(xùn)人員預(yù)期價(jià)位（元/人）900100011001200人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這項(xiàng)“臺球培訓(xùn)”的培訓(xùn)價(jià)格小于或等于某位有意向培訓(xùn)人員的預(yù)期價(jià)位時(shí)，該有意向培訓(xùn)的人員就會參加培訓(xùn)．設(shè)這項(xiàng)“臺球培訓(xùn)”價(jià)格為x（單位：元/人），，且每位有意向培訓(xùn)的人員報(bào)名參加培訓(xùn)活動(dòng)相互獨(dú)立．用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率．（1）若，已知某階段有4名有意向培訓(xùn)的人員詢價(jià)，為這一時(shí)段該項(xiàng)“臺球培訓(xùn)”的參加人數(shù)，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)共有名有意向培訓(xùn)的人員，設(shè)該公司組織“臺球培訓(xùn)”活動(dòng)所得總利潤為（單位：元），當(dāng)這項(xiàng)培訓(xùn)活動(dòng)的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3.6（2）當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值【解析】【分析】（1）由調(diào)查表依二項(xiàng)分布計(jì)算概率得到分布列，再由二項(xiàng)分布的期望公式得期望值；（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式分別計(jì)算x=1000，1100，1200時(shí)的期望，比較即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，消費(fèi)者報(bào)名的概率為：.依題意可得：，故,所以的分布列為：X01234P0.00010.00360.04860.29160.6561故【小問2詳解】由上可知：當(dāng)時(shí)，記參加的人數(shù)為，，則（時(shí)取得等號）；當(dāng)時(shí)，記參加的人數(shù)為，，則（時(shí)取得等號）；當(dāng)時(shí)，記參加的人數(shù)為，，則（時(shí)取得等號）.，即最大，此時(shí).當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值21.已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線與軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)B為曲線C上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線PB交曲線C于另一點(diǎn)D，直線BO和DO分別交直線于點(diǎn)S和T