將軍飲馬手拉手夾半角模型

將軍飲馬問題——線段和最短一．六大模型1.如圖，直線和的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。2.如圖，直線和的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。3.如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長最小。4.如圖，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長最小。5.如圖，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小。6.如圖，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。二、常見題目Part1、三角形1．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，求EM+EC的最小值。2．如圖，在銳角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是____。3．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值。Part2、正方形1．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一動點(diǎn)，DN＋MN的最小值為_________。即在直線AC上求一點(diǎn)N，使DN+MN最小。2．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為（）A．23B．26C．3D．63．在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（成果不取近似值）。4．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點(diǎn)，P為BD上的一種動點(diǎn)，求PC+PE的最小值；

1、手拉手模型（1）自旋轉(zhuǎn)：（2）共旋轉(zhuǎn)（典型的手拉手模型）例1、在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60?！鰽GB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC變式練習(xí)1、如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC變式練習(xí)2、如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC（1）如圖1，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在AB的同側(cè)作等邊△ACM和△CBN，連接AN，BM．分別取BM，AN的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，EF．觀察并猜想△CEF的形狀，并闡明理由．

（2）若將（1）中的“以AC，BC為邊作等邊△ACM和△CBN”改為“以AC，BC為腰在AB的同側(cè)作等腰△ACM和△CBN，”如圖2，其它條件不變，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，請闡明理由．

例4、例題解說：1.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重疊），以AD為邊作菱形ADEF(按A,D,E,F逆時針排列），使∠DAF=60°,連接CF.(1)

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，求證：①

BD=CF

?

②AC=CF+CD.(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其它條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD與否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并闡明理由；

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其它條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系。2、半角模型闡明：旋轉(zhuǎn)半角的特性是相鄰等線段所成角含一種二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。例1、如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB,AD上各存在一點(diǎn)P、Q，若△APQ的周長為2，求的度數(shù)。例2、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN=BM+DN，求證：①∠MAN=45°；②△CMN的周長=2AB；③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM。例3、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分別在邊CB、DC的延長線