2021年中考數(shù)學(xué)考點一遍過-考點20 圖形的相似

考點20圖形的相似

?考情分析與預(yù)測

該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2021年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨考查,是廣大

考生的得分點，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分,在解決求線段長問題時和勾股

定理、三角函數(shù)一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強(qiáng)了.分值在15分左右.為避免丟分，應(yīng)扎

實掌握,靈活應(yīng)用.

區(qū)知識整合

一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

ah

2.比例中項：如果石=［即爐="，我們就把人叫做a,c的比例中項.

3.比例的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

ac

性質(zhì)1-=——=ad=bc（。，b,c,dfO）.

bd

,ac5,a±bc±d

性質(zhì)2如果m一二一，那么——=-----

bdbd

,acm、…a+c+???+m加,A、

性質(zhì)3如果==,,?=（6+。+???+〃和），則=（不唯一）.

bdnZ?+d+???+〃〃

4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使一=—,那么點C叫做線段4C的黃金分割點，AC

ABAC

是3c與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比.

二、相似三角形的判定及性質(zhì)

1.定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

2.性質(zhì)：1）相似三角形的對應(yīng)角相等；2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊

對應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

2）條件中若有一對等角，可再找一對等角］用判定（1）］或再找夾邊成比例［用判定（2）］；

3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；

4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；

5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例.

三、相似多邊形

1.定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相

似比.

2.性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長的比等于相

似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

四、位似圖形

1.定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為A,那么位似圖形對應(yīng)點的坐

標(biāo)的比等于k或*2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即

是位似中心.

4.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或

縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點.

立重點考向,

考向一比例線段及其性質(zhì)

1.比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比

例的內(nèi)項.

2.對于四條線段mb、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如“：

反c：△（即加=兒），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比

是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

典例引領(lǐng)

L（2020?甘肅金昌市?中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部

以下。與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中人為2米，則。約為（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【答案】A

【分析】根據(jù)。:慶0.618,且b=2即可求解.

【詳解】解:由題意可知,a:欣0.618,代入b=2,.?.a=2x0.618=L236=n.24.故答案為:A

【點睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?四川瀘州市?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末

比”問題:點G將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN

的比例中項，即滿足"￡=空=正二1,后人把叵口這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段

MNMG22

MN的“黃金分割”點.如圖，在DA5c中，已知A3=AC=3,3C=4,若D,E是邊BC的兩個“黃

金分割”點，則口4）￡的面積為（）

A.10-475B.375-5C.D.20-875

2

【答案】A

【分析】作AFLBC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE、CD

的長度，得到口4）￡中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】解：過點A作AF_LBC,VAB=AC,.\BF=—BC=2,

2

在RtQABF,AF=^AB12-BF2=^32-22=6，

D是邊BC的兩個“黃金分割”點，???C2=避二1即—=叵4,

BC242

解得CD=26一2，同理BE=2后一2，

*/CE=BC-BE=4-（2逐-2）=6-2亞,；.DE=CD-CE=468,

SAABC=xDExAF=x（4^/5—8jx-75=10—4A/5>故選：A.

【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求

出DE和AF的長是解題的關(guān)鍵。

變式拓展

1.（2020?湖南婁底市?中考真題）若2=L（arc）,則"^=.

ac2a-c

【答案】:

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，代入求職即可.

【詳解】由2=4='（aHc）可得a=?，c=2d，

ac2

h-dh-db-d1i

代入a-c-2b-2d=2（b-d）=5,故答案為萬，

【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?湖南湘潭市?中考真題）若則土二工=.

x7x

4

【答案】~

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形，代入求職即可;

v3

【詳解】由）二一可設(shè)y=3攵，x=ik.k是非零整數(shù),

x7

7k-3k4攵4...4

則q—=—■故答案為:

X7k7k77

【點睛】本題主要考查了比的基本性質(zhì)，準(zhǔn)確利用性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵.

考向二平行線分線段成比例

典例引領(lǐng)

1.（2020?遼寧營口市?中考真題）如圖，在AABC中，DE//AB,且J=—,則上上的值為（）

BD2CA

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式即可解答.

【詳解】解：???DE//A8,——=——=—二J的值為三.故答案為A.

AEBD2CA5

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理確定對應(yīng)比例關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

〃

2.（2020?四川成都市?中考真題）如圖，直線4〃，2/3,直線AC和。E被小12,4所截，AB=5,BC=6,

A.2B.3C.4D.—

3

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可.

【詳解】解：：直線h〃l2〃b,—VAB=5,BC=6,EF=4,；.*=匹..?.DE=W.故選：D.

BCEF643

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此

題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?山東臨沂市?中考真題）如圖，在RABC中，D,E為邊的三等分點，EF//DG//AC,H

為A尸與。G的交點.若AC=6,則。”=.

【答案】1

【分析】利用平行線分線段成比例得到EF=2,再利用中位線得到DH的長即可.

【詳解】解:；D,E為邊A6的::等分點,EF//DG//AC，.?.EF:DG:AC=1:2:3

???AC=6,；.EF=2,由中位線定理得到，在AAEF中,DH平行且等EV=1故答案是:1

2

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用和中位線的性質(zhì)，熟悉平行線之間的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

AC1

2.（2020?吉林中考真題）如圖，ABHCDHEF.若——=—,BD=5,則.

CE2

【答案】10

［分析］根據(jù)平行線分線段成比例得到—,由條件即可算出DF的值.

CEDF

【詳解】解：：ABHCDIIEF.—=

CEDF

又：---=一?BD—51---=—>DF=10,故答案為：1（）.

CE2DF2

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

考向三相似多邊形

1.如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形是相似多邊形.

2.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

3.多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

4.相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等.

典例引領(lǐng)

1.（2020?山西中考模擬）寬與長的比是史二1（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的

2

美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形A8CC,分別取

AD.8c的中點E、F,連接EF：以點尸為圓心，以尸。為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作

交AO的延長線于點“，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFC。C.矩形EFG”D.矩形QCGH

【答案】D

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長，再根據(jù)DF=GF求得CG的長，最后根據(jù)CG

與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為2,則CD=2,CF=1在直角?:角形DCF中，==小

FG=>/5CG=V51CG=6-1...矩形DCGH為黃金矩形故選：D.

CD2

【點睛】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時注意，寬與長的比是

或二1的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABGH也為黃金矩形.

2

2.（2020?海南中考模擬）如圖所示，在長為8cm,寬為6cm的矩形中，截去一個矩形（圖中陰影部分），

如果剩下的矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是（）

?

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，剩下矩形與原矩形相似，利用相似形的對應(yīng)邊的比相等可得.

AEC

RFD

解：依題意，在矩形ABDC中裁取矩形ABFE,則矩形ABDCs矩形FDCE,

則設(shè)DF=xcm,得到：9=§解得：x=4.5,則剩下的矩形面積是：4.5x6=27cm2.

DFDCx6

【點睛】本題就是考查相似形的對應(yīng)邊的比相等，分清矩形的對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?福建莆田市?中考模擬）下列四組圖形中，一定相似的是（）

A.正方形與矩形B.正方形與菱形C.菱形與菱形D.正五邊形與正五邊形

【答案】D

【分析】根據(jù)相似多邊形的定義對各選項進(jìn)行判定.

【詳解】A中，正方形的四條邊都相等，而矩形的四條邊不一定相等，，不一定相似；

B中，正方形的四個角都是直角，菱形的四個角不一定都是直角，...不一定相似；

c中，菱形的四條邊都相等，即兩個菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，...不一定相似；

D中，正五邊形的五條邊都相等，五.個角都相等，故兩個正五邊形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角也相等，

一定相似.故選D.

2.（2020?貴州六盤水市?中考模擬）矩形的兩邊長分別為a,b,下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形的是（）

A.a=4,b="7^+2B.a=4,b=>/^-2C.a=2,b=-75+1D.a-2,b--y/5-1

【答案】D

【解析】黃金矩形的長寬之比為黃金分割比，即寬：長=避二1,只有選項D中b：a=^二1,故選D.

22

考向四相似三角形性質(zhì)與判定

1.相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似

比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相

似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等

且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江紹興市?中考模擬）如圖，已知NZMB=NC4E，那么添加下列一個條件后，仍然無法判定

的是（）

ABAC

A.--------D.ZC=ZA￡D

ADAE

【答案】B

【分析】利用相似三角形的判定依次判斷可求解.

【詳解】解：VZDAB=ZCAE,/.ZDAE=ZBAC,

ABAC

A、若——=——，且/DAE=/BAC,可判定AABCSAADE,故選項A不符合題意：

ADAE

B、若絲=些，且NDAE=NBAC,無法判定AABCSAADE,故選項B符合題意；

ADDE

C、若NB=ND,且NDAE=NBAC,可判定AABCSAADE,故選項C不符合題意；

D、若NC=NAED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS^ADE,故選項D不符合題意；故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定是本題的關(guān)犍.

2.（2020?四川遂寧市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，NA8C的平分線交AC于點E,交AO于

BE

點F,交的延長線于點G,若AF=2"）,則=的值為（）

G

【答案】C

【分析】SAF=2DF,可以假設(shè)則A尸=2%,AD=3k,證明AB=AF=2hDF=DG=k,再利用平

行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】解：由4尸=2。尸，可以假設(shè)。尸=%,則AF=2Z,A￡>=3&,

?四邊形ABC。是平行四邊形，：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

；.NAFB=NFBC=NDFG,NABF=NG,

平分/48C,:.NABF=NCBG,；.NABF=NAFB=NDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,：.CG=CD+DG=3k,

“BEAB2k2…

■：AB//DG,:.△AABEs/\CGE，：,——=——=一=-,故選：C.

EGCG3k3

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行

四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖南長沙市?中考真題）在矩形ABCD中，E為。。上的一點，把AADE沿AE翻折，使點D恰

好落在BC邊上的點F.（1）求證：AABF:AFCE（2）若A8=26,=4,求EC的長；

(3)若AE-DE=2EC,記NBAF=a,NFAE=。,求tana+tan/7的值.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）2叵；（3）2叵

33

【分析】（1）只要證明NB=/C=90。，/BAF=NEFC即可；（2）因為4AFE是4ADE翻折得到的，得到

AF=AD=4,根據(jù)勾股定理可得BF的長，從而得到CF的長，根據(jù)△ABFs^FCE,得到——=——，從而

BFAB

BFEFCEEF

求出EC的長;（3）根據(jù)△ABFs/XFCE,得到NCEF=/BAF=a，所以tana+tanp=—+——=—+——，

ABAFCFAF

AQCF

設(shè)CE=1,DE=x,可得到AE,AB,AD的長，根據(jù)AABFSAFCE,得到——=—,將求出的值代入化

AFEF

簡會得到關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE,CF,EF,AF的值，代入lanQ+lan

於三+變即可.

CFAF

【詳解】（1）證明：：四邊形ABCD是矩形，.?./B=/C=/D=90。，.,./AFB+/BAF=90。,

?..△AFE是^ADE翻折得到的，.,.ZAFE=ZD=90°,/.ZAFB+ZCFE=90°,

AZBAF=ZCFE,AAABF^AFCE.

(2)解：?.?△AFE是AADE翻折得到的，；.AF=AD=4,

：.BF=ylAF2-AB2=yj42-(2可=2，.,.CF=BC-BF=AD-BF=2.

CECFCE2o/a

由(1)MAABF^AFCE,——=——，：.——=-^=,AEC=^^.

BFAB22V33

(3)

解：由(1)得△ABFS/SFCE,???NCEF=NBAF=a,

BFEFCEEF

tanCt+tan/?=------1---=----1---,設(shè)CE=1,DE=x,

ABAFCFAF

■:AE—DE=2EC，:.AE=DE+2EC=x+2,AB=CD=x+1,AD二y/AE2-DE2-j4x+4

-AB-CF-x+i=&-i.(Vx+T)

'AFEF，..Ax+4—尤'..2?+1=%-

.1Jx+1

??—=-----x=2\/x-i，Ax2-4x+4=0,解得x=2,

2x

；.CE=1,=5EF=X=2,AF=AD=,松_DE?==2G，

CEEF12273

/.tana+tan/?=---+1-----卜----

CFAFG26

【點睛】本題考查「相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會運用方程的思想思考問題.

變式拓展

1.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，在F1ABC中，點。在邊上，若8C=3,BD=2,且N&?

則線段AO的長為（）

59

A.2B.-C.3D.一

22

【答案】B

【分析】由NBCD=/A,NB=/B,可判定△BCDs^BAC,從而可得比例式，再將BC=3,BD=2代

入，可求得BA的長，然后根據(jù)AD=BA-BD,可求得答案.

BeBD

【詳解】解：VZBCD=ZA,ZB=ZB,AABCD^ABAC,，——=—,

BABC

32995

VBC=3,BD=2,；.—=一，；.BA=一，AD=BA-BD=--2=—.故選：B.

BA3222

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，正方形ABC。中，點F是邊上一點，連接AE,以A尸為對

角線作正方形A￡FG,邊FG與正方形ABC。的對角線AC相交于點”，連接。G.以下四個結(jié)論：①

ZE4B=NG4D；②△AECSAAG。；?2AE2=AH-AC；?DG±AC.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，NEAB、NGAD與/BAG的和均為90。，即可證明

ACA.F

NEAB與NGAD相等；②由題意易得AD=DC,AG=FG,進(jìn)而可得一=——，NDAG=/CAF,然后問

ADAG

ApAQ

題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAFs^FAC,則有——=—,然后

AHAF

根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知ZADG=NACF=45°,則問題可求證.

【詳解】

解：①；四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形NEAG=NBAD=90。

又：ZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90°-ZBAG.\/EAB=NGAD.,.①正確

②,四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AD=DC,AG=FG

r-r—.ACnrAFrrACAF

AC—\/2,AD,AF=5/2AG=,-----=>/2即=

、vADAGADAG

XVZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC.\ZDAG=ZCAF/.^AFC^^AGD②正確

③：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線NAFH=NACF=45°

AbAC

XVZFAH=ZCAF.\AHAF^AFAC.-.——=——即AF2=AC-AH

AHAF

XVAF=V2AE.\2AE2=AH-AC.,?③正確

④由②知△AFC'SAAG。又：四邊形ABCD為正方形，AC為對角線ZADG=ZACF=45°

.?.DG在正方形另外一條對角線上；.DG，AC.?.④正確故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運用，同時利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找

到需要的相似三角形進(jìn)而證明.

3.（2020?上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCO中，點￡、尸分別在邊AB、4,上，BE=DF,CE的延

長線交DA的延長線于點G,CF的延長線交BA的延長線于點H.

（1）求證：ABECS/XBCH；（2）如果求證：AG=DF.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）先證明△CQF/ACBE,進(jìn)而得到再由菱形對邊得至

BEAE

進(jìn)而NBCE=NH即可求解.（2）由的848%￡得到?一=——，再利用AG〃BC,平行線分線段成比例定

ABEB

BEAG

理得到——=—7,再結(jié)合已知條件即可求解.

ABBC

【詳解】解：（IB?四邊形A8CQ是菱形，，CO=C8,/D=NB,CD//AB.

"：DF=BE,A△CDF^ACB￡(SAS),:.NDCF=NBCE.

'.'CD//BH,：.ZH=ZDCF,：.ZBCE=ZH.且NB=N8,:.△BECsgCH.

.eBEAE.“AEAGBEAG

(2).BE^=AB?AE,??-,.AG//BC,??=----

ABEBBEBCAB-ec

,;DF=BE,BC=AB,；.BE=AG=DF,B|JAG^DF.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

考向五相似比相關(guān)問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?云南中考真題）如圖，平行四邊形ABCO的對角線AC，BO相交于點。，E是的中點,

則口?！?與ABCD的面積的比等于（）

【答案】B

【分析】先證明OE//BC,再根據(jù)△DEOs/\DCB求解即可.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，.?.BO=DO,

是CO的中點，，OE是4DCB的中位線，，OE〃BC,OE=—BC,

2

.?.△DEO^ADCB,.,.△DEO：ADCB=-.故選B.

4

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似

三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在口43c中，BC=120,高40=60,正方形EFGH一邊在BC上,

點分別在AB,AC上，AO交EF于點N,則AN的長為（）

C.25D.30

【答案】B

【分析】證明△AEFs^ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得.

EFAN

【詳解】解：?.?四邊形EFGH是正方形，，EF〃BC,.?.△AEFS/^ABC,—=—.

BCAD

設(shè)AN=x,貝ijEF=FG=DN=60-x,二竺二=二解得：x=20所以，AN=20.故選：B.

12060

【點睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?吉林中考真題）如圖，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點.若山S1E的面積為■.則

四邊形DBCE的面積為.

3

【答案】-

2

【分析】先根據(jù)二甭形中位線定理得出再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出

2

SADF/DE2

-7^=（—）,從而可得口ABC的面積，由此即可得出答案.

>ABC

【詳解】???點。，E分別是邊A3，AC的中點后〃8c

2

SDE]

出3口口..??蔬=（於七-4sm

11133

又丁=不?'?則四邊形DBCE的面積為川*一二大故答案為：

SnAur."2S/"ioCc=4x72=2/iovS.c-S2=2272

【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2020?遼寧錦州市?中考真題）如圖，在口4?。中，D是中點，DEHBC,若口45七的周長為6,

則口45。的周長為.

【分析】由D￡〃5C,可知口45上口口48。，再由D是AB中點，可得到相似比，可求出口⑷?。的周長.

【詳解】解：???DE〃3C,.??□ADEDDABC,

An1

又YD是AB中點，，一=—，即口4醫(yī)與「ABC的相似比為1:2,，口4萬與QABC1的周長比為1:2,

AB2

?.?□AD石的周長為6,.??□A5C的周長為12,故答案為：12.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的相似比等于周長比是解題的關(guān)鍵.

考向六相似三角形的實際應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2020?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，AABC是一塊銳角三角形的材料，邊8c=120〃皿，高A。

=80加〃，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正

方形零件的邊長是多少/?，〃.

【分析】設(shè)正方形的邊長為x,表示出4/的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式,

然后進(jìn)行計算即可得解.

【詳解】設(shè)正方形的邊長為xmm,MAl=AD-x=80-x9

EFA/x80—x

是正方形，：.EF//GH,：./XAEF^^\ABC,：.——=——，即——=——,

BCAD12080

解得x=48〃7〃7,二這個正方形零件的邊長是48"“〃.

【點睛】本題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

2.（2020?甘肅天水市?中考真題）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE

高1.5加，測得45=1.2m，BC=12.8m,則建筑物CO的高是（）

I)

A.17.5/?B.VimC.16.5mD.18)

【答案】A

【分析】先求得AC,再說明AABEsaACD,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程解答即可.

【詳解】解：：AB=1.2加，BC=12.8w/.AC=1.2m+12.8m=14m

;標(biāo)桿BE和建筑物CD均垂直于地面.?.BE//CD；.△ABEs4ACD

ABAC1.214

---=----，即un---=----.解得CD=17.5m.故答案為A.

BECD1.5CD

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確判定相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)列方程計算是解答

本題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?廣西玉林市?中考真題）一個三角形支架三條邊長分別是75cm,100cm,120cm,現(xiàn)要再做一個與

其相似的三角形木架，而只有長為60cm,120cm的兩根木條，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩

段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（）

A.一種B.兩種C.三種D.四種

【答案】B

【分析】設(shè)截成的兩邊的長分別為xcm、ycm,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，分兩種情況求解即可.

【詳解】解：設(shè)截成的兩邊的長分別為xcm、ycm,若從60cm長的木條上截取，

,.'x+yW60<120,不符合題意；若從120cm長的木條上截取,

①當(dāng)60cm與75cm是對應(yīng)邊時，：兩三角形相似，3,解得x=80,y=96,

75100120

80+96=176cm>l20cm,.?.此種情況不符合題意；

②當(dāng)60cm與100cm是對應(yīng)邊時，..?兩三角形相似，.;=±=,解得x=45,y=72,

10075120

V60cm<45+72=117cm<120cm,.?.從120cm長的木條截取45cm和72cm兩根木條；

③當(dāng)60cm與120cm是對應(yīng)邊時，?.?兩三角形相似，.,.里=二=上，解得x=37.5,y=50,

12075100

V60cm<37.5+50=87.5cm<120cm,.?.從120cm長的木條截取37.5cm和50cm兩根木條；

綜上所述，共有兩種截法：方法一：從120cm長的木條截取45cm和72cm兩根木條，方法二：從120cm長

的木條截取37.5cm和50cm兩根木條.故選B.

【點睛】本題考查J'相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難點在于根據(jù)對應(yīng)

邊的不同分情況討論.

2.（2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題）在平行四邊形ABC。中，E為AD的中點，請僅用無刻度

的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

（1）如圖1,在8c上找出一點M,使點M是的中點；

（2）如圖2,在8。上找出一點N,使點N是BD的一個三等分點.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）連接對角線AC,BD,再連接E與對角線的交點，與BC的交點即為M點；

（2）連接CE交BD即為N點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得維=匹=」,于是DN=1BD.

NBBC23

【詳解】解：（1）如圖1,點M即為所求：（2）如圖2,點N即為所求.

【點睛】此題主要考查平行四邊形與相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的特點.

考向七位似

1.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖

形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

2.位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為我,那么位似圖

形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于％或-上

典例引領(lǐng)

1.（2020?河北中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點。為位似中心，四邊形ABC。的位似圖形是（）

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形D.四邊形NHMR

【答案】A

【分析】以O(shè)為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形，根據(jù)圖像可判斷出答案.

【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ.故選：A

【點睛】此題考查了位似圖形的作法，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位

似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，

確定位似圖形.

2.(2020?遼寧丹東市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度

的正方形，點A，B,C的坐標(biāo)分別為A(l,2),B(3,l),C(2,3),先以原點。為位似中心在第三象限內(nèi)

畫一個與q,使它與A4BC位似，且相似比為2：1,然后再把AABC繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

AA282c2.(1)畫出并直接寫出點A的坐標(biāo)；(2)畫出△&與。2,直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點A

到點&所經(jīng)過的路徑長.

【分析】(1)連接AO、BO、CO,并延長到2AO、2BO、2CO,長度找到各點的對應(yīng)點，順次連接即可;

(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A?、B?、C2的位置，然后順次連接

即可，再根據(jù)勾股定理列式求出OA,然后利用弧長公式列式計算即可得解.

【詳解】(1)如圖所示，Ai(-2,-4)；

【點睛】本題考查了平移變換作圖和軸對稱圖形的作法及畫位似圖形.注意：畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的

位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

變式拓展

1.(2020?浙江嘉興市?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點為O(0,0),A(4,3),B(3,

0).以點O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為L的位似圖形△OCD,則點C坐標(biāo)()

3

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點的橫縱坐標(biāo)都乘以即可.

3

14

【詳解】；點。為位似中心，位似比為一，4(4,3),點的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為(-一，-1).選：

33

【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那

么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.

2.(2020?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)