非零復(fù)自反的banach空間上的強雙三角子空間格代數(shù)

非零復(fù)自反的banach空間上的強雙三角子空間格代數(shù)

在抽象理論中，雙三角子空間的研究起著特殊的作用。Lambrou和Longstaff在文獻(xiàn)中研究了雙三角子空間格代數(shù)中有限秩算子的性質(zhì)。文獻(xiàn)研究了強雙三角子空間格代數(shù)上的自同構(gòu)、導(dǎo)子、局部導(dǎo)子、初等算子和Jordan同構(gòu)的性質(zhì)。關(guān)于算子代數(shù)的相關(guān)知識見文獻(xiàn)。本文主要研究強雙三角子空間格代數(shù)的性質(zhì)。1雙三角子空間格的范圍設(shè)D={{0},K,L,M,X}是Banach空間X上的子空間格。如果D滿足K∩L=L∩M=M∩K={0}且K∨L=L∨M=M∨K=X,則稱D是X上的雙三角子空間格。下面給出關(guān)于雙三角子空間格的一些記號和需要的引理。定義1設(shè)K0=K∩(L+M),L0=L∩(M+K),M0=M∩(K+L)且由文獻(xiàn)可得,K0,L0和M03者的維數(shù)是相等的;同樣Kp,Lp和Mp3者的維數(shù)也是相等的。與文獻(xiàn)相同,記m=dimK0且n=dimKp。下面給出這些線性流形之間的關(guān)系:引理1設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的一個雙三角子空間格,則由文獻(xiàn)可知AlgD沒有一秩算子。下面給出雙三角子空間格代數(shù)中有限秩算子的性質(zhì):引理2設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的一個雙三角子空間格,K0,L0,…,Mp及m,n與上面的定義相同,則(i)AlgD中的任何有限秩算子都是偶秩的,當(dāng)然有可能是零秩的。(ii)設(shè)非零向量e,f∈X和e*,f*∈X*,如果它們滿足e∈K0,f∈L0,e+f∈M0且e*∈Kp,f*∈Lp,e*+f*∈Mp,則R=e*ue3c1f-f*ue3c1e是AlgD中的二秩算子。進(jìn)一步,對于AlgD中的任何一個二秩算子,一定存在非零向量e,f,e*,f*滿足上述條件,并且該算子具有上述形式。(iii)AlgD包含一個非零有限秩算子當(dāng)且僅當(dāng)m≠0且n≠0。(iv)當(dāng)AlgD存在非零有限秩算子時,它一定可以表示為AlgD中有限個二秩算子的和。下面給出雙三角子空間格代數(shù)的基本性質(zhì):引理3設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的一個雙三角子空間格,AlgD中包含一個二秩算子,則引理4設(shè)D是一個雙三角子空間格。如果K+L是閉的,那么(i)K0+L0+M0在X中是稠的,(ii)Kp+Lp+Mp在X*中是稠的。引理3和4說明強雙三角子空間格中含有大量的二秩算子。e*∈Kp,f*∈Lp和e*+f*∈Mp。如果R=e*ue3c1f-f*ue3c1e,那么e*(f)=-f*(e)且R2=-f*(e)R。進(jìn)一步,R是擬冪零算子當(dāng)且僅當(dāng)f*(e)=0。下面給出強雙三角子空間格的定義。定義3設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的一個雙三角子空間格。如果K+L,L+M和M+K中至少有一個閉的,則稱D是一個強雙三角子空間格。下面的引理刻畫了強雙三角子空間格代數(shù)中二秩算子和冪等算子的重要性質(zhì)。引理6設(shè)D是一個強雙三角子空間格,T∈AlgD。1)如果對于AlgD中的任何二秩算子R都有TR=0,那么T=0;2)如果對于AlgD中的任何二秩算子R都有RT=0,那么T=0。引理7設(shè)D是一個強雙三角子空間格,則S是AlgD的一個非零單元當(dāng)且僅當(dāng)S是AlgD中的一個二秩算子。引理8設(shè)P∈AlgD是一個冪等算子。如果rankP>2,那么存在AlgD中的二秩冪等算子P1和非零冪等算子P2使得P=P1+P2且PP1=P1P=P1和P1P2=P2P1=0。2關(guān)于各f0型的生長算子即梯度2,我國在fk中的表型示范,存在又有2設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的一個強雙三角子空間格,假設(shè)K+L是閉的,則m≠0且n≠0。引理9如果R1,…,Rn是F(K)中的二秩冪等算子,那么存在F(K)中的冪等算子P使得PRiP=Ri,其中i=1,2,…,n。進(jìn)一步,當(dāng)dimK0≥2時,可以選擇P使得rankP≥4。證明當(dāng)n=1時,設(shè)R1=e1*ue3c11-f1*ue3c1e1。分情況討論。情形1如果e1*(f1)=λ≠0,那么R12=λR1。取,則P1是F(K)中的冪等算子。經(jīng)計算可得當(dāng)dimK0≥2時,由于rank(I-P1)>2及引理8,存在二秩冪等算子Q1和冪等算子Q2使得I-P1=Q1+Q2且(I-P1)Q1=Q1(I-P1)=Q1,即Q1P1=P1Q1=0。取P=P1+Q1,則rankP=4,且且情形2如果e1*(f1)=0,那么存在非零向量e0*∈Lp和f0∈M0,使得再分兩種情況討論。情形2.1如果e0*(f0)=0,由引理1,那么存在非零向量f0*∈Mp,g0*∈Kp和e0∈L0,g0∈K0使得e0*=-f0*+g0*,f0=-e0+g0。取T1=e1*ue3c1f0-f1*ue3c1e0,T2=e0*ue3c1f1-f0*ue3c1e1,則T1和T2是F(K)中的冪等算子。取P=T1+T2,由T1T2=0且T2T1=0,則P是F(K)中的冪等算子且rankP=4,進(jìn)而有情形2.2如果e0*(f0)=λ≠0,取f2=f0-λf1,那么且故存在非零向量e0*∈Lp,f2∈M0使得e0*(f1)=1,e1*(f2)=1且e0*(f2)=0。用f2代替f0,由情形2.1可證明。假設(shè)存在F(K)中的冪等算子Q,對于F(K)中的n-1個二秩算子Ri,有QRiQ=Ri,其中i=1,…,n-1。設(shè)Rn=en*ue3c1fn-fn*ue3c1en。情形3如果Qen=en,Qfn=fn,Q*en*=en*且Q*fn*=fn*,取P=Q,經(jīng)計算可得,對于F(K)中的二秩算子Ri有QRiQ=Ri,其中i=1,…,n。情形4.1如果e0*((I-Q)f0)=0,取T1=en*ue3c1f0-fn*ue3c1e0和取經(jīng)計算可得同理可得,T2(I-Q)T1=0,T2(I-Q)T2=T2。因此有所以,P是F(K)中的冪等元且rankP≥4。對于二秩算子Ri,i=1,…,n-1,有下面考慮算子Rn。經(jīng)計算可得同理可得,T2(I-Q)Rn=Rn,Rn(I-Q)T1=Rn且Rn(I-Q)T2=0。故因此,存在冪等算子P且rankP≥4使得PRiP=Ri,其中i=1,…,n。情形4.2如果e0*((I-Q)f0)=λ≠0。取g0=f0-λfn,那么en*((I-Q)g0)=en*((I-Q)f0)-λen*((I-Q)fn)=1且e0*((I-Q)g0)=e0*((I-Q)f0)-λe0*((I-Q)fn)=0。因此,存在非零向量e0*∈Lp和g0∈M0使得e0*((I-Q)fn)=1,en*((I-Q)g0)=1且e0*((I-Q)f0)=0。用g0代替f0,應(yīng)用情形4.1可證明結(jié)論。情形5如果(I-Q)fn≠0,(I-Q)*en*≠0且en*((I-Q)fn)=λ≠0,取。經(jīng)計算可得,P是冪等算子且rankP=4使得PRiP=Ri,其中i=1,…,n。情形6如果(I-Q)en≠0且(I-Q)*fn*=0,那么存在非零向量f0*∈Mp使得f0*((I-Q)en)=1。取P=Q+(I-Q)(e0*ue3c1fn-f0*ue3c1en)(I-Q),經(jīng)計算可得,P是冪等算子且rankP=4使得PRiP=Ri,其中i=1,…,n。情形7如果(I-Q)en=0且(I-Q)*fn*≠0,那么存在非零向量e0∈L0使得fn*((I-Q)e0)=-1。取P=Q+(I-Q)(en*ue3c1f0-fn*ue3c1e0)(I-Q),經(jīng)計算可得,P是冪等算子且rankP=4使得PRiP=Ri,其中i=1,…,n。由數(shù)學(xué)歸納法,結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時,冪等算子P可以分解為F(K)中k個二秩冪等算子的和且任何兩個不相等的冪等算子的乘積為零。下面給出兩個重要的概念。定義5如果對于代數(shù)A的任意有限子集S,存在矩陣單位系統(tǒng)使得,n≥2,則稱A是一個局部矩陣代數(shù)。定理1設(shè)D={{0},K,L,M,X}是非零復(fù)自反的Banach空間X上的一個強雙三角子空間格。如果dimK0≥2,那么F(K)是一個局部矩陣代數(shù)。證明設(shè)R1,R1,…,Rm是F(K)中的算子。由引理9,則存在F(K)中秩為2n的冪等算子P使得PRkP=Rk,其中k=1,…,m。由引理10,不妨設(shè)因此,{Eij}是一個矩陣單位系統(tǒng)。由于則Rk∈span{ei*ue3c1fj-fi*ue3c1ej:i=1,2,…,n;j=1,2,…,n}。因此,F(K)是一個局部矩陣代數(shù)。推論1如果dimK0≥2,那么F(L)和F(M)都是局部矩陣代數(shù)。設(shè)X是非零復(fù)自反的Banach空間,用B(X)表示X上的有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)。設(shè)T∈B(X),用R(T)表示T的值域。設(shè)span{e,f,g,…}表示X中的向量集{e,f,g,…}的線性張。對于任意A,B∈B(X),則A(e*ue3c1f)B=(B*e*)ue3c1(Af)。設(shè)Y和Z分別是X和X*的非零閉子空間,則⊥(Y⊥)=Y且(⊥Z)⊥=Z。同時,對于X的任何非空閉子空間族{Lγ}Γ,則(∨ΓLγ)⊥=∩ΓL⊥γ且(∩ΓLγ)⊥=∨ΓL⊥γ。引理5設(shè)e,f,e*和f*為非零向量且e∈K0,f∈L0,e+f∈M0,定義2設(shè)F(K)=span{e*ue3c1f-f*ue3c1e:e∈L0,f∈M0,e+f∈K0;e*∈Lp,f*∈Mp,e*+f*∈Kp}。類似的,定義F(M)和F(L)。情形4如果(I-Q)fn≠0,(I-Q)*e*n≠0且e*n((I-Q)fn)=0,那么存在非零向量e*0∈Lp和f0∈M0使得e*0((I-Q)fn)=1,e*n((I-Q)f0)=1。引理10設(shè)P是F(K)中的冪等算子。如果rankP=2n,那么P可以分解為n個二秩冪等算子Pi的和且任何兩個不相等的冪等算子的乘積為零,即且當(dāng)i≠j時,PiPj=PjPi=0;當(dāng)i=j時,P2i=Pi。證明當(dāng)n=2時,由rankP=4>2及引理8,則存在二秩冪等算子P1∈F(K)及冪等算子P2∈F(K)使得P=P1+P2。由于PP1=P1P=P1,則P1P2=P1(P-P1)=P1P-P21=0。同理P2P1=0。當(dāng)n=k+1時,由rankP=2(k+1)>2及引理