第07講 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究(解析版)

第7講二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究考點一“兩定一動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】如圖，已知定點A、O，在x軸上找點P，使△OAP為等腰三角形則P1、P2、P3、P4即為符合題意的點P解決策略：（有時也可用兩點間距離公式求值）即：①當(dāng)OA=OP時，以O(shè)點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點②當(dāng)OA=AP時，以A點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點③當(dāng)AP=OP時，線段OA的中垂線與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點【類題訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c為常數(shù)）的頂點為A，與y軸交于點B，點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C．若△ABC是等腰直角三角形，則BC的長為8．【分析】分別求出A（2b，c﹣b2），B（0，c），C（4b，c），再由等腰直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，建立方程4b＝2（c﹣c+b2），求出b的值即可求解．【解答】解：∵y＝x2﹣bx+c＝（x﹣2b）2+c﹣b2，∴頂點A（2b，c﹣b2），對稱軸為直線x＝2b，當(dāng)x＝0時，y＝c，∴B（0，c），∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，∴C（4b，c），∵△ABC是等腰直角三角形，∴4b＝2（c﹣c+b2），解得b＝0或b＝2，∵b＞0，∴b＝2，∴BC＝8，故答案為：8．2．如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2．?（1）求此拋物線的解析式；（2）若點B是x軸上的一點，且△OAB為等腰三角形，請直接寫出B點坐標(biāo)．【分析】（1）由拋物線經(jīng)過點O（0，0），對稱軸為直線x＝2，知拋物線經(jīng)過點（4，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax（x﹣4），用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）設(shè)B（m，0），有OA2＝50，OB2＝m2，AB2＝（m﹣5）2+25，分三種情況：①若OA＝OB，則50＝m2，②若OA＝AB，則50＝（m﹣5）2+25，③若OB＝AB，則m2＝（m﹣5）2+25，分別解方程可得答案．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點O（0，0），對稱軸為直線x＝2，∴拋物線經(jīng)過點（4，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入得：5＝5a，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）設(shè)B（m，0），∵O（0，0），A（5，5），∴OA2＝50，OB2＝m2，AB2＝（m﹣5）2+25，①若OA＝OB，則50＝m2，解得m＝5或m＝﹣5，∴B（5，0）或（﹣5，0）；②若OA＝AB，則50＝（m﹣5）2+25，解得m＝0（與O重合，舍去）或m＝10，∴B（10，0）；③若OB＝AB，則m2＝（m﹣5）2+25，解得m＝5，∴B（5，0）；綜上所述，B的坐標(biāo)為（5，0）或（﹣5，0）或（10，0）或（5，0）．3．如圖，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，點D在拋物線上．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點D為直線BC上方拋物線上的點，過點D作DP∥x軸交BC于點P，作DQ∥y軸交BC于點Q，若△DPQ的面積為2，求D點坐標(biāo)；（3）如圖2，點M為拋物線的頂點，當(dāng)x＞﹣2時，在拋物線上是否存在點D使△AMD是等腰三角形？若能，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）拋物線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先求得C（0，4），根據(jù)，得出DQ＝2，求得直線BC的解析式為：y＝﹣x+4，設(shè)點，則Q（m，﹣m+4），根據(jù)DQ＝2，建立方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)x＞﹣2，畫出圖形，分兩種情況討論，①當(dāng)MA＝MD時，則D與B點重合，則D1（4，0），②當(dāng)DA＝DM時，如圖所示，連接AM，作AM的垂直平分線交x軸于點F，AM的中點為G，設(shè)x＝1與x軸交于點H，則AH＝3，求得直線GF的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）拋物線得：，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）∵點D為直線BC上方拋物線上的點，過點D作DP∥x軸交BC于點P，作DQ∥y軸交BC于點Q，△DPQ的面積為2，把x＝0代入，得：y＝4，∴C（0，4），∵∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°∵DP∥x軸，作DQ∥y軸，∴∠DQP＝45°，∠DPQ＝45°，∴∠DQP＝∠DPQ＝45°，∴DP＝DQ，∠PDQ＝90°，∴，∴DQ＝2，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（4，0），C（0，4）代入得：，解得，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4，設(shè)點，則Q（m，﹣m+4），∴，解得：m1＝m2＝2，∴，∴D（2，4）；（3）解：當(dāng)x＞﹣2時，在拋物線上存在點D使△AMD是等腰三角形，點D的坐標(biāo)為：D1（4，0），，．理由如下：∵＝，∴，①當(dāng)MA＝MD時，則D與B點重合，則D1（4，0），②當(dāng)DA＝DM時，如圖所示，連接AM，作AM的垂直平分線交x軸于點F，AM的中點為G，∵A（﹣2，0），，∴，∴，，設(shè)x＝1與x軸交于點H，則AH＝3，則，∴，∴，設(shè)直線GF的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線GF的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴，，綜上所述，D1（4，0），，．4．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．【分析】（1）將B，C兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進一步得出結(jié)果；（2）連接OP，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點的坐標(biāo)，令y＝0求得A的坐標(biāo)，從而求得OQ，PQ，OA的長，再根據(jù)S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP求得結(jié)果；（3）設(shè)M（﹣1，m），表示出AM和BM，根據(jù)AM2＝BM2列出方程求得m的值，進而求得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得，，∴，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖，連接OP，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），∴PQ＝4，OQ＝1，由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝1，x2＝﹣3，∴OA＝3，∴S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；（3）設(shè)M（﹣1，m），由AM2＝BM2得，[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，∴m＝1，∴M（﹣1，1）．考點二“一定兩動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】如圖，P、Q分別為AB、CB上一動點，當(dāng)△BPQ是等腰三角形時，有以下幾種情況：①BP=BQ②BQ=PQ③BP=PQ解決策略：即BQ=PQ可轉(zhuǎn)化為:;BP=PQ可轉(zhuǎn)化為:☆特別地：當(dāng)題目給出的數(shù)據(jù)還好時，也可選擇用代數(shù)法來分類討論等腰三角形步驟如下：①根據(jù)點的坐標(biāo)，表示出三邊的平方②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到兩兩相等的的三個方程③分別解出這三個方程，再依據(jù)結(jié)果判斷是否存在【類題訓(xùn)練】5．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，則∠ACB＝90°；M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上一點，作MQ∥y軸交BC于Q，若△NQM是以NQ為腰的等腰三角形，則線段NC的長為5﹣或．【分析】由y＝x2﹣x﹣4可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），即得AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，故AB2＝AC2+BC2，從而∠ACB＝90°；當(dāng)NQ＝MQ時，過N作NH⊥x軸于H，設(shè)AM交y軸于K，可證△AHN≌△ACN（AAS），即得AH＝AC＝＝2，NC＝HN，有BH＝AB﹣AH＝10﹣2，由△BHN∽△BCA，得＝，求出HN＝5﹣，故NC＝5﹣；當(dāng)NQ＝NM時，過N作NT⊥y軸于T，可證△AOK∽△COA，得＝，OK＝1，CK＝OC﹣OK＝3，AK＝＝，求出TK＝CT＝CK＝，由△AOK∽△NTK，可得＝，求得NK＝，故NC＝．【解答】解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°；當(dāng)NQ＝MQ時，過N作NH⊥x軸于H，設(shè)AM交y軸于K，如圖：∴∠QMN＝∠QNM＝∠ANC，∵QM∥y軸，∴∠QMN＝∠NKC＝∠AKO，∴∠ANC＝∠AKO，∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠ANC＝∠CAN，∵∠AHN＝90°＝∠ACN，AN＝AN，∴△AHN≌△ACN（AAS），∴AH＝AC＝＝2，NC＝HN，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣2，∵∠HBN＝∠CBA，∠NHB＝90°＝∠ACB，∴△BHN∽△BCA，∴＝，即＝，∴HN＝5﹣，∴NC＝5﹣；當(dāng)NQ＝NM時，過N作NT⊥y軸于T，如圖：∴∠NQM＝∠NMQ，∵QM∥y軸，∴∠NKC＝∠NCK，∴NK＝NC，∵∠AKO＝∠NKC，∴∠AKO＝∠NCK，∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠NCK＝∠ACO，∵∠AOK＝90°＝∠COA，∴△AOK∽△COA，∴＝，即＝，∴OK＝1，∴CK＝OC﹣OK＝4﹣1＝3，AK＝＝＝，∴TK＝CT＝CK＝，∵∠AKO＝∠TKN，∠AOK＝90°＝∠NTK，∴△AOK∽△NTK，∴＝即＝，∴NK＝，∴NC＝，∴線段NC的長為5﹣或．故答案為：90，5﹣或．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線的頂點，請畫出四邊形ABDC，并求出四邊形ABDC的面積；（3）點E是拋物線上一動點，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為t（1＜t＜4），點F為拋物線對稱軸l上一點．若△BEF是等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的計算過程．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖所示，過點D作DG⊥x軸于G，先求出，再根據(jù)S四邊形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDG+S△BDG進行求解即可；（3）分圖3﹣1，圖3﹣2，圖3﹣3三種情況，利用一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形進行求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4中，得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）如圖所示，過點D作DG⊥x軸于G，∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為，∴，在中，當(dāng)x＝0時，，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，OB＝4，∴S四邊形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDG+S△BDG＝＝＝15；（3）設(shè)，如圖3﹣1所示，當(dāng)∠EFB＝90°時，過點E作EM⊥DF于M，設(shè)直線DF交x軸于H，∴∠EMF＝∠FHB＝90°，∵△BFE是等腰直角三角形，∠EFB＝90°，∴EF＝FB，∵∠MFE+∠MEF＝90°＝∠MFE+∠HFB，∴∠MEF＝∠HFB，∴△MEF≌△HFB（AAS），∴ME＝HF，MF＝BH，由（2）可知OH＝1，OB＝4，∴MF＝BH＝3，F(xiàn)H＝ME＝m﹣1，∴MH＝MF+FH＝3+m﹣1＝m+2，∴，解得m＝2或m＝﹣2（舍去），∴，∴E（2，4）；如圖3﹣2所示，當(dāng)∠EBF＝90°時，過點E作EM⊥x軸于M，∴∠EMB＝∠BHF＝90°，∵△BFE是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，∴EB＝BF，∵∠MBE+∠MEB＝90°＝∠MBE+∠HBF，∴∠MEB＝∠HBF，∴△MEB≌△HBF（AAS），∴ME＝HB＝3，∴，解得或（舍去），∴；如圖3﹣3所示，當(dāng)∠BEF＝90°時，過點E作EM⊥DF于M，過點B作BN⊥ME交ME延長線于N，同理可證△MEF≌△NBE，∴ME＝BN，∴，解得或（舍去），∴，∴；綜上所述，E（2，4）或或．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，3），與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線與拋物線交于另一點E（6，m），點M為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求直線CE的解析式；（2）如圖2，點P為直線CE上方拋物線上一動點，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時，求點P的坐標(biāo)以及△PCE面積的最大值．（3）如圖3，將點D右移一個單位到點N，連接AN，將（1）中拋物線沿射線NA平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點N，y′的頂點為點G，在新拋物線y′的對稱軸上是否存在點H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入拋物線，即可求出拋物線解析式，再分別求出點C，點E，待定系數(shù)法即可求得直線CE解析式；（2）過點P作PH∥y軸交CE于點H，設(shè)P為（t，），則H為（t，﹣t+4），由鉛垂法求得△PCE面積的表達(dá)式，最后求其最大值及P點坐標(biāo)；（3）先求出直線AN的解析式，反向延長射線NA與拋物線的另一個交點記為點Q，求出點Q的坐標(biāo)，根據(jù)點Q到點N的運動，可求出拋物線y′的頂點G的坐標(biāo)，再進行分類討論：分點M，點G，點H為頂點的三種情況，分別進行計算求解即可．【解答】解：（1）把點A（﹣1，3）代入拋物線，得，∴b＝，∴拋物線的解析式為，∵在中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∵點E在拋物線上，∴把E（6，m）代入，得，∴E（6，﹣4），設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b1則，∵C（0，4），E（6，﹣4），∴，解得，∴直線CE的解析式為y＝﹣x+4．（2）過點P作PH∥y軸，交直線CE于點H，設(shè)P為（t，），則H為（t，﹣t+4），∴PH＝﹣（﹣t+4）＝﹣+2t，∴△PCE面積：S＝×6×（﹣+2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵a＜0，∴當(dāng)t＝3時，△PCE面積的最大值為9，此時，點P的坐標(biāo)為（3，3）．（3）∵拋物線＝，∴當(dāng)x＝1時，y有最大值，∴M（1，），∴拋物線對稱軸為x＝1，∴D（1，0），∵點D右移一個單位到點N，∴N（2，0），∵A（﹣1，3），N（2，0），∴直線AN解析式為y＝﹣x+2，∴直線AN與拋物線的交點為A（﹣1，3），另一交點設(shè)為Q，則Q（6，﹣4），∵拋物線沿射線NA平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點N（2，0），∴拋物線向左平移了4個單位，向上平移了4個單位，∴新拋物線y′＝，∴對稱軸為x＝﹣3，頂點G（﹣3，），設(shè)H（﹣3，h），則MG＝，MH＝，GH＝|h﹣|，假設(shè)△MGH是等腰三角形，則分三種情況討論：當(dāng)M為頂點時，由MG＝MH得，＝，∴h＝或，∴H（﹣3，）或（﹣3，），當(dāng)G為頂點時，由MG＝GH得，＝|h﹣|，∴h＝或，∴H（﹣3，）或（﹣3，），當(dāng)H為頂點時，由MH＝GH得，＝|h﹣|，∴h＝，∴H（﹣3，），∴存在點H，使得△MGH是等腰三角形，點H的坐標(biāo)為（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）或（﹣3，）．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線x2+bx+c與直線AB交于點A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作PM⊥AB交AB于點M，過點P作y軸的平行線交x軸于點N，求PM+PN的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將該拋物線先向左平移4個單位，再向上移3個單位，得到新拋物線y′，新拋物線y′與y軸交于點F，點M為y軸左側(cè)新拋物線y′上一點，過M作MN∥y軸交射線BF于點N，連接MF，當(dāng)△FMN為等腰三角形時，直接寫出所有符合條件的點M的橫坐標(biāo)．【分析】（1）將點A，B的坐標(biāo)代入拋物線組成方程組，解之即可；（2）根據(jù)OA＝OB可得△OAB是等腰直角三角形，所以∠OBA＝45°，設(shè)PN與AB交于點C，可得△BNC和△PMC是等腰直角三角形，則PM+PN＝PC+PN，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)拋物線的平移得出y′的拋物線，設(shè)出點M的坐標(biāo)，可表達(dá)點N的坐標(biāo)，則可表示FM，MN，F(xiàn)M的長，根據(jù)△FMN為等腰三