專題2.5 求代數(shù)式的值解題方法與技巧（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年七年級數(shù)學上冊全章復習與專題突破講與練（滬科版）

專題2.5求代數(shù)式的值解題方法與技巧（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】求代數(shù)式的值一般步驟1.代入：用指定的字母的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，其他的運算符號和原來的數(shù)值都不能改變；2.計算：按照代數(shù)式指明的運算，根據(jù)有理數(shù)的運算方法進行計算。特別說明：一般地，代數(shù)式的值不是固定不變的，它隨著代數(shù)式中的字母的取值的變化而變化?！局R點2】求代數(shù)式的一般方法1.直接代入法:用數(shù)值代替代數(shù)式中的對應字母,然后計算結果2.化簡求值法:先化簡代數(shù)式,再代入字母的值,然后進行計算3.整體代入法:當給出代數(shù)式中所含幾個字母之間的關系,不直接給出字母的值時,一般是把所要求的代數(shù)式通過恒等變形,轉化成為用已知關系表示的形式,再代入計算。七年級數(shù)學上冊第三單元主要學習了整式及其加減，這一單元在計算上較第二單元難度有所加大。下面整理了一些求代數(shù)式值的技巧，供師生參考使用?！究键c一】求代數(shù)式值的技巧【技巧一】巧用單項式的次數(shù)、系數(shù)和同類項概念求代數(shù)式的值【例1】已知是八次單項式，求代數(shù)式3a+3b-12的值．【答案】24【分析】：根據(jù)八次單項式的定義得到a+b﹣4=8，則a+b=12，將其整體代入所求的代數(shù)式進行求值．解：由題意得：a+b﹣4=8，則a+b=12，所以3a+3b﹣12=3（a+b）﹣12=24．【變式1】如果單項式與的和仍然是一個單項式，則等于（

）A．1 B．-1 C．2019 D．-2019【答案】A【分析】根據(jù)題意，可知單項式與是同類項，然后求出m、n的值，即可得到答案.解：∵單項式與的和仍然是一個單項式，∴單項式與是同類項，∴，，∴，∴；故選擇：A.【點撥】本題考查了求代數(shù)式的值，以及同類項的定義，解題的關鍵是利用同類項的定義求出m、n的值.【變式2】若－2anbm＋7與4a5bn的和仍為單項式，則mn－n-m＝．【答案】-57解：∵－2anbm＋7與4a5bn的和仍為單項式，，解之得，∴mn－n-m＝【技巧二】巧用多項式的次數(shù)、系數(shù)和同類項概念求代數(shù)式的值【例2】若多項式是關于x、y的三次三項式；單項式與單項式的次數(shù)相同，求代數(shù)式的值．【答案】100【分析】根據(jù)單項式和多項式的次數(shù)的定義可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，將代數(shù)式化簡后代入a和b的值計算即可．解：∵是關于x、y的三次三項式，∴2a+2=1，解得：a=，∵與的次數(shù)相同，∴b-1=2，解得：b=3，=100．【點撥】本題主要考查了單項式和多項式的次數(shù)的定義，代數(shù)式的值，掌握“單項的次數(shù)是每個字母的指數(shù)和，多項式的次數(shù)是次數(shù)最高項的次數(shù)”是解題的關鍵．【變式1】已知關于x的多項式是二次多項式，則a+b的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)該多項式是二次多項式，可知不含x的4次項，即4次項系數(shù)為0，可知，，代入代數(shù)式即可求得結果．解：由題意可知，，解得：，，∴，故選：A．【點撥】本題主要考查利用多項式的定義求參數(shù)，注意4次項系數(shù)為0．【變式2】如果關于的多項式與多項式的次數(shù)相同，則的值為．【答案】或【分析】分別利用當時，，以及當時，，進而求出即可．解：∵關于的多項式與多項式的次數(shù)相同，∴當時，，故，當時，，故，綜上所述：的值為或．故答案為：或．【點撥】此題主要考查了多項式的次數(shù)概念，代數(shù)式求值，正確分類討論得出n的值是解題關鍵．【技巧三】巧用同類項的概念求代數(shù)式的值【例3】若單項式與是同類項，則的值為．【答案】64【分析】先根據(jù)同類項的定義求出的值，然后化簡原式，把的值代入化簡后的原式求解即可．解：∵單項式與是同類項，∴，又∵∴原式．故答案為：64．【點撥】本題主要考查了整式的化簡求值以及同類項的定義，利用同類項的定義求出【變式1】已知單項式是同類項，若（其中），則（

）A．-3 B．3 C．5 D．10【答案】B【分析】根據(jù)同類項的定義和合并同類項的法則解答，同類項的定義是，所含的字母相同，相同的字母的指數(shù)也相同的項是同類項，合并同類項的法則是，只合并系數(shù)，字母和字母的指數(shù)都不變．解：∵單項式是同類項，∴n-1=5，n=6，∵∴m+3=0，m=-3，∴m+n=-3+6=3．故選B．【點撥】本題主要考查了同類項，解決問題的關鍵是熟練掌握同類項的定義及合并同類項的方法．【變式2】若與是同類項，其中互為倒數(shù)，求的值．【答案】【分析】根據(jù)同類項的定義及互為倒數(shù)，判斷出、的值，代入化簡后的整式中及可求解；解：根據(jù)題意，得：，，∴或，，又∵，互為倒數(shù)，∴，，∵當，時，原式【點撥】本題主要考查同類項的概念，倒數(shù)以及整式的化簡求值，掌握同類項的概念是解題的關鍵．【技巧四】巧用相反數(shù)求代數(shù)式的值【例4】當時，代數(shù)式的值為10，則當時，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】將代入代數(shù)式值為10，列出關系式，將代入所求式子，把得出的代數(shù)式代入計算即可求出值．解：將代入得：，即，當時，．【點撥】此題考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入的方法是解決問題的關鍵．【變式1】當時，代數(shù)式的值為，則當時，代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件得到，再由當時，進行求解即可．解：∵當時，代數(shù)式的值為，∴，∴，∴當時，，故答案為：．【點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，正確推出是解題的關鍵．【變式2】當時，代數(shù)式的值為16，則當時，這個代數(shù)式的值是（）A．0 B．-16 C．32 D．8【答案】A【分析】由當時，代數(shù)式的值為16，可得，再把代入代數(shù)式即可得到答案．解：當時，代數(shù)式的值為16，∴，∴，∴，當時，故選A．【點撥】本題考查的是求解代數(shù)式的值，添括號的應用，掌握“利用整體代入法求解代數(shù)式的值”是解本題的關鍵．【技巧五】巧用賦值法求代數(shù)式的值【例5】賦值法，又叫特值法，是數(shù)學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：，則：①取時，直接可以得到；②取時，可以得到；③取時，可以得到．④把②、③的結論相加，就可以得到，結合①的結論，從而得出．請類比上例，解決下面的問題：已知，求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，令，即可得到；（2）根據(jù)閱讀材料，令，即可得到（3）令，得；令，得，兩式直接求和即可得到答案．解：令，得；（2）解：令，得；（3）令，得①；令，得②；由①②得，結合（1）中，得．【點撥】本題主要考查代數(shù)式求值問題，讀懂材料，掌握賦值法，根據(jù)所給代數(shù)式選擇恰當?shù)奶厥庵?，利用整體思想求解是解題的關鍵．【變式】特殊值法，又叫特值法，數(shù)學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：，則（1）取時，直接可以得到；（2）取時，可以得到；（3）取時，可以得到；（4）把（2）、（3）的結論相加，就可以得到，結合（1）的結論，從而得出．請類比上例，解決下面的問題：已知：，求（1）___________；（2）的值；（3）的值．【答案】（1）8；（2）；（3）.【分析】（1）當x=2時，求得；（2）當x=3時，求得①，當x=1時，求得②，兩式聯(lián)立①+②即可求得；（3）根據(jù)第二問關系，兩式聯(lián)立①-②即可求得.解：（1）當x=2時，，故答案為：8；（2）當x=3時，可得①，當x=1時，可得②，①+②得：，∴，∴；（3）由（2）中，①-②得：，∴【點撥】本題考查代數(shù)式求值問題，合理理解題意，對代數(shù)式進行正確處理是解題的關鍵.【考點二】求代數(shù)式值的方法【方法一】直接代入法求值【例1】若，，，求的值．【答案】3【分析】先整理得到，再把，，，代入計算即可．解：，那么再把，，代入原式為，即，故答案為：3．【點撥】本題考查代數(shù)式的化簡再求值等運算內容，掌握準確的化簡方式是解題的關鍵．【變式1】如圖所示的是一個正方體的表面展開圖，折成正方體后相對的兩個面上的數(shù)都相等，求的值．【答案】【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征判斷“對面”，進而求出的值，再代入計算即可．解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“”與“”相對，“”與“2”相對，“”與“1”相對，得，，，∴，，，∴．【點撥】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確解答的前提．【方法二】間接代入法求值【例2】已知a、b是有理數(shù)，且滿足，求的值【答案】【分析】根據(jù)偶數(shù)次冪、絕對值的非負性求出a和b的值，再代入求解．解：，，，，，，，．【點撥】本題考查非負數(shù)的性質、求代數(shù)式的值，解題的關鍵是根據(jù)偶數(shù)次冪、絕對值的非負性求出a和b的值．【變式】若，均為有理數(shù)，且，的倒數(shù)是．求的值；若，求的值．【答案】(1)3或；(2)10【分析】（1）由題意得到與的值，代入求解即可得到答案；（2）根據(jù)得到與的值，再代入求解即可得到答案．解：由題意得：，，則或；（2）由題意得：，，∵，∴，∴，，則．【點撥】此題主要考查了求代數(shù)式的值，正確求得與的值是解題的關鍵．【方法三】整體代入法求值（整體思想）【例3】數(shù)學中，運用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．例如：已知，，則代數(shù)式．請你根據(jù)以上材料解答以下問題：(1)若，則_______；(2)已知，求代數(shù)式的值；(3)當時，代數(shù)式的值為5，則當，時，求代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)整體思想代入計算即可求解；（2）根據(jù)已知條件先求出的值，再整體代入到所求代數(shù)式中計算即可；（3）根據(jù)已知可得，再整體代入到所求代數(shù)式中計算即可．解：∵，即，∴；故答案為：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：∵當時，代數(shù)式的值為5，即，∴，∴當，時，．【點撥】本題考查了代數(shù)式求值、含乘方的有理數(shù)的混合運算，解本題的關鍵是運用整體代入思想．【變式】閱讀與思考：

根據(jù)理解，解決問題：【方法運用】（1）已知，求的值；【拓展應用】（2）若，，則代數(shù)式的值為．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）提因數(shù)，再整體代入求值即可；（2）將所求代數(shù)式化成含已知等式的形式，再代入求值即可．解：（1），∴，

，，

（2），，∴，，

，故答案為42．【點撥】此題考查了求代數(shù)式的值，解題的關鍵是整體思想的應用．【方法四】數(shù)形結合與分類討論求值（數(shù)形思想、分類討論）【例4】數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結論．初中數(shù)學里的一些代數(shù)恒等式，很多都可以借助幾何圖形進行直觀推導和解釋．請結合相關知識，解答下列問題：

(1)如圖1是由4個大小相同，長為a、寬為b的長方形圍成的邊長為的正方形，用含字母a，b的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．①通過計算陰影部分正方形的邊長，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：________；②通過用較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數(shù)式：________________；(2)根據(jù)圖1中的陰影部分的面積關系寫出一個代數(shù)恒等式：________________；(3)若，，求圖2中陰影部分的面積．【答案】(1)①；②；；(2)；(3)．【分析】（1）①根據(jù)題意，求得陰影部分正方形的邊長，即可求解；②求得大正方形的面積和四個小長方形的面積，即可求解；（2）由（1）即可得出恒等式；（3）利用正方形的面積減去三個直角三角形的面積得到陰影部分的面積，將，代入，即可求解．解：①由題意可得，陰影部分正方形的邊長為，則面積為，故答案為：②大正方形的面積為，四個長方形的面積為：，則陰影部分的面積為；故答案為：；（2）由（1）可得：，故答案為：（3）陰影部分的面積為：將，代入可得：原式．【點撥】此題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，解題的關鍵是通過不同方式求解出陰影部分的面積．【變式】（1）數(shù)形結合思