高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題4.7 等比數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題4.7等比數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的概念2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，所以=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是=(,q≠0).4．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=可以改寫為=，當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=的圖象上一些孤立的點(diǎn).5．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則

(1)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{}為擺動(dòng)數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號).6．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））在等比數(shù)列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．±2【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列定義兩式相除即可得出公比q.【解答過程】a2+a4=qa1+故選：A．【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an中，a2=116，aA．±4 B．±22 C．22【解題思路】用基本量a1【解答過程】由題意，設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為由a2=1可得a1q=116a故選：B.【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習(xí)（理））在等比數(shù)列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比中項(xiàng)，建立方程組，可得答案.【解答過程】設(shè)an的公比為q，由a2a4=64a3+a5=40故選：A.【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【解題思路】利用a3+a5=a1【解答過程】在等比數(shù)列an中，由6=q2所以，a1所以a1故選：D.【題型2等比中項(xiàng)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比中項(xiàng)的定義，即可得解.【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數(shù)列an中，a1=18，q=2，則aA．±4 B．4 C．?2 D．?4【解題思路】先通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算a4【解答過程】由已知a所以a4與a8的等比中項(xiàng)是故選：A.【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為2，則數(shù)列中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的等比中項(xiàng)為（

）A．32 B．?16 C．±32 D．±16【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比可得數(shù)列中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)，再根據(jù)等比中項(xiàng)的定義求解即可【解答過程】由題，該等比數(shù)列為4,8,16,32...，設(shè)第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的等比中項(xiàng)為x則x2=8×32=256，故故選：D.【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．4 B．??4 C．±4【解題思路】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求得.【解答過程】由已知得a2=2×8=16，∴故選:C.【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=1，a5=4，命題p:a3=2，命題q:a3是A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過程】因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，且a1=1，a5=4則a3是a1、a5若a3是a1、a5的等比中項(xiàng)，設(shè)an的公比為因?yàn)閍32=a1因此，p是q的充要條件.故選：A.【題型3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給數(shù)列的遞推關(guān)系，分析數(shù)列之間的規(guī)律關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·湖南·高二期中）正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a1=2，a3=8A．2n?1 B．2n C．2n+1【解題思路】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公比q，從而求得an【解答過程】因?yàn)閍n是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以q>0又因?yàn)閍1=2，a3=8，所以所以an故選：B.【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（文））在各項(xiàng)為正的遞增等比數(shù)列an?中，a1a2aA．2n+1? B．2C．3×2n?1? D．【解題思路】首先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求a1q2【解答過程】數(shù)列an?為各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為q?，且q>1∵a∴a∴a∵a∴4即4q2解得:q=2?∴a∴a故選：B.【變式3-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)和S3=12A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【解題思路】由a3=4和【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為qa1q2=4a所以an=4或故選：D.【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數(shù)列{an}中，a3=8,A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2n或12【解題思路】由已知，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得2q2?5q+2=0【解答過程】令公比為q，由題設(shè)有a2所以2q2?5q+2=(2q?1)(q?2)=0，解得q=所以an=a3q故選：C.【題型4等比數(shù)列的單調(diào)性】【方法點(diǎn)撥】判斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，從而判斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則a1q?1<0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由a1(q?1)<0，解得a1【解答過程】由已知a1(q?1)<0，解得a1>0q<1(q≠0)此時(shí)數(shù)列{a所以a1q?1<0若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，可得a1>0所以a1q?1<0所以“a1q?1<0故選：B.【變式4-1】（2022·遼寧·高二期中）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則anA．a(chǎn)1>0，q>1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1lgq>0【解題思路】分析可知q>0，分a1<0、a1【解答過程】因?yàn)閍n=a1qn?1，若①若a1<0，則對任意的n∈N?，an<0，由②若a1>0，則對任意的n∈N?，an>0，由所以，an為遞增數(shù)列的充要條件是a1>0，q>1或a1當(dāng)a1>0，q>1時(shí)，lgq>0當(dāng)a1<0，0<q<1時(shí)，lgq<0因此，數(shù)列an為遞增數(shù)列的充要條件是a故選：C.【變式4-2】（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列{an}的公比為q．若{anA．q<?1 B．?1<q<0 C．0<q<1 D．q>1【解題思路】根據(jù)題設(shè)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式確定公比q的范圍即可.【解答過程】由題意，an=a∴要使{an}當(dāng)0<q<1時(shí)，{a當(dāng)q>1時(shí)，{a故選：C.【變式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列an，下列選項(xiàng)能判斷an為遞增數(shù)列的是(A．a(chǎn)1>0，0<q<1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1<0，q=1 D．a(chǎn)【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【解答過程】對于A，a1>0，0<q<1，則對于B，a1>0，q<0，則an對于C，a1<0，q=1，則對于D，a1<0，0<q<1，∵a1q<0，y=q故選：D﹒【題型5等比數(shù)列的判定與證明】【方法點(diǎn)撥】只有定義法、遞推法(等比中項(xiàng)法)可用于證明等比數(shù)列，通項(xiàng)公式法與前n項(xiàng)和公式法只能用于小題中等比數(shù)列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項(xiàng)法)證明等比數(shù)列時(shí)要注意≠0.【例5】（2022·湖南省高二期中）在數(shù)列an中，a1=2(1)求證：an(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）結(jié)合等比數(shù)列的定義證得結(jié)論成立.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得正確答案.【解答過程】（1）依題意，數(shù)列an中，a1=2所以an所以數(shù)列an?1是首項(xiàng)為a1（2）由（1）得：數(shù)列an?1是首項(xiàng)為a1所以an【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1【解題思路】根據(jù)題意即可證明an+1+1=3an+1【解答過程】因?yàn)閍n+1=3a又a1所以數(shù)列1+a則an所以an【變式5-2】（2022·福建省高三階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=12(1)求證：數(shù)列bn(2)若cn=?nb【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）求得bn后可得cn，利用作商的方法得出c1【解答過程】（1）因?yàn)閎n+1bn所以bn是首項(xiàng)為1，公比為1（2）由（1）得bn=12當(dāng)n=1時(shí)，cn+1cn當(dāng)n≥2時(shí)，2n>n+1>0，cn+1cn<1，又所以c1=c【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{(1)證明數(shù)列{a(2)若a1=15，【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義分析即可.（2）由（1）可得{an+an+1【解答過程】（1）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足5an+2所以數(shù)列{an+（2）因?yàn)閍1=15，由（1）知數(shù)列{an+an+1所以an于是an+1又因?yàn)閍1所以an?(【題型6等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對于等比數(shù)列的運(yùn)算問題，可觀察已知項(xiàng)和待求項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度.【例6】（2021·廣西·高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，已知a3aA．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】用基本量a1【解答過程】在等比數(shù)列{an}中，a則a1故選：A.【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）己知在等比數(shù)列an中，a2a3aA．?2 B．±2 C．2 D．±【解題思路】先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到a3和a7，再根據(jù)a52=【解答過程】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2∴a3∴a5又a5與a3和∴a5故選：C．【變式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比數(shù)列{an}的公比q為整數(shù)，且a1+a4A．2 B．3 C．-2 D．-3【解題思路】由等比數(shù)列的性質(zhì)有a2?a3=【解答過程】因?yàn)閍1+a4=9所以a1=1，a4所以a2故選：A.【變式6-3】（2020·北京高二期中）等比數(shù)列{an}中，a