專(zhuān)題25二面角的常見(jiàn)求法（學(xué)生版）

專(zhuān)題25：二面角的常見(jiàn)求法<<<專(zhuān)題綜述>>><<<專(zhuān)題綜述>>>立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年各省、市的高考試題中幾乎都會(huì)出現(xiàn)此類(lèi)題型。其求解的策略主要有兩類(lèi)方法：其一是找出二面角的平面角進(jìn)行求解；其二是間接法：射影法，空間向量法等.在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.<<<專(zhuān)題探究>>><<<專(zhuān)題探究>>>題型題型一：定義法由二面角的定義，設(shè)法從棱上某一點(diǎn)O出發(fā)在兩個(gè)半平面內(nèi)都找到垂直于棱的射線(xiàn)OA和OB，則∠AOB就是二面角的平面角.例1(2022·新高考1卷19)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A【思路點(diǎn)撥】由題意得到△DAB?△DBC,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DB，則CH⊥DB，由二面角的定義得∠AHC為所求二面角的平面角，再計(jì)算二面角的余弦值從而得到所求的值練1(2022·浙江省溫州市期末)如圖，三棱錐A-BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時(shí)，求二面角C-AD-B的余弦值．

【思路點(diǎn)撥】由AD與平面BCD所成角確定正三角形ABC邊長(zhǎng)與CD長(zhǎng)的關(guān)系，再作二面角C-AD-B的平面角，借助余弦定理計(jì)算即可.題型二：題型二：垂面法垂面法：作一個(gè)與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線(xiàn)，交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角。用垂面法尋找面的垂線(xiàn)，切入點(diǎn)就是尋找面的垂面，然后由面面垂直得到線(xiàn)面垂直，垂面法是我們解決有關(guān)求點(diǎn)到平面的距離、直線(xiàn)和平面所成的角與二面角的重要方法之一。例2(2020·江蘇省南京市模擬)如果二面角α-l-β的平面角是銳角，空間一點(diǎn)P到平面α、β和棱l的距離分別為22【思路點(diǎn)撥】本題可借助已知條件構(gòu)造出經(jīng)過(guò)PA,PB的平面，再證明該平面與二面角的面的交線(xiàn)所成角即為二面角的平面角,分點(diǎn)P在二面角α-練2(2020·浙江省單元測(cè)試改編)設(shè)P是二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，P到面α、【思路點(diǎn)撥】經(jīng)過(guò)PA,PB的截面與棱l交于點(diǎn)C，由二面角平面角的定義知∠ACB就是所求的平面角.題型三：射影法題型三：射影法在沒(méi)有給出棱的二面角問(wèn)題中，可以根據(jù)題設(shè)條件先分別求出該二面角的一個(gè)面的面積及其射影的面積，再借助該面的面積與其射影的面積之間的關(guān)系S'=Scosθ（例3(2022·湖北省武漢市模擬)棱長(zhǎng)為a正方體ABCD-A1B1C1D1中，E【思路點(diǎn)撥】利用圖形在底面的射影圖形的面積之間的關(guān)系（即面積射影定理）進(jìn)行分析求解.練3(2022·安徽省合肥市模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1【思路點(diǎn)撥】此題屬無(wú)棱二面角問(wèn)題，圖中沒(méi)有二面角的棱，我們也可以去找到棱去解決，但這里通過(guò)射影而直接求角更方便.題型四：三垂線(xiàn)法題型四：三垂線(xiàn)法在二面角α-l-β中，若A∈α,B∈β且AB⊥β，則過(guò)點(diǎn)B作BO⊥l,由三垂線(xiàn)定理可證AO⊥l，即∠AOB就是二面角的平面角.例4(2021·新高考1卷20)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)E找出面BCD的垂線(xiàn)，就可以利用三垂線(xiàn)法找出二面角的平面角.練4(2013·新課標(biāo)2理科18)如圖,直棱柱ABC-A1B1CAA1=AC【思路點(diǎn)撥】可以證明DE⊥平面A1DC，因而過(guò)D作DF⊥A那么∠DFE為二面角D-題型五：補(bǔ)形法題型五：補(bǔ)形法當(dāng)一個(gè)幾何體不規(guī)則時(shí)，可以適當(dāng)補(bǔ)幾何體使得新的幾何體是特殊幾何體時(shí)，往往就容易解決問(wèn)題了例5(2006·江西省高考題改編)如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=3,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面求二面角B-AC【思路點(diǎn)撥】分析已知得到A,B,C,D是正方體的其中四個(gè)頂點(diǎn)，所以以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)長(zhǎng)度找到A點(diǎn)坐標(biāo),求出平面BAC和平面ACD的法向量,求出法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值,即二面角B-AC-練5(2023·安徽淮南市一模)在三棱錐S-ABC中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.若AB=2,SC=22，求平面與平面夾角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】三棱錐S-ABC中不易找到兩兩垂直的三直線(xiàn)，我們?cè)O(shè)法補(bǔ)成特殊幾何體，就容易建立空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題了.題型六：補(bǔ)角法題型六：補(bǔ)角法當(dāng)二面角的平面角為鈍角，可以求其補(bǔ)角，再利用定義法或三垂線(xiàn)法來(lái)找求二面角.例6(2004·福建省高考真題)在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M為AB的中點(diǎn)．求二面角S-CM-B的的【思路點(diǎn)撥】取CM的中點(diǎn)N，連接DN、SN，分析可知二面角S-CM-A的平面角為∠SND，通過(guò)解△SDN練6(2022·河北省模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，若AB=2，【思路點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化為求其補(bǔ)角，利用三垂線(xiàn)法作出二面角的平面角從而求解．顯然二面角A1-BC1題型七：空間向量法題型七：空間向量法若求一個(gè)二面角不容易使用定義法和三垂線(xiàn)法，又容易建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，則寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)然后求出兩個(gè)平面的法向量，再利用cosθ=a例7(2022·河南校考階段練習(xí))如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則該二面角的大小為（

）A．π6 B．π4 C．π【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的條件得CA?AB=0，AB例8(2020·全國(guó)1卷理科18)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD,△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66【思路點(diǎn)撥】二面角B-PC-E練7(2022·新高考2卷20)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)，∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．求二面角C-AE-B的正弦值.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳B⊥AC，因而以AB，AC分別為軸，軸，就可以建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系了.<<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>><<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>>1.(2022·廣東省梅州市模擬)已知點(diǎn)A、B分別在二面角α-l-β的兩個(gè)面α、β上,AC⊥l，BD⊥l，C、D為垂足，AC=BD=CD，若AB與l成60°角，則二面角α-l-β為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2022·貴州省貴陽(yáng)市聯(lián)考)二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線(xiàn)段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則平面α與平面β的夾角為

．3.(2020·浙江省十校聯(lián)考)已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)，則二面角M-AB-D的余弦值為

．4.(2020·江蘇省南京市模擬)在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線(xiàn)AC向上翻折，得到空間四邊形ABCD，若BD=62，則二面角D-AC-B的大小的余弦值為

5.(2023·廣東省深圳市聯(lián)考)如圖，三棱錐M-ABC中，△MAC是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，MB=4，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)N?平面ABC，點(diǎn)O，O?1分別為線(xiàn)段AB、MN的中點(diǎn)，且OO?1⊥(1)證明：BC⊥平面MAC；(2)證明：四邊形BCMN為矩形；(3)求平面MAC和平面NAB夾角的余弦值．6.(2023·湖北高三校聯(lián)考階段練習(xí))在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB⊥AA1，求平面B1BCC7.(2023·湖北省武漢市聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//DC，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，AD=DC=AP=2AB=2．(1)證明：BE//平面PAD;(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角F-AD-C的余弦值為1010，若存在，求出PF8.(2023·天津市期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°．

(1)證明AD⊥平面PAB；

(2)求異面直線(xiàn)PC與AD所成的角的正切值；

(3)9.(2023·江蘇省南京市模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AD⊥平面PCD，平面ADP⊥平面APC，PC=PD