中考數(shù)學重要考點題型精講精練人教版：專題08 相似三角形模型（專項突破）-原卷版

專項突破08相似三角形模型【思維導圖】◎突破一A字模型例．（2020·上海市徐匯中學九年級期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．專訓．（2021·全國·九年級課時練習）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）．◎突破二8字模型例．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．專訓．（2021·遼寧鞍山·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點E為射線BA上一動點，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α交BA延長線于點H，DE所在直線與射線CA交于點G．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：△ADH≌△CDG；（2）當α≠60°時，①如圖2，連接HG，求證：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，請直接寫出EG的長．◎突破三母子型例．（2021·吉林·長春市第五十二中學九年級階段練習）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．專訓．（2021·四川成都·九年級期中）如圖1，在菱形ABCD中，AC是對角線，AB＝AC＝6，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點O為線段CE中點，將線段EO繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EM，當構成等腰三角形時，請直接寫出AE的長．◎突破四旋轉(zhuǎn)型例．（2022·山東濟南·八年級期末）某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．專訓．（2022·重慶一中七年級期中）如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．◎突破五K字型例．（2022·河南開封·九年級期末）某數(shù)學興趣小組在學習了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．②當時，連接DG，請直接寫出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當時，求AM的長．專訓．（2021·浙江衢州·中考真題）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．◎突破六三角形內(nèi)接矩形例．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．專訓．（2019·吉林長春·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒（0＜t＜4）．（