新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題1　微重點(diǎn)5　不等式的綜合問題（含解析）

微重點(diǎn)5不等式的綜合問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

不等式是高考的必考內(nèi)容，作為解題的工具，常與函數(shù)、數(shù)列、平面向量、解析幾何等相結(jié)合，涉及最值、范圍、函數(shù)的性質(zhì)等等，旨在考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)二利用基本不等式求最值考點(diǎn)三不等式恒(能)成立問題專題強(qiáng)化練考點(diǎn)四不等式與其他知識交匯的最值問題內(nèi)容索引不等式的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)一(多選)(2022·江蘇七市調(diào)研)若a＞b＞0＞c，則例1√√√∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0，∵a>b>0>c，∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0，設(shè)y＝xc，當(dāng)c<0時(shí)，y＝xc在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∵a>b，∴ac<bc，故C錯(cuò)誤；∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，判斷關(guān)于不等式命題真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性質(zhì)推理判斷.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性.(4)特殊值驗(yàn)證法，特殊值法只能排除錯(cuò)誤的命題，不能判斷正確的命題.規(guī)律方法(2022·臨川模擬)若實(shí)數(shù)a，b滿足a6<a5b，則下列選項(xiàng)中一定成立的為

A.a<b

B.a3<b3

C.ea－b>1 D.跟蹤演練1√因?yàn)閍6<a5b，所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，顯然a≠0，所以a(a－b)<0，即一定成立的是選項(xiàng)D.利用基本不等式求最值考點(diǎn)二A.6 B.4 C.3 D.2例2√令2a－1＝m，b－1＝n，則m>0，n>0，∴m＋n＝2a＋b－2＝1，(2)(多選)(2022·新高考全國Ⅱ)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則

A.x＋y≤1

B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1√√解得－2≤x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時(shí)，x＋y＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，x＋y＝2，所以A錯(cuò)誤，B正確；解得x2＋y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝±1時(shí)取等號，所以C正確；但是x2＋y2≥1不成立，所以D錯(cuò)誤.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的條件(1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到.易錯(cuò)提醒

(1)(多選)(2022·遼陽模擬)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，則跟蹤演練2√√因?yàn)?<a<2，a－b＝a－(4－2a)＝3a－4∈(－4,2)，log2a＋log2b＝log2(ab)≤1，故B正確；(2)(2022·濰坊模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a2＋2ab＋4b2＝6，則a＋2b的最大值為√(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab，又∵a2＋2ab＋4b2＝6，∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab，∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8，不等式恒(能)成立問題考點(diǎn)三

已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＋3＝xy，若對任意滿足條件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.例3∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，∴x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，∴x＋y≥6.又正實(shí)數(shù)x，y有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得g(t)在[6，＋∞)上單調(diào)遞增，(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).(2)恒(能)成立問題，常見方法是分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.規(guī)律方法

(2022·泉州質(zhì)檢)關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為跟蹤演練3√不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，不等式與其他知識交匯的最值問題考點(diǎn)四

(2022·全國甲卷)已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.當(dāng)

取得最小值時(shí)，BD＝________.例4設(shè)BD＝k(k>0)，則CD＝2k.根據(jù)題意作出大致圖形，如圖.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC當(dāng)基本不等式與其他知識相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.規(guī)律方法

如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為

A.64π B.40πC.84π D.72π跟蹤演練4√設(shè)母線與底面的夾角為2α，底面半徑為R，內(nèi)切球半徑r＝3，圓錐的高為h，而0°<2α<90°，0°<α<45°，所以0<tanα<1,1－tan2α>0，又因?yàn)閠an2α＋(1－tan2α)＝1為定值，專題強(qiáng)化練1.(2022·宜賓質(zhì)檢)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為

A.(－∞，2)∪(3，＋∞)

B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)

D.(1,3)√1234567812345678令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立.∴x的取值范圍為(－∞，1)∪(3，＋∞).2.已知1>2a>，則下列結(jié)論不正確的是

√1234567812345678原不等式可化為2b<2a<20，因?yàn)閥＝2x在R上單調(diào)遞增，所以b<a<0，所以ab>a2，－b>－a>0，故A正確；(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故B正確；因?yàn)閥＝x3為增函數(shù)，所以b3<a3，故D錯(cuò)誤.3.(2022·常州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－1，當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，|f(x)|≤5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[1，＋∞) B.(－∞，4]

C.[1,4] D.(1,4]12345678√∵|f(x)|≤5?－5≤x2－ax－1≤5，①當(dāng)x＝0時(shí)，a∈R；12345678∴1≤a≤4.√12345678如圖，連接NF2，MF2，由對稱性可知，四邊形MF1NF2為平行四邊形，故|NF2|＝|MF1|，|NF1|＝|MF2|，令|NF2|＝|MF1|＝t，∴|NF1|＝2a＋t，12345678∴2at＋t2＝4. ①即4c2＝4a2＋6at＋3t2，

②由①②得c2＝a2＋3，12345678當(dāng)且僅當(dāng)a2＝1，即a＝1時(shí)等號成立.5.(多選)(2022·淄博模擬)已知2a＝3b＝6，則a，b滿足

√12345678√√12345678由2a＝3b＝6，則a＝log26，b＝log36，則a>0，b>0，123456786.(多選)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知{an}的公比為q，且a3＋a7＝16，則

A.a5>8

B.log2a2＋log2a8≤6C.若0<q<1，則a4＋a6<16

D.若q>1，則a4＋a6>16√12345678√12345678當(dāng)且僅當(dāng)a3＝a7＝8時(shí)，取等號，所以a5≤8，故A不正確；log2a2＋log2a8＝log2(a2a8)＝log2(a3a7)當(dāng)且僅當(dāng)a3＝a7＝8時(shí)，取等號，故B正確；a3＋a7－a4－a6＝a3(1－q)－a6(1－q)＝(a3－a6)(1－q)，12345678當(dāng)0<q<1時(shí)，{an}單調(diào)遞減，則a3－a6>0，(1－q)(a3－a6)>0，則a4＋a6<16；當(dāng)q>1時(shí)，{an}單調(diào)遞增，a3－a6<0，(1－q)·(a3－a6)>0，則a4＋a6<16，故C正確，D不正確.12345678令x＋3y＝m，x－y＝n，則m>0，n>0，m＋n＝2x＋2y≤4，123456788.(2022·煙臺模擬)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，三元二次方程所對應(yīng)的曲面統(tǒng)稱為二次曲面.比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，就是一種常見的二次曲面.二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑業(yè)等眾多領(lǐng)域應(yīng)