重難專題10 折疊問題（解析版）

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊重難點突破專題10折疊問題如圖，中，，沿折疊，使點B恰好落在邊上的點E處．若，則等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出可得答案．【詳解】解：在中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴．故選：A．如圖，將四邊形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在上的點Q處．折痕為；再將，分別沿、折疊，此時點C、D落在上的同一點R處，則的大小為°．【答案】30【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，由平角的性質(zhì)可得，，可證，由平行線的性質(zhì)可得，即可求解；【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：30如圖，將長方形紙片沿折疊后，點、分別落在、的位置，的延長線交于點．(1)如果，求的度數(shù)；(2)如果已知∠，則__________（用含的式子表示）(3)探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）由平行線性質(zhì)得到的度數(shù)，再由折疊性質(zhì)得到的度數(shù)，最后根據(jù)平角定義即可求出的度數(shù)；（2）由平行線性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到，根據(jù)外角性質(zhì)即可得到的度數(shù)；（3）由平行線性質(zhì)得到和，即可推出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：，，由折疊知，，；（2），，由折疊的性質(zhì)可得：，；（3），，，，．一、單選題1．如圖，在中，，，點是上一點，將沿線段翻折，使得點落在處，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直角三角形的兩個銳角互余求得，由，求得，再由翻折的性質(zhì)得，則．【詳解】解：，，，，，由翻折得，，故選：B．2．如圖所示，在長方形紙片中，點M為邊上的一點，將紙片沿，折疊，使點A落在處，點D落在處．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】解：，，由折疊的性質(zhì)得：，，，故選：A．3．如圖1，長方形中，E點在上，且．分別以、為折線，將A、D向的方向折過去，如圖2，若圖2中，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，由，進而得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，故選：D．

4．如圖，圖①是一個四邊形紙條，其中，分別為邊上的兩個點，將紙條沿EF折疊得到圖②，再將圖②沿折疊得到圖③，若在圖③中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)折疊和平行的性質(zhì)求出，再由三角形外角的性質(zhì)求出，結(jié)合折疊和平行的性質(zhì)求出，進而可求．【詳解】解：由折疊可知：，，，圖②中，圖③中，，，，故選：C．5．如圖，射線與射線平行，點F為射線上的一定點，作直線，點P是射線上的一個動點（不包括端點C），將沿折疊，使點C落在點E處．若，當點E到點A的距離最大時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)得，由，當點E在上時，點E到點A的距離最大，然后可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴當點E在上時，點E到點A的距離最大，如圖，

由折疊可知，，∴，故選B．6．如圖，中，，點D是邊上一點，連接，將沿所在直線折疊得到，點F是點A的對應(yīng)點，與交于點E，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，故，根據(jù)全等三角形的平時和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，，即可得到．【詳解】延長交于點，如圖：

∵是沿所在直線折疊得到的∴∴，，∴∴∴∴∴有∵∴故選項B正確故選：B．7．如圖，在四邊形紙片中，，將紙片折疊，使點、落在邊上的點、處，折痕為，則的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可求得：，，利用四邊形的內(nèi)角和求出，由補角的定義可求解．【詳解】解：由折疊可知：，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：D．8．如圖，長方形中將沿翻折至處，若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)長方形的性質(zhì)可證得，由翻折的性質(zhì)得，，可得，再由平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，可得，，再由三角形外角的性質(zhì)，可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是長方形，，，，由翻折得，，，，，，，，，故選：B．9．如圖，將四邊形紙片沿折疊，點A、D分別落在點、處．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)得出的度數(shù)，再由四邊形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．10．現(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個侻角折疊（如圖1），?點落在斜邊上的處，折痕與邊交于點．再將另一銳角折疘（如圖2），使也落在斜邊上，折痕與交于點，量得，則點到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過P作與M，根據(jù)將其一個銳角∠ABC折疊，使點A落在斜邊BC上的處，可得，根據(jù)將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，可得是的平分線，即可得，而已知，故，即點P到的距離為2．【詳解】過P作與M，如圖：∵將其一個銳角折疊，使點A落在斜邊上的處，，，∵將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，∴，即是的平分線，∵，∴，∵，∴，∴，即點P到的距離為2，故選：C．二、填空題11．如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，與的交點為G，點D、C分別折疊到點M、N的位置上，若，則．【答案】【分析】先根據(jù)四邊形是長方形，得出，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，最后求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，又∵與為內(nèi)錯角，，∴，故答案為：．12．如圖，將一張白紙一角折過去，使角的頂點落在處，為折痕，再將另一角斜折過去，使邊落在內(nèi)部，折痕為，點的對應(yīng)點為，設(shè)，，則的大小為°．【答案】20【分析】根據(jù)角平分線的定義去計算，的度數(shù)等于與的度數(shù)的和，然后根據(jù)平角的定義，找到等量關(guān)系，列出等式化簡即可．【詳解】解：根據(jù)翻折可知：，，將另一角斜折過去，使邊落在內(nèi)部，折痕為，，，，的大小為．故答案為：20．13．如圖，長方形紙片中，，，且，將長方形紙片沿直線翻折，使點C落在邊上，記作點N，再將沿直線向左翻折，使點D落在射線上，記作點P，若點N，P，A三點中有一點是另外兩點的中點，則的值為．【答案】3或【分析】分兩種情況討論，利用折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵將長方形紙片沿直線翻折，∴，將沿直線向左起折，當點D落在線段上時，如圖，

∴，∵點P是的中點，∴，∴，∴；當點D落在線段的延長線上時，如圖，

∴，∵點A是的中點，∴，∴，∴，故答案為：3或．14．如圖，點N是四邊形的邊上一點，沿折疊四邊形，使點C落在邊上的點M處，再沿，折疊這個四邊形，若點A，D恰好同時落在上的點P處，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，可知，進一步可得得度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及同旁內(nèi)角互補兩直線平行得出，從而可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，，進一步可得的度數(shù)．【詳解】根據(jù)折疊得性質(zhì)，可得，，由折疊可知，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，故答案為：．15．折紙是一項有趣的活動，如圖所示，一張長方形紙片，先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后若，則．【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由平角定義得到，由軸對稱的性質(zhì)得到：，，，求出，由直角三角形的性質(zhì)求出，由對頂角的性質(zhì)得到，即可求出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，由題意得：，，，，，，．故答案為：．16．如圖，在四邊形中，，E、F分別是、上的點，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，交于點G，若有兩個相等的角，則．【答案】或【分析】根據(jù)題意有兩個角相等，于是有三種情況，分別令不同的兩個角相等，利用折疊的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和列方程，最后綜合得出答案．【詳解】解：分三種情況：（1）當時，設(shè)，則，，在四邊形中，由內(nèi)角和為得：，∵，∴，解得：；（2）當時，，在四邊形中，由內(nèi)角和為得：，得，顯然不成立，即此種情況不存在；（3）當時，同理有：，∵，∴，解得：；綜上分析可知，的度數(shù)為：或．故答案為：或．17．如圖，在長方形中，E點在上，并且，分別以、為折痕進行折疊壓平，如圖，若圖中，則的度數(shù)為．【答案】【分析】求的大小只需根據(jù)折疊規(guī)律、平角知識和角的和差求出大小即可．【詳解】解：折疊后的圖形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．18．如圖，是長方形紙片的對角線，E、F分別是邊上的點，連接，將紙片沿翻折，使得A、B的對應(yīng)點分別是，且點在的延長線上，與相交于點G，連接，若恰好平分，且，則的度數(shù)為°．【答案】135【分析】由折疊可知，，推出，所以，在四邊形中，，推出，所以，進而求出．【詳解】解：由折疊可知，，∵，∴，∴，在四邊形中，，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題19．如圖，在中，點D是邊上的一點，將沿折疊得到，與交于點F．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，比大，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形的外角即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進而求出，再根據(jù)題意求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵沿折疊得到，∴，∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵沿折疊得到，∴，∴，∴，∵比大，，∴，∴，∴，∴．20．如圖1，一張三角形紙片，點D，E分別是邊上兩點．研究（1）：如果沿直線折疊，使點A落在上的點處，則與的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）【分析】研究（1）：翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論．研究（2）：圖2中與是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補角的性質(zhì)可得結(jié)論．研究（3）：圖3中由于折疊與是相等的，再兩次運用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵沿直線折疊，使點A落在上的點處，∴，∵∴．故答案為：．（2）．理由：在四邊形中，，∴∵，∴∴，∵是由沿直線折疊而得，

∴，∴；故答案為：．（3）．理由：交于點F，

∵，∴，∴，∵是由沿直線折疊而得，∴∴，∴．21．已知是一張三角形的紙片．(1)如圖①，沿折疊，使點落在邊上點的位置，與的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(2)如圖②所示，沿折疊，使點落在四邊形的內(nèi)部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(3)如圖③，沿折疊，使點落在四邊形的外部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，解答即可；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角的定義，用、表示出和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列式整理，即可得解；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，列式整理，即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵點沿折疊落在點的位置，∴，∵是的外角，∴，∴；（2）解：，理由見如下：∵點沿折疊落在點的位置，∴，，∴，，在中，，∴，整理得：；（3）解：，理由如下：如圖，

∵點沿折疊落在點的位置，∴，∵，，∴，即．22．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點，沿折疊，點落在點的位置．(1)如圖①．點落在四邊形的內(nèi)部，探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，點落在邊的上方，設(shè)與交于點，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．不需要說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)量關(guān)系：．理由：過點作，交于點，交于點，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系；（2）過點作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，，之間的數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點作，交于點，交于點，∴，∵，∴，∴，∴，∵沿折疊，點落在點的位置，∴，∴，∴，，之間的數(shù)量關(guān)系是：．（2）過點作，∴，∵，∴，∴，∵沿折疊，點落在點的位置，∴，∴，即：，∴，，之間的數(shù)量關(guān)系是：．23．圖①為長方形紙帶，將長方形紙帶的端沿折疊成圖②，點折至、點折至，(1)若，則圖．中的度數(shù)是多少？(2)將紙帶的端沿折疊成圖③，點折至，點折至，若，用表示．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)長方形的對邊是平行的，所以；在四邊形中，，即可得出；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴由對折可知：，在四邊形中，，；（2）解：時，與（1）同理，，，則，∴．當∵，，∴由對折可知：，在四邊形中，，∵，，∴．綜上所述或24．在七下的學習中，我們研究了雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線的夾角問題，昆昆同學在自主探究的過程中又發(fā)現(xiàn)了一類新的問題，他的探究過程如下：【探索研究】：（1）如圖1，在中，平分、平分，相交于點M，若，則______；【初步應(yīng)用】：（2）如圖2，在中，平分、平分，相交于點M，若將沿折疊使得點A與點M重合，若，求的度數(shù)；【拓展延伸】：（3）在四邊形中，，點P在射線上運動（點P不與C，D兩點重合），連接，的角平分線交于點Q，若，，直接寫出和，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）當點P在點D左側(cè)時，；當P在D、C之間時，【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；（2）先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到，進而求出，同（1）即可得到答案；（3）當點P在點D左側(cè)時，當P在D、C之間時，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，即，∴，故答案為：；（2）由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴同（1）原理可得，故答案為：；（3）當點P在點D左側(cè)時，如圖3-1所示，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴；

當P在D、C之間時，如圖3-2所示：同理可得，，∴；

綜上所述，當點P在點D左側(cè)時，；當P在D、C之間時，．25．在直角三角形ABC中，，點D，E分別在上，將沿翻折，得到．(1)如圖①，若，則______；(2)如圖②，的平分線交線段于點G.若，求證．(3)已知，的平分線交直線于點G.當?shù)钠渲幸粭l邊與平行時，直接寫出的度數(shù)（可用含的式表示）．【答案】(1)40；(2)見解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，設(shè)，則，根據(jù)翻折得出，再求出，即可得出結(jié)論；（3）分情況：①當，②當，③當，④當時，在的下方，⑤當時，在的下方，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案為：40；（2）解：∵的平分線交線段于點G，∴，∵，設(shè)，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①當，如圖①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；②當，如圖②所示：

∴，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；③當，如圖③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∵，∴；④當時，在的下方，如圖④所示：

∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∴；⑤當時，在的下方，如圖⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分線交線段于點G，∴，∴；綜上所述，或或或．26．如