19.5 角的平分線（解析版）

19.5角的平分線會(huì)作一個(gè)角的平分線,能區(qū)別角的平分線與三角形的角平分線的異同點(diǎn).掌握角的平分線的性質(zhì)和判定,會(huì)應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問(wèn)題.通過(guò)作三角形的角平分線，了解三條角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí).知識(shí)點(diǎn)一作已知角的平分線用尺規(guī)作已知角的平分線已知:∠AOB.求:∠AOB的平分線.作法:如圖所示(1)以點(diǎn)0為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C(3)畫(huà)射線OC,射線OC即為所求.作圖依據(jù)構(gòu)造，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,找到角的平分線.注意：(1)畫(huà)“射線OC”不能敘述為“連接OC”因?yàn)榻堑钠椒志€是一條射線，而不是線段(2)兩弧的交點(diǎn)應(yīng)在角的內(nèi)部找,因?yàn)橐鞯氖墙堑钠椒志€即學(xué)即練閱讀并填空．已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：如圖所示，

①以點(diǎn)_________為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)_________，_________為圓心，大于_________的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C；③畫(huà)射線_________．射線OC即為所求．上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個(gè)方法是_________．【答案】①O；②M

N

12MN

OC【分析】根據(jù)角的平分線基本作圖步驟完成填空即可．【詳解】解：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB③畫(huà)射線OC．射線OC即為所求．上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個(gè)方法是SSS，故答案為：O；M，

N，

12MN，

OC；【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，熟練掌握角的平分線的基本作圖是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等書(shū)寫(xiě)格式提示:(1)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù),不需要再通過(guò)證全等三角形得到相等線段;(2)已知角的平分線及其上一點(diǎn)到角一邊的垂線段,常添加輔助線由角平分線上的已知點(diǎn)向另一邊作垂線段，即構(gòu)造“角的平分線性質(zhì)”的基本圖形,得到相等的兩條垂線段.即學(xué)即練1如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列結(jié)論：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③連接DE，則∠AED=135°．其中正確的結(jié)論有．

【答案】①②③【分析】①根據(jù)HL證明△ADC≌△BDF；②由△ADC≌△BDF，得到角相等，從而推出BE⊥【詳解】解：∵在Rt△ADC與Rt△BDF中，∴Rt△∴∠DAC=∵∠DAC+∴，∠CBE+∴∠BEC=90∴BE⊥如圖，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE，過(guò)點(diǎn)D作

∵Rt△∴S△∵S△ADC=12∴DG=DH，∵DG⊥BE，DH⊥∴DE是∠BEC∵∠BEC=90∴∠BED=45∴∠AED=90故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查幾何問(wèn)題，涉及到角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．即學(xué)即練2如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BC，CA的垂線，可得OD=OE=OF，從而可證S△ABO:【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BC，CA的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，D，E，

由角平分線的性質(zhì)定理得：OD=OE=OF，∵△ABC的三邊AB，BC，CA∴==AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三角平分線性質(zhì)定理的逆定理1.逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上2.書(shū)寫(xiě)格式如圖所示,即學(xué)即練1如圖，點(diǎn)B、C分別在∠A的兩邊上，點(diǎn)D是∠A內(nèi)一點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF,BD=CD．求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．【答案】見(jiàn)解析【分析】證明Rt△CDF≌【詳解】證明：∵DE⊥∠DEB=∵BE=CF,BD=CD，∴Rt△∴DE=DF，∵DE⊥∴點(diǎn)D在∠BAC【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得到Rt△知識(shí)點(diǎn)四三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等即學(xué)即練（2018秋·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：PA平分∠MAN．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】作PD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．【詳解】證明：作PD⊥BC于點(diǎn)D，∵BP是△ABC的外角平分線，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理，PN=PD，∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【點(diǎn)睛】考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型一利用角平分線的性質(zhì)解決線段問(wèn)題例1如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，若AB=12cm，則△DBE的周長(zhǎng)等于

【答案】12cm【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC，AC=AE，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90∴DE=DC∵AD=AD∴△∴AC=AE∵AC=BC∴BC=AE∴△DEB的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12cm故答案為：12cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．舉一反三1在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，∠BAC的平分線與∠CBD的平分線交于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H．

(1)如圖1，當(dāng)∠C=80°時(shí)，求∠E的度數(shù)．(2)如圖2，連接CE，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AG，垂足為M，求證：BC=CM+BF；【答案】(1)40(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的外角定理即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC于點(diǎn)【詳解】（1）解：∵∠BAC的平分線與∠CBD的平分線交于點(diǎn)∴∠∵∠②×2-①得，故∠E的度數(shù)為40（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC于點(diǎn)

∵∠BAC的平分線與∠CBD的平分線交于點(diǎn)E，EF⊥∴EF=EI,EF=EM∴EI=EM∵EI⊥BC，∴CE平分∠BCM，∵CE=CE∴Rt∴CI=CM同理可證：BI=BF，BC=CI+BI=CM+BF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線得出全等三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·上海浦東新區(qū)?？计谀┤鐖D1，AD是∠BAC的角平分線，P為AD上任意一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．

(1)垂線段PM、PN是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，求BDDC(3)如圖3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，AD交BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)D，當(dāng)AB=5，AC=3時(shí)，求BC與CD的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)PM=PN；(2)53(3)23【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知∠MAP=∠NAP（2）由（1）得：DE=DF，利用等面積即可求出S△ABDS（3）同（2）理可以求出BDCD=AB【詳解】（1）垂線段PM、PN相等，理由：∵AD是∠BAC∴∠MAP=∵PM⊥AB，∴∠AMP=∵AP=AP，∴△AMP∴PM=PN；（2）∵DE⊥AB，∴由（1）得：DE=DF，設(shè)點(diǎn)A到BC得距離為h，∴S△則有BDCD（3）如圖，過(guò)DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，過(guò)A作

由（1）得：DE=DF∴S△則有BDCD=AB∴BCCD【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型二利用角平分線的性質(zhì)證明角之間的關(guān)系例2（2023秋·北京海淀·八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，若∠A=56°，則∠BOC=．【答案】118°【分析】根據(jù)到三邊的距離相等得到點(diǎn)O是角平分線的交點(diǎn)，即可得到∠OBC+【詳解】∵∠A=56∴∠ACB+∵點(diǎn)O到三邊的距離相等，∴點(diǎn)O是角平分線的交點(diǎn)，∴∠OBC+∴∠BOC=180故答案為：118°【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定以及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用；得到點(diǎn)O是三角形角平分線的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．舉一反三1如圖，已知DB⊥AE于點(diǎn)B,DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°，則∠DGF=．

【答案】150°【分析】先根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上得到AD是∠BAC的平分線，求出∠【詳解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥∴AD是∠BAC∵∠BAC=40∴∠CAD=20∴∠DGF=故答案為：150°【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵．舉一反三2在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，我們遇到這樣一個(gè)題目：“如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD，求證：∠B+∠ADC=180°．”結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以分析如下：首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造相等線段，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后結(jié)合補(bǔ)角的知識(shí)使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)根據(jù)上述的思路，完成題目的證明

【答案】見(jiàn)解析【分析】分別過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，CN⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CM=CN，利用HL證明Rt△【詳解】解：證明：分別過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，CN⊥

∵AC平分∠BAD∴CM=CN，∵BC=CD，∴Rt△∴∠B=∵∠CDN+∴∠B+【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．題型三角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例3如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)，若要求油庫(kù)到三條公路的距離都相等，則滿(mǎn)足條件的油庫(kù)的位置有（

）

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫(kù)的位置在角平分線的交點(diǎn)處，依此畫(huà)出圖形，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三條公路兩兩相交，要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，

∴油庫(kù)在角平分線的交點(diǎn)處，畫(huà)出油庫(kù)位置如圖所示．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮粔K三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，三條公路把A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，現(xiàn)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（

）

A．三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四角平分線的判定的應(yīng)用例4已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠A=α．(1)如圖①，若∠A=50°，求∠BOC的度數(shù)．

圖①(2)如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC.

圖②(3)如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，求證：OC⊥PC．

圖③【答案】(1)115(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和先求出∠ABC與∠ACB的和，再根據(jù)角平分的定義求出∠OBC（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，想到過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，（3）根據(jù)角平分的定義求出∠OCP=90【詳解】（1）解：∵∠A=50∴∠ABC+∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)∴∠OBC=12∴∠OBC+∴∠BOC=180（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為

∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC，∴OD=OE，OD=OF∴OE=OF∴OA平分∠（3）證明：∵OC平分∠ACB，CP平分∴∠ACO=12∴∠====90°∴OC【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長(zhǎng)線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且

(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD【答案】(1)40°(2)見(jiàn)解析(3)15【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，進(jìn)而得到（2）如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可得EM＝EH、（3）根據(jù)S△ACD=【詳解】（1）解：∵∠ACB=100∴∠ACD=180∵EH⊥∴∠CHE=90∵∠CEH=50∴∠ECH=90∴∠ACE=（2）證明：如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，

∵BE平分∠ABC∴EM＝∵∠ACE=∴CE平分∠ACD∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF（3）解：∵AC+CD=14，∴S△即12×14∵AB=10，∴S△【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=1③∠APC=90°-1④S△APM其中結(jié)論正確的是（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】作PD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)論；先根據(jù)四邊形內(nèi)角和，得出∠MPN=180°-∠ABC，再證明Rt△AMP【詳解】解：①作PD⊥AC于點(diǎn)∵BP平分∠ABC，PM⊥∴∵AP平分∠EAC，PM∴PM=PD∴PN=PD∴點(diǎn)P在∠ACF∴CP平分∠②∵BP平分∠ABC，CP平分∴∠ABC=2∠PBC∵∠ACF=∠ABC+∴∠ABC+∴2∴∠BAC=2∴∠BPC=③∵PM⊥AB∴∠AMP=∵∠ABC+∴∠MPN=360∵PM=PN=PD在Rt△AMP和AP=APPM=PD∴Rt同理可證，Rt△∴∠APD=∠APM=∴∠APC=④∵Rt△∴S△AMP∴S綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形外角的定義，四邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型五角平分線的性質(zhì)在開(kāi)放探究題型中的應(yīng)用例5已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于點(diǎn)E，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，BE與CD交于點(diǎn)O．(1)如圖1，求證：∠BOC=90°+1

(2)如圖2，連接OA，求證：OA平分∠BAC．

(3)如圖3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠OBC=12∠ABC，∠（2）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，證明（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OF平分∠BOC交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，證明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分線的性質(zhì)得出∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE【詳解】（1）證明：∵BE平分∠ABC，CD平分∴∠OBC=12∵∠ABC+∴∠ABC+∵∠BOC+∴∠=180=180=180=180=90°（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，

∵BE平分∠ABC，CD平分∴OM=ON，ON=OK∴OM=OK∴點(diǎn)O在∠BAC∴OA平分∠（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OF平分∠BOC交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC于N

∵∠BAC=60∴∠BOC=90∴∠BOD=∵OF平分∠∴∠BOF=∴∠BOF=∠BOD∵BE平分∠ABC，CD平分∴∠OBF=∠OBD在△BOF和△∠OBF=∴△BOF∴BF=BD=4在△COF和△∠OCF=∴△COF∴CF=CE=2∴BC=BF+CF=4+2=6∵S△BOD∴OD【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖（1），點(diǎn)C、點(diǎn)D在直線l1上，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l2上，且l1∥l2，連接AC、

(1)請(qǐng)?jiān)趫D（1）中，找出三對(duì)面積相等的三角形：；(2)利用（1）中的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①將圖（1）中的△ABC、△ABD進(jìn)行以下操作：第一步，分別復(fù)制△ABC、△ABD，粘貼，如圖（2）所示的△A1B第二步，先將圖（2）中的△A1B1C、△A2B2D的頂點(diǎn)若直線A2B2與A1B1相交于點(diǎn)E，連接②如圖（4），折線型小路P﹣M﹣Q，將四邊形ABCD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管理，要將折線型小路P﹣M﹣Q改為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)生改變．請(qǐng)你在圖（4）中畫(huà)出直線型小路PN（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡(jiǎn)單說(shuō)明作圖的關(guān)鍵步驟）．【答案】(1)△ABD和△ABC；△ACD和△BCD(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩條平行線之間的距離相等，即可可得出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)D分別作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于②連接PQ，過(guò)點(diǎn)M做PQ的平行線交BC于點(diǎn)N，則PN為所求的直路，根據(jù)兩條平行線之間的距離相等，可得S△【詳解】（1）解：∵l1∴l(xiāng)1、l設(shè)l1、l2間的距離為∴S△ABC=12AB?∴S△ABC=∴S△∴S△故答案為：△ABD和△ABC；△ACD和△BCD；（2）①證明：過(guò)點(diǎn)D分別作DG⊥A1B1于G

根據(jù)題意可知A1B1=A∵△A1B1C的面積=∴12∴DG=DF，∵DG⊥A1∴CE平分∠A②解：步驟：連接PQ，過(guò)點(diǎn)M做PQ的平行線交BC于點(diǎn)N，則PN為所求的直路．如圖：

證明：∵PQ∥∴S△∴S甲=S∴甲、乙的面積前后不發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的判定，四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握兩條平行線之間的距離相等，利用面積法求解．舉一反三2在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD，AE⊥BD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)是，∠【分析】（1）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠（3）∠AFG=45°，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD【詳解】（1）解：證明：如圖1，在△ACE和△∵AC=BC∠∴△ACE∴∠1=∠2∵∠3=∴∠BFE=∴AE（2）成立，證明：如圖2，∵∠ACB=∴∠ACB+∴∠BCD=在△ACE和△AC=BC∠∴△ACE∴∠1=∠2∵∠3=∴∠BFA=∴AF（3）∠AFG=45如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為∵△ACE∴S△ACE∵SS△∴CM=CN∵CM⊥BD∴CF平分∠∵AF∴∠BFE=90∴∠EFC=45∴∠AFG=45【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACE一、單選題1．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校俚浇堑膬蛇吘嚯x相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；②有兩條邊和第三條邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩條邊和第三條邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判斷定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；②有兩條邊和第三條邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故該說(shuō)法正確；③有兩條邊和第三條邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等，故該項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定定理，正確理解判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（

）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，即可求解．【詳解】解：由點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，則點(diǎn)是的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．3．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交的兩邊于、兩點(diǎn)，連接；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于線段的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，連接、；③連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．．【答案】D【分析】利用基本作圖可知，為的平分線，又，可得出，從而可得出；由，得出垂直平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出；根據(jù)已知條件不能判斷．【詳解】解：由作圖步驟可得：是的角平分線，則，又∴，∴，，故A正確；∵，∴垂直平分，則，，故B，C選項(xiàng)正確，沒(méi)有條件能得出，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖-作已知角的角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖的步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2021秋·上海青浦·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，是的角平分線，若，，則點(diǎn)到的距離為．

【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)，，求得即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

，是的角平分線，，，，，，點(diǎn)到的距離為，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．5．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知：中，平分交于D，，則D點(diǎn)到的距離是．【答案】15【分析】先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴．∵平分交于D，∴D點(diǎn)到的距離是15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，，M為邊BC上的點(diǎn)，連接AM，如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，先求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證ME=MF，然后利用面積法求解即可．【詳解】解：設(shè)AC的中點(diǎn)為B'，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，∵將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)B'處，∴∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB'=3，∵點(diǎn)恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，∴AC=6，∵∠BAM=∠CAM=45°，ME⊥AC，MF⊥AB，∴ME=MF，∴S△ABC=AB?AC=?（AB+AC）?ME，∴ME=2，所以點(diǎn)M到AC的距離是2，故答案為為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用面積法求ME的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海閔行·八年級(jí)上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，的平分線交于點(diǎn)，，且，如果點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，從而有，再利用線段中點(diǎn)即可得出答案．【詳解】∵CD平分，．，，，．∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】依據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)構(gòu)造EF⊥AD，從而得出EC=EF．再通過(guò)E是BC的中點(diǎn)，得出EF=EB，最終得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E為BC的中點(diǎn)，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)及判定方法，能熟記并運(yùn)用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，并以此判定角平分線是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·上海閔行·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)H．①請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，試用含有x的式子表示的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，理由見(jiàn)解析；②．【分析】（1）根據(jù)，，得，從而；（2）①由角平分線的性質(zhì)知，由（1）知，則，再利用證明，得，即可證明；②由等腰三角形的性質(zhì)可得，可證，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：①，理由如下：∵平分，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，得到是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是一條角平分線．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是的角平分線，且，，_________________，（_________________________________________）______________，，(2)【類(lèi)比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：(3)【拓展應(yīng)用】如圖3所示，在中，，、分別是、的角平分線且相交于點(diǎn)，若，直接寫(xiě)出的值是__________．【答案】(1)，角平分線的性質(zhì)；(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式以及角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作于N，過(guò)點(diǎn)D作于M．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P．利用角平分線的性質(zhì)及等面積法證明即可；（3）在上取點(diǎn)G，使得，連接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性質(zhì)及前面的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，∴（角平分線的性質(zhì)）∴，又∵，∴，故答案為：，角平分線的性質(zhì)；；（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作于N，過(guò)點(diǎn)D作于．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P．∵平分，∴．∴，，∴；（3）在BC上取點(diǎn)G，使得，連接，∵分別是的角平分線且相交于點(diǎn)D，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴是的角平分線，∴，在與中，，