高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試概念集錦

1、平面幾何基本要求：掌握高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補(bǔ)充要求：面積和面積方法。梅涅勞斯定理（Menelaus'theorem）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1托勒密定理:指圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。西姆松定理:有三角形ABC，平面上有一點(diǎn)P。P在三角形三邊上的投影（即由P到邊上的垂足）共線（此線稱為西姆松線,Simsonline）當(dāng)且僅當(dāng)P在三角形的外接圓上。幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。（1）對(duì)于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時(shí)E為費(fèi)馬點(diǎn)。（2）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。幾何不等式。簡(jiǎn)單的等周問(wèn)題。等周定理，又稱等周不等式，是一個(gè)幾何中的不等式定理，說(shuō)明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長(zhǎng)以及其面積之間的關(guān)系。其中的“等周”指的是周界的長(zhǎng)度相等。等周定理說(shuō)明在周界長(zhǎng)度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個(gè)說(shuō)法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長(zhǎng)度最小。解釋：不完全凸的封閉曲線的話，能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周長(zhǎng)不變一個(gè)狹長(zhǎng)的圖形可以通過(guò)“壓扁”來(lái)變得“更圓”，從而使得面積更大而周長(zhǎng)不變。了解下述定理：在周長(zhǎng)一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長(zhǎng)一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長(zhǎng)最小。在面積一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。幾何中的運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)方法:由于復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以許多平面幾何問(wèn)題,特別是涉及規(guī)則圖形(如正多邊形、等腰直角三角形、矩形、圓等)的幾何問(wèn)題,都可以通過(guò)建立坐標(biāo)系,利用復(fù)數(shù)方法求解。向量方法平面凸集、凸包及應(yīng)用凸集實(shí)數(shù)R（或復(fù)數(shù)C上）在向量空間中，集合S稱為凸集，如果S中任兩點(diǎn)的連線內(nèi)的點(diǎn)都在集合S內(nèi)。對(duì)歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。

點(diǎn)集Q的凸包（convexhull）是指一個(gè)最小凸多邊形，滿足Q中的點(diǎn)或者在多邊形邊上或者在其內(nèi)。右圖中由紅色線段表示的多邊形就是點(diǎn)集Q={p0,p1,...p12}的凸包。2、代數(shù)在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對(duì)值的函數(shù)的圖像。三倍角公式sin3α=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3α=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三角形的一些簡(jiǎn)單的恒等式，三角不等式。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(定理)，有的規(guī)律，它只適用于簡(jiǎn)單多面體。常用的歐拉公式有復(fù)數(shù)函數(shù)e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr，

物理學(xué)公式F=fe^ka等。歐拉公式，特殊的：分式分式里的歐拉公式：a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0當(dāng)r=2時(shí)值為1當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c三角公式三角形中的歐拉公式：設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：d＾2=R＾2-2Rr拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)棣莫佛定理，把復(fù)數(shù)用三角式（具體參見(jiàn)復(fù)數(shù)）表示：

c=r(cosa+isina)

或者表示為：

r(cos+isina)的n次方根＝n次根號(hào)下{r×[cos((a+2k)/n)+isin((a+2kπ)/n)]}其中k=0,1,2...n-1單位根，單位根的應(yīng)用。單位根（unitroot）設(shè)n是正整數(shù)，當(dāng)一個(gè)數(shù)的n次乘方等于1時(shí)，稱此數(shù)為n次“單位根”。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n次單位根有n個(gè)。例如，1、－1、i、－i都是4次單位根。確切的說(shuō)，單位根指模為1的根，一般的x^n=1的n個(gè)根可以表示為:x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i，其中:k=0,1,2,..,n-1，i是虛數(shù)的單位。圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡(jiǎn)單的組合恒等式。從n個(gè)不同元素中不重復(fù)地取出m（1≤m≤n）個(gè)元素在一個(gè)圓周上，叫做這n個(gè)不同元素的圓排列。如果一個(gè)m-圓排列旋轉(zhuǎn)可以得到另一個(gè)m-圓排列，則認(rèn)為這兩個(gè)圓排列相同。計(jì)算公式：n個(gè)不同元素的m-圓排列數(shù)為

n!/[(n-m)!*m]特別地，當(dāng)m=n時(shí)，n個(gè)不同元素作成的圓排列總數(shù)為

（n-1）！。一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理。簡(jiǎn)單的初等數(shù)論問(wèn)題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無(wú)窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。高斯函數(shù)的形式為：其中a、b與c為實(shí)數(shù)常數(shù)，且a>0.c^2=2的高斯函數(shù)是傅立葉變換的特征函數(shù)。這就意味著高斯函數(shù)的傅立葉變換不僅僅是另一個(gè)高斯函數(shù)，而且是進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)的標(biāo)量倍。費(fèi)馬小定理(FermatTheory)是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，其內(nèi)容為：假如p是質(zhì)數(shù)，且Gcd(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（modp）。即：假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個(gè)公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。歐拉函數(shù):在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱為Euler'stotientfunction、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等。例如φ(8)=4，因?yàn)?,3,5,7均和8互質(zhì)。孫子定理:若某數(shù)x分別被d1、、…、dn除得的余數(shù)為r1、r2、…、rn，則可表示為下式：x=R1*r1+R2*r2+…+Rn*rn+R*D其中R1是d2、d3、…、dn的公倍數(shù)，而且被d1除，余數(shù)為1；（稱為R1相對(duì)于d1的數(shù)論倒數(shù)）R1、R2、…、Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍數(shù)，而且被dn除，余數(shù)為1；D是d1、d2、…、的最小公倍數(shù)；R是任意整數(shù)（代表倍數(shù)），可根據(jù)實(shí)際需要決定；且d1、d2、d3…、dn必須互質(zhì)，以保證每個(gè)Ri(i=1,2，…，n)都能求得.（注：因?yàn)镽1對(duì)d1求余為1，所以R1*r1對(duì)d1求余為r1，這就是為什么是R1對(duì)d1求余為1的目的，其次，R2*r2,R3*r3…Rn*rn對(duì)d1求余都是0）無(wú)窮遞降法是證明方程無(wú)解的一種方法。其步驟為：假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個(gè)更小的解Y。從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無(wú)解。同余是數(shù)論中的重要概念。給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩個(gè)整數(shù)a和b滿足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就稱整數(shù)a與b對(duì)模m同余，記作a≡b(modm)。對(duì)模m同余是整數(shù)的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。用歐幾里德算法（輾轉(zhuǎn)相除法）求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。

先將其中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，如果余數(shù)為0，則其中較小的數(shù)就是所求的最大公約數(shù)，如果余數(shù)不為0，就用較小的數(shù)再去去除以余數(shù)，再看余數(shù)是否為0，這樣一直做下去，直到余數(shù)為0為止，此時(shí)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。

例：48,64

64÷48=1……16

48÷16=3

所以16即為48和64的最大公約數(shù)。3、立體幾何多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。正多面體，歐拉定理。[3]體積證法。截面，會(huì)作截面、表面展開(kāi)圖。4、平面解析幾何直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表示的區(qū)域。三角形的面積公式。圓錐曲線的切線和法線。圓的冪和根軸。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有PA·PB=PC·PD定義：圓冪（稱為P點(diǎn)對(duì)圓O的冪）符號(hào)：圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。[1]合），則有考慮經(jīng)過(guò)P點(diǎn)與圓心O的直線，設(shè)PO交⊙O于M、N，R為圓的半徑，則有根軸：在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。5、其它抽屜原理。桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的“抽屜原理”。抽屜原理的一般含義為：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有n+1或n+(n-1)個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里有兩個(gè)元素。”抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿巢原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。容斥原理。在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意無(wú)一重復(fù)，無(wú)一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。極端原理。直接抓住全體對(duì)象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質(zhì)加以研究、解決問(wèn)題的思想方法稱為極端性原則。集合的劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理定理的內(nèi)容托勒密(Ptolemy)