2023年安徽省蚌埠市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年安徽省蚌埠市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={x|y=/〃（1-2x）},B={x|y=Vx+2},則AC1B=（）

1111

A.[-2,-）B.[-2,-]C.[0,-）D.[0,-J

2.若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z=l-i（i是虛數(shù)單位），則z=（）

11.11.11.11.

A.一5+B.一弓一5/C.———zD.—+—i

22222222

3.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國(guó)際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)人職業(yè)

生涯發(fā)展同國(guó)家社會(huì)需要緊密結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生到祖國(guó)最需要的地方建功立業(yè).2019年該

校畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)

就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根

據(jù)如圖，下列說法不正確的是（）

A.博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

第1頁(yè)共22頁(yè)

4.已知向量Q,b為相互垂直的單位向量，若c=-b,則向量Q與向量c的夾角為()

7171

AA.一可nBC.一D.-

."I63

5.將《傲慢與偏見》《巴黎圣母院》等六本不同的國(guó)外名著按如圖所示的方式豎放在一起,

則《傲慢與偏見》放在最前面或最后面的不同放法共有()

La—,

?余&

3?

A.120種B.240種C.200種D.180種

6.已知等差數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和為S〃,公差為3,若成等比數(shù)列，則S5=()

A.9或13B.13C.15或35D.35

7.若3sin2a-2sin2a=0,則cos(2a+*)=()

V2

-7/2

A-或-B.-C.D.

2Io2

x—1

8.已知函數(shù)/(冗)=/〃春7+〃sinx+2,且/(機(jī))=5,則/(-/%))

A.-5B.-3C.-1D.3

9.若正數(shù)x,y滿足x+2y-2盯=0,則x+2y的最小值為()

A.9B.8C.5D.4

10.已知點(diǎn)4(今，0)在函數(shù)f(x)=cos(a)x+(p)(a)>0,a)GZ,0<(p<n)的圖象上，直

線x=S是函數(shù)八X)圖象的一條對(duì)稱軸.若八X)在區(qū)間合電內(nèi)單調(diào)，則<p=()

7TTC2JF57T

A?-B?-C.—D.—

6336

11.Vxe(0,+8),不等式恒成立，則”的最大值為()

A.-2B.0C.e'2-1D.-In3

12.根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光

線的反向延長(zhǎng)線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分

該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問題：已知Q,放分別是雙曲線C：x2-^=1

的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)尺發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)A(xo,2)反射后，反射光線

第2頁(yè)共22頁(yè)

為射線AM,則的角平分線所在的直線的斜率為()

L汽EL

A.-V3B.一殍C.一D.V3

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(正一白)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

14.已知拋物線x=2p)2上的點(diǎn)A(2,2),則A到準(zhǔn)線的距離為.

15.已知四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是梯形，Q.AD//BC,ADA,DC,AD=2DC=2CB

=4,AP±PD,PA=PD,PC=2V2,AQ的中點(diǎn)為E,則四棱錐P-BCDE外接球的表

面積為?

16.已知函數(shù)/(x)=sinA'+|sin2x+|sin3x,給出下列四個(gè)命題：

①2n是函數(shù)/(X)的一個(gè)周期；

②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③函數(shù)f(X)的圖象過點(diǎn)(TT,0)；

④函數(shù)/(X)為R上的單調(diào)函數(shù).

其中所有真命題的序號(hào)是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)己知函數(shù)/(x)=；-2cosxcos(x+$,在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,且/'(C)=1.

(I)求C；

(II)點(diǎn)。為AB邊中點(diǎn)，且CD=b.給出以下條件：①a=2；②c=2遮(cVb).

從①②中僅選取一個(gè)條件，求人的值.

第3頁(yè)共22頁(yè)

18.(12分)為迎接2022年國(guó)慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國(guó)知識(shí)問答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)

抽取五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答

錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問題的概率為1，

2

答錯(cuò)的概率為3回答完5個(gè)問題后，記甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為X.

(1)求P(X=7)；

(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

第4頁(yè)共22頁(yè)

19.(12分)如圖，圓錐的頂點(diǎn)為S,AB是底面圓。的直徑，C是圓0上異于A、8的一

點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，平面SOOD平面SBC=/,SO=OA=1.

(1)求證：/〃BC；

(2)若/與AB所成的角為60°,求/與平面S3。所成角的正弦值.

第5頁(yè)共22頁(yè)

xy

20.(12分)己知為(-1,0),Fi(1,0)是橢圓E-.—+—=l(a>8>0)的左，右焦

點(diǎn)，尸是E上一點(diǎn)，PFdPF2,△P1PP2的面積為3.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過尸2作兩條互相垂直的直線與E分別交于A,B和C,D,若M,N分別為AB和

C。的中點(diǎn).證明：直線用N恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

第6頁(yè)共22頁(yè)

21.（12分）已知函數(shù)（1+1）,znGR.

（1）設(shè)x=0是，（x）的極值點(diǎn)，求〃2,并討論了G）的單調(diào)性；

（2）若m=4,證明/G）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：矯-15.15）

第7頁(yè)共22頁(yè)

四、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，4(4,￡),2(2也?CQa,竿)，2(4,竽),

弧就弧死，弧麗所在圓的圓心分別是(2,?(2,0),(2,第，曲線Ci是弧加

曲線C2是弧能，曲線C3是弧前，曲線C：f(p,9)=0(0^e<2ir)由Ci,Cl,Ci

構(gòu)成.

(I)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求曲線C與直線0=￡(06/?)所圍成圖形的面積；

(II)若點(diǎn)M在曲線C上，且10Ml=2a，求點(diǎn)M的極坐標(biāo).

D

第8頁(yè)共22頁(yè)

［選修4?5：不等式選講］

23.函數(shù)/(x)=|工|+|冗-1|的最小值為在

(1)求加；

(2)設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=〃z,證明：ab+bc+ca>y/3abc.

第9頁(yè)共22頁(yè)

2023年安徽省蚌埠市高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.己知集合A={x[y=/〃(1-2x)},B={x\y=V%+2},貝4nB=()

1111

A.[-2,-)B.[-2,-]C.[0,-)D.[0,-]

【解答】解：由1-2r>0得xV}???A={x|xV'},

由"220得xN-2,：.B={x\x^-2),

1

：.AnB=[x\-2<x<^},

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)2z=l-j(，是虛數(shù)單位)，則2=()

111111

A.一4~TyfB.__iziC._—_j

222222

【解答】解：z(l+z)2=1-i,

.*.2zi=l-i,

：.-2z=i(1-?)=l+i,

.11.

??z=~2~21)

故選：B.

3.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國(guó)際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)人職業(yè)

生涯發(fā)展同國(guó)家社會(huì)需要緊密結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生到祖國(guó)最需要的地方建功立業(yè).2019年該

校畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)

就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根

據(jù)如圖，下列說法不正確的是（）

第10頁(yè)共22頁(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

【解答】解：對(duì)于A,由圖中的數(shù)據(jù)可知，在北京就業(yè)的博士生就業(yè)率為52.1%>50%,

故選項(xiàng)A正確;

21.9%x2971+39.6%x2527+52.1%xl467

對(duì)于B,畢業(yè)生在北京的就業(yè)率為

2971+2527+1467

34.7%<50%,故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)為3.2%X2527=81人，到四川省就業(yè)的博士畢

業(yè)生人數(shù)為3.7%X1467=54<81,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)總?cè)藬?shù)的比例為

3.O%X2971+5.6%X2527+4.2%X1467

----------------------------------------------------=4.2%,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

2971+2527+1467

故選：D.

4.已知向量Zb為相互垂直的單位向量，若"=百友-b,則向量；與向量工的夾角為（）

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量；與向量之的夾角為。,

貝力留=(V3a-b)2—4,則面=2,

a*c=a*(y/3a-b)=>/3,

第11頁(yè)共22頁(yè)

則cos0=f)=辱

klkl2

又由owewm則e=[,

O

故選：c.

5.將《傲慢與偏見》《巴黎圣母院》等六本不同的國(guó)外名著按如圖所示的方式豎放在一起,

則《傲慢與偏見》放在最前面或最后面的不同放法共有（)

A.120種B.240種C.200種D.180種

【解答】解：排《傲慢與偏見》，有2種排列方法，其它任意排，

故《傲慢與偏見》故在最前面或最后面的不同放法共有：2席=240種，

故選：B.

6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S”,公差為3,若“2,。1+。3,。6成等比數(shù)列，則S5=()

A.9或13B.13C.15或35D.35

【解答】解：等差數(shù)列｛〃”｝的公差d為3,前一項(xiàng)和為品，

由“2,ai+6(3,。6成等比數(shù)列,可得a2a6=(ai+a3)2?

即(ai+3)(ai+15)=(2ai+6)2,解得ai=l或ai=-3,

若m=-3,則。2=0,不合題意，舍去；

則m=l,得55=5X1+5X.3=35.

故選：D.

7.若3sin2a-2sin2a=0,則cos(2a+*)=()

&7；2D742「V2

AA?2或一河-iyC'_15政2D-2

【解答】解：*/3sin2a-2sin2a=0>

.".3sinacosa-sin2a=O,即sina(3cosa-sina)=0,

.,.sina=O或tana=3,

第12頁(yè)共22頁(yè)

7T7171y/2

*.*cos(2a+4)=cos2acos4—sin2asin4=玄(cos2a-sin2.cc),

cos(2a+4)=￥(1—2sin2a—2sinacosa)=冬

:.當(dāng)sina=0時(shí),

c口4zo兀、\/2,cos2a—sinza-2sinacosa/2A—tania—2tana.

當(dāng)tana=3口寸，cos(2a+T)=(----------「--------n----------)x=>(-----；---------------)=

4，2'sin2a-]-cos2a)2'14-tan2a7

7/2

一討.

故選：A.

x—1

8.已知函數(shù)/(x)^+asirtr+2,且/(機(jī))=5,則/(-加)=()

A.-5B.-3C.-1D.3

%—I

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)+原版+2,

—%—1%—1

貝!J/(-x)=ln--------+〃sin(-x)+2=-In-------—asinx+2,

'-x+1x+1

則有f(x)4/(-X)=4，

故/(加)4/(-zn)=4,

若/(zn)=5,則/(-nz)=-L

故選：C.

9.若正數(shù)尤，y滿足x+2y-29=0,則x+2y的最小值為()

A.9B.8C.5D.4

【解答】解：由x+2y-2xy=0,得x+2y=2xy,

11

所以石+廠

所以(x+2y).l=(x+2y).(/+3=2+^+?22+2^x?=4,

當(dāng)且僅當(dāng)成=爭(zhēng)哈+:j即》=2,y=l時(shí)取等號(hào),

故選：D.

10.已知點(diǎn)4（今，0）在函數(shù)/（x）=cos（a）x+（p）（a）＞0,wEZ,0＜（p＜n）的圖象上，直

線％=看是函數(shù)/（X）圖象的一條對(duì)稱軸.若/（X）在區(qū)間（Q當(dāng)內(nèi)單調(diào)，則＜p=（)

7T7157T

A.B.D.

636

TC7171T71471n

【解答】解：由題意得，--=->-=—，得—<一,得u)24,

624842a)2a)8

第13頁(yè)共22頁(yè)

12n7tn

一?—N———,.,.0)^6.

2Ci)36

綜上可得，4Wo)W6.

又u)WZ,當(dāng)3=4時(shí)，cos(4e—4-(p)=0,得(p=Ki+與，依Z,

24J

又OVcpVn,所以(p=E，

此時(shí)，直線A看是函數(shù)fG)=cos⑷+引的圖象的一條對(duì)稱軸，

所以<p=*

當(dāng)co=5時(shí)，cos(5x2^4~(p)=0,可得(p=Zm+keZ,

又0V(p<n,所以年=分，

此時(shí)，cos(5x1+g)不是最值，故直線產(chǎn)卷不是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸.

當(dāng)0)=6時(shí)，cos(6x蕓+(p)=0,得<p=Zni+%長(zhǎng)Z,

又0<(pVn,所以<p=?

此時(shí),cos(6x蕓+專)=0,不是最值，

所以直線冗=看不是函數(shù)fG)的圖象的一條對(duì)稱軸.

綜上，可得3=4,(p=

故選：B.

11.VA*G(0,+8),不等式_x_/71V2〃恒成立，則〃的最大值為()

A.-2B.0C.e'2-1D.-加3

【解答】解：原不等式可化為F+底-3-(口隊(duì)”3)-1^67+2,

構(gòu)造"(/)=ef-r-1,H'(r)=e'-l,令--1=0,可得，=0,fVO時(shí)，Hr(力

<0,f>0時(shí)，H'Ct)>0,

所以〃(0)=0是函數(shù)的最小值，所以“(力20,

當(dāng)且僅當(dāng)f=0時(shí)等號(hào)成立，

/=1+或-3有零點(diǎn)，所以〃+2W0.

故選：A.

12.根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光

第14頁(yè)共22頁(yè)

線的反向延長(zhǎng)線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分

該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問題：己知尸2分別是雙曲線C:/一展=1

的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)放發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)4（xo.2）反射后，反射光線

為射線AM,則/尸MM的角平分線所在的直線的斜率為（）

A.-V3B.一浮C.-D.V3

33

【解答】解：由己知可得A（xo,2）在第一象限，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：x1,解得x。=遮，所以A（b，2）,

又由雙曲線的方程可得。=1,b=&,所以c=g,則F2（遮，0）,

所以|AF2|=2,且點(diǎn)A,F2都在直線戶次上，又|。尸J=|OF2|=V3,

所以tan/FiAF2=與梨==百，所以/尸14尸2=60°,

“213

1

設(shè)//2AM的角平分線為AN,則4F2AN=（180°-60°）x*=60°,

所以直線AN的傾斜角為150。，

所以直線的斜率為tan150°=-冬

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（代-表）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-20.（用數(shù)字作答）

【解答】解：（衣一卷）6的展開式的通項(xiàng)公式為T*=C1（-1）”工

令3-r=0,求得，=3,可得其中的常數(shù)項(xiàng)為-底=-20,

故答案為：-20.

14.已知拋物線x=2py2上的點(diǎn)A（2,2）,則A到準(zhǔn)線的距離為

【解答】解：拋物線x=2p），2上的點(diǎn)4（2,2）,

可得片作，所以拋物線方程為：丫2=級(jí)，準(zhǔn)線方程為mJ

則A到準(zhǔn)線的距離為：

2

故答案為：

15.已知四棱錐P-ABCO中，底面ABC。是梯形，S.AD//BC,ADA.DC,AO=2DC=2CB

=4,APYPD,PA=PD,PC=2V2,AD的中點(diǎn)為E,則四棱錐P-BCDE外接球的表

第15頁(yè)共22頁(yè)

28兀

面積為

-3-

【解答】解：易知平面PBE，平面ABCC,則aPBC為直角三角形,

：.PB=2,設(shè)球心為0,。到面8CDE的距離為〃，球的半徑為r,

2

則產(chǎn)=魚+九2,產(chǎn)=(遮一%)2+1,

解得產(chǎn)=z

所以：S=47TX《=竽.

故答案為：等.

16.已知函數(shù)/(x)=sinx+/sin2x+gsin3x,給出下列四個(gè)命題：

①2n是函數(shù)/(X)的一個(gè)周期；

②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③函數(shù)f(X)的圖象過點(diǎn)(TT,0)；

④函數(shù)/(X)為R上的單調(diào)函數(shù).

其中所有真命題的序號(hào)是①②③.

【解答】解：函數(shù)/(無)=sin.r+|sin2x+|sin3x,

1111

對(duì)于①：/(X+2TT)=sin(x+2n)+)si7i(2x+4江)+^sin(3x+6TT)=sia￥+[S譏2%+方訪31

=/(x),故函數(shù)的最小正周期為2m故①正確；

1111

對(duì)于②：函數(shù)/(-x)=sin(—%)+2$譏(一2%)+可5譏(一3%)=-siar—尹也2%—2sin3x

=-fCx)故函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；

11

對(duì)于③：當(dāng)x=ii時(shí)，f(n)=sinn+sm27r4-^sin37r=0,故③正確；

11

對(duì)于④：由于/(x)=sinx+2SiM2x+@sin3x,所以/(x)=cosx+cos2r+cos3x,由于，

(x)恒大于0或恒小于0,不一定恒成立，故④錯(cuò)誤.

故選：①②③.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

1"JT

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=5-2cosxcos(x+g),在△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別

第16頁(yè)共22頁(yè)

為〃，b,c,且/(C)=1.

(I)求c；

(II)點(diǎn)。為AB邊中點(diǎn)，且CO=夕.給出以下條件：①。=2；②c=2a(cVb).

從①②中僅選取一個(gè)條件，求6的值.

【解答】解：(I)V/(x)=^—2cosxcos(x4-^)=1-2cosx(cosxcos^—sinxsin

/O.211A/3.1+COS2X,11?c71.

yJ3sinxcosx—cosx+]=-^sinOlx-------%------2=~2~sin^xo一o=sin(2x—q),

/./,(C)=sin(2C-^)1,

V0<C<7T,C坐,

.,.TO<2TO<O

,?2C-2G--2'cC-~-3f

(II)若選①。=2,

VCD=*(%+&),/.CD2=1(C712+2C71-CF+CF2),

7=(h2+4b?cos^4-4),

解得力=4或b=-6(舍去),.*.&=4；

若選②c=2百，(c</?),

由c1=b2+a2-2abcosC,

22

得：i2=a+h-abf

由(1)得CD=\夜2+\2+時(shí),

所以次+廬=20,ah=S,解得：或｛，二3

由c<b,得b=4.

18.(12分)為迎接2022年國(guó)慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國(guó)知識(shí)問答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)

抽取五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答

錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問題的概率為

答錯(cuò)的概率為|,回答完5個(gè)問題后，記甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為X.

⑴求P(X=7)；

(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)當(dāng)X=7時(shí)，則甲答對(duì)了2個(gè)問題，答錯(cuò)了3個(gè)問題，

第17頁(yè)共22頁(yè)

所以P(X=7)=Cl.4)3.(1)2=患；

(2)由題意可得，X的可能取值為5,6,7,8,9,10,

所以P(X—5)=($5=2^'

P(X=6)=小(7[=翁；

P(X=7)=*(|)3.(射=第

P(X=8)=告(金2.(33=翡;

P(X=9)=廢*(獷=%

尸(X=10)=(35=右.

所以X的分布列為：

X5678910

P32808040101

243243243243243243

ML/V、32：801r80,4010「八120

故E(X)=5X243+6x市+7x南+8ox胸+9x弗+l°x奔=3

19.(12分)如圖，圓錐的頂點(diǎn)為S,AB是底面圓。的直徑，C是圓。上異于A、3的一

點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，平面SODA平面SBC=/,SO=OA=1.

(1)求證：/〃8C；

(2)若/與AB所成的角為60°,求/與平面SB。所成角的正弦值.

C

【解答】(1)證明：因?yàn)椤Ｊ茿C的中點(diǎn)，。是A8的中點(diǎn),

所以O(shè)D//BC,

又0￡>u平面SOD,BCC平面SOO,

則BC〃平面SOD,

又BCu平面SBC,平面SOOC平面SBC=l,

第18頁(yè)共22頁(yè)

所以/〃BC；

(2)解：由/〃BC且/與A8所成的角為60°,則/ABC=60°,

所以△O3C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4(0,-1,0),8(0,1,0),C號(hào),0),5(0,0,1),D(亨,0),

所以4=(0,1,-1),防=(空,0),

設(shè)平面S3。的法向量為￡=(x,y,z),

L-(y—z=0

則,骨=0,即乃5

Vn-50=0(Tx-4y=0

令x=5,則y=z=V5,

故￡=(5,V3,V3),

因?yàn)?〃BC,則/的一個(gè)方向向量為品=(瞪，一，0),

品|二2乃二2回

所以|cos<h,BC>\=

向訪IX同31

XV

20.(12分)已知Fi(-1,0),F2(1,0)是橢圓E-.—+77=l(a>b>0)的左，右焦

點(diǎn)，尸是E上一點(diǎn)，PF\LPF2,△F1PF2的面積為3.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過F2作兩條互相垂直的直線與E分別交于A,B和C,D,若M,N分別為AB和

CD的中點(diǎn).證明：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

第19頁(yè)共22頁(yè)

【解答】(1)解：由F1(-1,0),F2(1,0)得：/1放|=2,c=l,

2

1PF/2+\PF2\=4

由題意得：■2仍&|?IPF2I=3，則有4J=16,解得：。=2,

JPFil+|PF2|=2a

y2

又。2=戶+。2,人=次，，橢圓片的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一+—=1.

43

(2)證明：當(dāng)直線/］和，2斜率存在時(shí)，設(shè)直線/1方程為y=&(x-1),

交橢圓E兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(xi,yi),B(X2,”)，

(y=々(％T)

由卜2y2,

(T+T=1

得：(3+4斤)7-8必x+4必-12=0,...無i+x2=8k夕,則用(-必,

3+4fc23+4fc2

VAX/2,將上式中的人換成一工同理可得：N(」^,

3+4fc2*4+3fc2,即kW±l時(shí),

-3k3k

-2"-21k=21-k_7一k

12(/C4-1)-12/_1_4k,2-1

3+4/4+3k,

化簡(jiǎn)得：y=:/當(dāng)(x-分此時(shí)直線MN恒過定點(diǎn)g,0),

4A

若丁K=即人=±1時(shí)，直線MN斜率不存在，則直線也過點(diǎn)0)；

當(dāng)直線/1或/2斜率不存在時(shí)，其中一條直線為x=1,另一條為y=0,直線MN過點(diǎn)6,0)；

綜上所述：直線恒過定點(diǎn)(；，0).

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=/-m?l〃(x+1).wGR.

(1)設(shè)x=0是/(x)的極值點(diǎn)，求加，并討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若〃?=4,證明/G)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(參考數(shù)據(jù)：^15.15)

【解答】解：(1)因?yàn)槭?)=蜻一號(hào)，x=0是/(X)的極值點(diǎn)，

所以r(0)=e。-揩=0,解得加=1,即/''。)=〃一備，

又因?yàn)檠?必與丫=—擊在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,

即/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+°°)上單調(diào)遞增.

第20頁(yè)共22頁(yè)

(2)因?yàn)楫?dāng)m=4時(shí)，f'(x)=