概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系及概率-摸球問題

概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系②取自然數(shù)的時(shí)候，有1.4.1伽瑪分布的定義定義1.4如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為就稱作服從伽瑪分布，記為且的值均大于0.為伽瑪分布的形狀參數(shù)，為其尺度參數(shù).當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，亦嚴(yán)格單調(diào)減，且時(shí)有當(dāng)時(shí)，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸；當(dāng)時(shí)，先下凸再上凸，最后下凸.而且隨著的增大，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù).1.4.2伽瑪分布的可加性定理1.4.1設(shè)隨機(jī)變量且和彼此獨(dú)立，則證明知且與彼此獨(dú)立，所以此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！如正態(tài)分布，對(duì)于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場合的卷積公式對(duì)其可加性進(jìn)行證明，詳見文獻(xiàn)[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函數(shù)柯西分布是幾個(gè)常見的連續(xù)分布之一.它的密度函數(shù)為時(shí)的柯西分布密度函數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布密度函數(shù)，即為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對(duì)于柯西分布的數(shù)學(xué)期望和方差，因所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學(xué)期望與方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1設(shè)隨機(jī)變量且彼此獨(dú)立，則有證明因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是又因彼此獨(dú)立，所以這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！1.6卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定義及密度函數(shù)定義1.6[7]設(shè)獨(dú)立同分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)圖像.它的圖像隨著自由度的增加而逐漸趨于對(duì)稱，當(dāng)自由度時(shí)，其圖像趨于正態(tài)分布的圖像.這也從另一個(gè)側(cè)面告訴我們，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對(duì)應(yīng)了不同的卡方分布.由1.6.1，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個(gè)特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即定理1.6.1[5]設(shè)且彼此獨(dú)立，則有證明由卡方分布的定義，設(shè)且彼此獨(dú)立.則有，從從卡方分布的定義，因此即證！2具有可加性的概率分布間的關(guān)系2.1二項(xiàng)分布的泊松近似[4]當(dāng)?shù)娜≈岛艽髸r(shí)，二項(xiàng)分布的計(jì)算是令人頭疼的.這里介紹了泊松分布的一個(gè)十分有用的特性，我們可利用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種特殊近似，即二項(xiàng)分布的泊松近似.下面我們來看泊松定理，當(dāng)取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項(xiàng)分布的計(jì)算量.定理2.1[8]（定理)在重伯努利試驗(yàn)中，記事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為它與試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，若當(dāng)時(shí)，有即則對(duì)任意給定的（為非負(fù)整數(shù)），有證明設(shè)則有所以由已知有，則對(duì)于給定的值，有且；所以有即證！因定理的條件之一為所以在二項(xiàng)分布的計(jì)算中，若值很大，的值卻很小，且的大小適中時(shí)（一般認(rèn)為當(dāng)且時(shí)），二項(xiàng)分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來做近似，即有此即為二項(xiàng)分布的泊松近似，而且的值應(yīng)盡可能的大，這樣計(jì)算結(jié)果才能更精確.二項(xiàng)分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率很?。┑难芯恐?，大量實(shí)例表明，一般情況下概率時(shí)，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（）極限定理）設(shè)隨機(jī)變量（），則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有證明因隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以可看做是個(gè)相互獨(dú)立的且服從于同一參數(shù)的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的和，即而且根據(jù)中心極限定理，有定理得證！中心極限定理說明，相當(dāng)大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率的計(jì)算服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的計(jì)算.也就是說，二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似計(jì)算.比如，在比較大的時(shí)候的計(jì)算量時(shí)十分大的.根據(jù)中心極限定理，因近似服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，或者說是近似服從于分布，也就是說對(duì)于有我們只需查一下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以求出我們需要的相當(dāng)精確的值.但是，當(dāng)較大或者較小時(shí)近似效果可能差一些，利用公式時(shí)的值最好滿足另外，因二項(xiàng)分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在我們實(shí)際的應(yīng)用中，為減小誤差，常常使用來替換式.2.3正態(tài)分布與泊松分布之間的關(guān)系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我們可以知道，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來做近似，同樣也可以用正態(tài)分布來近似.所以，從某個(gè)方面來說，泊松分布與正態(tài)分布也具有某種近似的關(guān)系，首先我們來看特征函數(shù)的連續(xù)性定理.定理2.3.1[11]分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充分必要條件是它的相應(yīng)的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)定理2.3.2[11]設(shè)隨機(jī)變量則有證明知服從泊松分布，則的特征函數(shù)為所以的特征函數(shù)是對(duì)于任何一個(gè)我們有所以有因此對(duì)于任意的點(diǎn)列有又知是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，因此由連續(xù)性定理可以得到，由的任意性，所以有成立.我們來看泊松分布的正態(tài)逼近.定理2.3.3[8]對(duì)于任意的有其中其證明見文獻(xiàn)[8].由前可知，的正態(tài)近似與泊松近似的條件是不同的，當(dāng)?shù)娜≈堤貏e小時(shí)，哪怕的值不是太大，用泊松分布來近似二項(xiàng)分布也是可以的.但在這種情況下，用正態(tài)近似卻是不合理的.我們可以想象，若值很小，但的值也不是太大，則的值肯定不會(huì)很大，而由定理2.3.1，我們可知，此時(shí)正態(tài)分布就不可能很好的進(jìn)行泊松近似.2.4正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布之間的關(guān)系首先來看正態(tài)分布與柯西分布的關(guān)系.定理2.4.1設(shè)且與獨(dú)立同分布，記,則.證明易知的取值范圍是，所以對(duì)于，我們利用商的公式，可以得到這正是時(shí)的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下：定理2.4.2若隨機(jī)變量則定理證明見文獻(xiàn)[10].這說明了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與自由度為1的卡方分布之間的關(guān)系.若且彼此獨(dú)立，記，根據(jù)卡方分布的定義，我們知服從自由度為的卡方分布.對(duì)于伽瑪分布，當(dāng)其參數(shù)時(shí)即為自由度為的卡方分布，記為3小結(jié)文章第一部分我們討論了六種具有可加性的分布以及它們的簡單性質(zhì)，上述分布的可加性均可利用卷積公式或者特征函數(shù)進(jìn)行證明.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，一般地，如果某個(gè)數(shù)量指標(biāo)受到大量隨機(jī)因素影響，而每一因素起的作用很小，則這個(gè)數(shù)量指標(biāo)就近似服從正態(tài)分布.在第二部分里研究了二項(xiàng)分布、正態(tài)分布與泊松分布的關(guān)系，從此處我們可以知道二項(xiàng)分布不僅可以用泊松分布近似，同樣也可由正態(tài)分布來近似.參考文獻(xiàn)[1]羅建華.卷積公式的應(yīng)用注記[J].中南林業(yè)科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007年，第27卷，第1期：152頁.[2]李賢平，沈崇生，陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.5：221-231.[3]唐玲，徐懷.復(fù)合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007.05：83頁.[4]郭彥.對(duì)柯西分布性質(zhì)的進(jìn)一步討論[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005.05：12頁.[5]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160;[6]王梓坤.概率論基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：人民大學(xué)出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.淺析二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系[J].《企業(yè)科技與發(fā)展》，2008年第20期：120頁.[9]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.[10]孟凡華.淺談幾種概率分布之間的相互關(guān)系[J].信陽農(nóng)專學(xué)報(bào)，1992年第3卷第2期:63-65.[11]王淑云.特征函數(shù)及其應(yīng)用[J].邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2008年第18卷第3期:52-56.高二復(fù)習(xí)公開課《摸球問題的三種題型及解題方法》摸球問題是古典概型中一類重要而常見的問題。由于摸球的方式、球色的搭配及最終考慮的問題不同,其內(nèi)容可以說是形形色色、千差萬別。在高考中以摸球?yàn)楸尘暗母怕蕟栴}多種多樣，但同學(xué)們對(duì)這一類問題始終不能很好地分析和解答，為此有必要對(duì)以摸球?yàn)楸尘暗膯栴}類型做一次深入的歸納總結(jié)，以期讓同學(xué)提高解決這一類問題的能力。下面我們通過三個(gè)典型的摸球問題來闡述解決此類問題的思想方法。引例：盒中裝有大小、重量相同的5個(gè)小球，其中白色2個(gè)，黑色3個(gè)，求下列事件的概率：（1）從中摸出3個(gè)小球，恰有一個(gè)是白色；（2）連續(xù)摸球3次，每次摸一個(gè)，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）連續(xù)摸球三次，每次摸一個(gè)，摸后放回，恰有兩次摸到白球?？偨Y(jié)：以上三個(gè)問題，分別代表了摸球問題中常見的三種類型，即（1）一次性摸?。好虻奶攸c(diǎn)：一次摸夠，元素不重復(fù)，無順序。解決的方法：用組合的思想去解決。（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特點(diǎn)：每次只摸一個(gè)，若干次摸夠，元素不重復(fù)，但有順序。解決的方法：用排列的思想或分步計(jì)數(shù)原理去解決。（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特點(diǎn)：每次只摸一個(gè)，若干次摸夠，元素重復(fù)，同一個(gè)（種）球每次被摸到的概率都一樣。解決方法：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)?zāi)呈录『冒l(fā)生k次的概率。為了讓大家更好地理解并應(yīng)用這三種思想方法來解決相關(guān)問題，我們?cè)偻ㄟ^三個(gè)三個(gè)例題來加深大家的印象：例1.一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球。（1）從中摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；（2）采取不放回的抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率。例2.袋中有同樣的小球5個(gè)，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸一個(gè)，當(dāng)兩種顏色的小球都被摸到時(shí)，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戲的概率。例3.袋子中有若干個(gè)均勻的小球，其中紅球5個(gè)，白球10個(gè)。從袋中有放回地摸球，每次摸一個(gè)，有3次摸到紅球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？總結(jié)：（1）解決此類問題，審題時(shí)注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐個(gè)）”等關(guān)鍵詞，借助于它們可以辨別該問題屬于哪一類題型，若沒有這些詞匯更要注意正確理解題意，以便采取恰當(dāng)?shù)慕忸}思想和方法。（2）排列組合是解決摸球問題的基本功，應(yīng)在平時(shí)復(fù)習(xí)中加強(qiáng)排列組合問題的解題能力。例4．袋中有10個(gè)球,其中7個(gè)紅球3個(gè)白球,,則（1）從中取2個(gè)，先摸到紅球，后摸到白球的概率是（2）從中取2個(gè)，后一個(gè)摸到的是紅球的概率是例5.已知盒中裝有3只螺口與7支卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡使用,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則他直到第3次才取得卡口燈泡的概率為;他三次內(nèi)取得卡口燈泡的概率為例6:（山東卷）盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.解：（=1\*ROMANI）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意（=2\*ROMANII）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3