概率統(tǒng)計(jì)試題和答案及概率統(tǒng)計(jì)課后答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答i）的結(jié)果，求.附：若則，。23.（15年新課標(biāo)1理科19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（i=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。46.65636.8289.81.61469108.8表中,，=（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，24.（2015年新課標(biāo)2理科18）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不（去掉）等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率25.（2016年全國III高考18）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（II）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量。參考數(shù)據(jù)：，，，EQ\R(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)解：（Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，關(guān)于的回歸方程為：.將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.第一章思考題1．事件的和或者差的運(yùn)算的等式兩端能“移項(xiàng)”嗎？為什么？2．醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭“你的病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運(yùn)的.因?yàn)槟阏业搅宋遥乙呀?jīng)看過九個(gè)病人了，他們都死于此病，所以你不會(huì)死”，醫(yī)生的說法對嗎？為什么？３．圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù),我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,這個(gè)記錄保持了1000多年!以后有人不斷把它算得更精確.1873年,英國學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值,它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費(fèi)林生對它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù),得到了下表:你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?答：因?yàn)槭且粋€(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1，但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.4．你能用概率證明“三個(gè)臭皮匠勝過一個(gè)諸葛亮”嗎？５．兩事件A、B相互獨(dú)立與A、B互不相容這兩個(gè)概念有何關(guān)系？對立事件與互不相容事件又有何區(qū)別和聯(lián)系？６．條件概率是否是概率？為什么？習(xí)題一1．寫出下列試驗(yàn)下的樣本空間：（1）將一枚硬幣拋擲兩次答：樣本空間由如下4個(gè)樣本點(diǎn)組成（2）將兩枚骰子拋擲一次答：樣本空間由如下36個(gè)樣本點(diǎn)組成（3）調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出答：結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).這時(shí)，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成.2．甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”：(6)“三人中至少有一人未中靶”：或(7)“三人中恰有兩人中靶”：(8)“三人中至少兩人中靶”：(9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：(11)“三人中至多兩人中靶”：或3.設(shè)是兩隨機(jī)事件，化簡事件(1)(2)解:(1),(2).4．某城市的電話號碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.解：.5．張獎(jiǎng)券中含有張有獎(jiǎng)的，個(gè)人購買，每人一張，求其中至少有一人中獎(jiǎng)的概率.解法一：試驗(yàn)可模擬為個(gè)紅球，個(gè)白球，編上號，從中任取k個(gè)構(gòu)成一組，則總數(shù)為，而全為白球的取法有種，故所求概率為.解法二：令—第i人中獎(jiǎng)，B—無一人中獎(jiǎng)，則，注意到不獨(dú)立也不互斥：由乘法公式.6．從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？解：7．在上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過的概率.解：此為幾何概率問題：,所求事件占有區(qū)間，從而所求概率為.8．在長度為的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將其分成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.解：設(shè)一段長為，另一段長為，樣本空間，所求事件滿足：從而所求概率＝.9．從區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于的概率.解：設(shè)所取兩數(shù)為樣本空間占有區(qū)域,兩數(shù)之積小于:,故所求概率,而,故所求概率為.10．設(shè)、為兩個(gè)事件，，，求.解：;11．設(shè)、為兩個(gè)事件，，，求.解：.12．假設(shè)，，若、互不相容，求；若、相互獨(dú)立，求.解：若、互不相容，；若、相互獨(dú)立，則由可得=0.5.13．飛機(jī)投彈炸敵方三個(gè)彈藥倉庫，已知投一彈命中1，2，3號倉庫的概率分別為0.01,0.02,0.03,求飛機(jī)投一彈沒有命中倉庫的概率.解：設(shè){命中倉庫}，則{沒有命中倉庫}，又設(shè){命中第i倉庫}則，根據(jù)題意（其中兩兩互不相容）故=0.01+0.02+0.03=0.06所以即飛機(jī)投一彈沒有命中倉庫的概率為0.9414．某市有50%住戶訂日報(bào)，有65%的住戶訂晚報(bào)，有85%的住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比解：設(shè){用戶訂有日報(bào)}，={用戶訂有晚報(bào)}，則{用戶至少訂有日報(bào)和晚報(bào)一種}，{用戶既訂日報(bào)又訂晚報(bào)}，已知，所以即同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比為30%15．一批零件共100個(gè)，次品率為10%，接連兩次從這批零件中任取一個(gè)零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：設(shè){第一次取得次品}，{第二次取得正品}，則{第二次才取得正品}，又因?yàn)?，則16.設(shè)隨機(jī)變量、、兩兩獨(dú)立，與互不相容.已知且，求.解：依題意且，因此有.又因，解方程，17．設(shè)是小概率事件，即是給定的無論怎么小的正數(shù).試證明：當(dāng)試驗(yàn)不斷地獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行下去，事件遲早總會(huì)發(fā)生（以概率1發(fā)生）.解：設(shè)事件—第次試驗(yàn)中出現(xiàn)，∵，，∴次試驗(yàn)中，至少出現(xiàn)一次的概率為（獨(dú)立性）∴，證畢.18．三個(gè)人獨(dú)立地破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別是，，，求此密碼被譯出的概率.解:設(shè)A，B，C分別表示{第一、二、三人譯出密碼}，D表示{密碼被譯出}，則.19．求下列系統(tǒng)（如圖所示）的可靠度，假設(shè)元件的可靠度為，各元件正常工作或失效相互獨(dú)立解：(1)系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)而成，每個(gè)子系統(tǒng)可靠度為，從而所求概率為；（2）同理得.20．三臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，設(shè)第一，第二，第三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為0.9，0.8，0.7，則這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障的概率.解：設(shè)—第一第三臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障，—第一第三臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障，—第一第三臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障，—三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障，則，故21．設(shè)、為兩事件，,,，求.解：由得，.22.設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物,它能活到25歲以上的概率是多少?解：設(shè)—某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上，，—某種動(dòng)物由出生算起活到25年以上，，則所求的概率為23．某地區(qū)歷史上從某年后30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80%，40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85%，求已過去了30年的地區(qū)在未來10年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率.解：設(shè)—某地區(qū)后30年內(nèi)發(fā)生特大洪災(zāi)，，—某地區(qū)后40年內(nèi)發(fā)生特大洪災(zāi)，，則所求的概率為.24．設(shè)甲、乙兩袋，甲袋中有2只白球，4只紅球；乙袋中有3只白球，2只紅球.今從甲袋中任意取一球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一球.1）問取到白球的概率是多少？2）假設(shè)取到白球，問該球來自甲袋的概率是多少？解：設(shè)A：取到白球，B：從甲球袋取白球25．一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任取兩次，每次取一個(gè)，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：設(shè)表示第次抽出次品,,由全概率公式=.26.一批晶體管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它們能工作500的概率分別為90%，80%，70%，求任取一個(gè)元件能工作500以上的概率.解：設(shè){取到元件為等品}(=1,2,3)，{取到元件能工作500小時(shí)以上}則所以0.89427．某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，三地的供貨量分別占40%，35%和25%，且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65，0.70和0.85，求從該廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.如果一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品，求它的材料來自甲地的概率解：以Bi分別表示抽到的產(chǎn)品的原材來自甲、乙、丙三地，A={抽到優(yōu)等品}，則有：所求概率為由全概率公式得：28．用某種檢驗(yàn)方法檢查癌癥，根據(jù)臨床紀(jì)錄，患者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陽性的概率為0.95；無癌癥者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陰性的概率為0.90.如果根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)，某地區(qū)癌癥的發(fā)病率為0.0005.試求用此法檢查結(jié)果為陽性者而實(shí)患癌癥的概率.解：設(shè)A={檢查結(jié)果為陽性}，B={癌癥患者}.據(jù)題意有所求概率為由Bayes公式得29．3個(gè)射手向一敵機(jī)射擊，射中的概率分別是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敵機(jī)被擊落的概率為0.2；二人射中，被擊落的概率為0.6；三人射中則必被擊落.（1）求敵機(jī)被擊落的概率；（2）已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率.解:設(shè)A={敵機(jī)被擊落}，Bi={i個(gè)射手擊中}，i=1,2,3.則B1,B2,B3互不相容.由題意知：，由于3個(gè)射手射擊是互相獨(dú)立的，所以因?yàn)槭录嗀能且只能與互不相容事件B1,B2,B3之一同時(shí)發(fā)生.于是（1）由全概率公式得（2）由Bayes公式得.30．某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1）該廠產(chǎn)品能出廠的概率；（2）任取一出廠產(chǎn)品未經(jīng)調(diào)試的概率.解：——需經(jīng)調(diào)試——不需調(diào)試——出廠則，，，（1）由全概率公式：.（2）由貝葉斯公式：.31．進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，假設(shè)每次試驗(yàn)的成功率都是，求在試驗(yàn)成功2次之前已經(jīng)失敗了3次的概率.解：所求的概率為.32．10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第次才取次紅球的概率解：所求的概率為33．燈泡使用壽命在1000h以上的概率為0.2，求3個(gè)燈泡在使用1000h后，最多只有一個(gè)壞了的概率.解：由二項(xiàng)概率公式所求概率為34．（Banach問題）某人有兩盒火柴，每盒各有根，吸煙時(shí)任取一盒，并從中任取一根，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)有一盒已經(jīng)用完時(shí)，試求：另一盒還有根的概率.解：設(shè)試驗(yàn)E—從二盒火柴中任取一盒，—取到先用完的哪盒，，則所求概率為將E重復(fù)獨(dú)立作次發(fā)生次的概率，故所求的概率為.第二章思考題1.隨機(jī)變量的引入的意義是什么？答：隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來，其目的是將事件數(shù)量化，從而隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量的引入則變?yōu)榭梢杂脛?dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究.2.隨機(jī)變量與分布函數(shù)的區(qū)別是什么？為什么要引入分布函數(shù)？答：隨機(jī)變量與分布函數(shù)取值都是實(shí)數(shù)，但隨機(jī)變量的自變量是樣本點(diǎn)，不是普通實(shí)數(shù)，故隨機(jī)變量不是普通函數(shù)，不能用高等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行研究，而分布函數(shù)一方面是高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，另一方面它決定概率分布，故它是溝通概率論和高等數(shù)學(xué)的橋梁，利用它可以將高度數(shù)學(xué)的方法得以引入.3.除離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，還有第三種隨機(jī)變量嗎？答：有，稱為混合型.例：設(shè)隨機(jī)變量，令 則隨機(jī)變量既非離散型又非連續(xù)型. 事實(shí)上，由的定義可知只在上取值，于是當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 首先取單點(diǎn){1}的概率，故不是連續(xù)型隨機(jī)變量.其次其分布函數(shù)不是階梯形函數(shù)，故也不是離散型隨機(jī)變量.4.通常所說“的概率分布”的確切含義是什么？答：對離散型隨機(jī)變量而言指的是分布函數(shù)或分布律，對連續(xù)型隨機(jī)變量而言指的是分布函數(shù)或概率密度函數(shù).5.對概率密度的不連續(xù)點(diǎn)，如何由分布函數(shù)求出？答：對概率密度的連續(xù)點(diǎn)，，對概率密度的有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)處，可令（為常數(shù)）不會(huì)影響分布函數(shù)的取值.6.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是可導(dǎo)的，“概率密度函數(shù)是連續(xù)的”這個(gè)說法對嗎？為什么？答：連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)不一定是連續(xù)的，當(dāng)密度函數(shù)連續(xù)時(shí)其分布函數(shù)是可導(dǎo)的，否則不一定可導(dǎo).習(xí)題1．在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中,試寫出樣本空間并在其上定義一個(gè)隨機(jī)變量.解：每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個(gè)實(shí)數(shù),樣本空間為，若用表示燈泡的壽命（小時(shí)），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即是隨機(jī)變量.2．一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元,其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù),試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.解：{報(bào)童賠錢}{賣出的報(bào)紙錢不夠成本}，而當(dāng)0.15X<1000×0.1時(shí)，報(bào)童賠錢，故{報(bào)童賠錢}{X666}3．若，，其中，求.解：.4．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求（1）（2）（3）解：；（2）；（3）.5．5個(gè)乒乓球中有2個(gè)新的，3個(gè)舊的，如果從中任取3個(gè)，其中新的乒乓球的個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律和分布函數(shù)，并畫出分布函數(shù)的圖形.解：設(shè)表示任取的3個(gè)乒乓球中新的乒乓球的個(gè)數(shù)，由題目條件可知，的所有可能取值為0，1，2，∵，，∴隨機(jī)變量的概率分布律如下表所示：0120.10.60.3由可求得如下:，的圖形如圖所示.6．某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中率為0.9，如果他命中目標(biāo)就停止射擊，命不中就一直射擊到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù)的概率分布解：123450.90.090.0090.00090.00017.一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè)，如果每次取出的廢品不再放回，求在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)的分布律.解：設(shè)，，由題意知，廢品數(shù)的可能值為0，1，2，3，事件即為第一次取得合格品，事件即為第一次取出的零件為廢品，而第二次取出的零件為合格品，于是有，，所以的分布律見下表01230.750.20450.04090.00458.從中任取一個(gè)數(shù)字，若取到數(shù)字的概率與成正比，即，求.解：由條件，由分布律的性質(zhì),應(yīng)有,.9.已知隨機(jī)變量服從參數(shù)的泊松分布，試滿足條件的自然數(shù).解：因?yàn)閺亩楦奖淼?0.某公路一天內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從泊松分布，且一天內(nèi)發(fā)生一次交通事故的概率與發(fā)生兩次交通事故的概率相等，求一周內(nèi)沒有交通事故發(fā)生的概率.解：設(shè)，由題意：=，，解得，所求的概率即為.11.一臺(tái)儀器在10000個(gè)工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率.解：設(shè)表示該儀器在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)，，所求的概率即為，，三者之和.而100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障平均次數(shù)為，根據(jù)Poisson分布的概率分布近似計(jì)算如下：故該儀器在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率為0.99984.12.設(shè)，現(xiàn)對進(jìn)行三次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于的概率.解：，令，則，令表示三次重復(fù)獨(dú)立觀察中出現(xiàn)次數(shù)，則，故所求概率為.13.設(shè)某種傳染病進(jìn)入一羊群，已知此種傳染病的發(fā)病率為2/3，求在50頭已感染的羊群中發(fā)病頭數(shù)的概率分布律.解：把觀察一頭羊是否發(fā)病作為一次試驗(yàn)，發(fā)病率，不發(fā)病率，由于對50頭感染羊來說是否發(fā)病，可以近似看作相互獨(dú)立，所以將它作為50次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)50頭羊群中發(fā)病的頭數(shù)為，則，的分布律為14.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，用表示對的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，求.解：，，由二項(xiàng)概率公式.15.已知的概率密度為，試求：（1）、未知系數(shù)；（2）、的分布函數(shù)；（3）、在區(qū)間內(nèi)取值的概率.解：（1）由，解得(2)，∴當(dāng)x≤0時(shí),當(dāng)x>0時(shí)，,∴.（3）.16.設(shè)在內(nèi)服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率.解:“方程有實(shí)根”即，故所求的概率為=.17.知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求.解：由題意解得：18.已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且落入?yún)^(qū)間（1，2）內(nèi)的概率達(dá)到最大，求.解：,令，即,即，∴19．設(shè)隨機(jī)變量，求，.解：.20.設(shè)電源電壓，在電壓三種情形下，電子元件損壞的概率分別為，求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時(shí)，電壓在伏的概率.解：設(shè)，電子元件損壞，則（1）完備，由全概率公式，今，同理，，從而.（2）由貝葉斯公式.21.隨機(jī)變量的分布律為－2－1013求的分布律0149解：.22.變量服從參數(shù)為0.7的0－1分布，求及的概率分布.解．的分布為010.30.7易見，的可能值為0和1；而的可能值為和0，由于，可見的概率分布為：010.30.7-100.70.3由于，，可得的概率分布為23.概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù).解：的反函數(shù)為，代入公式得.24.設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量在內(nèi)概率密度.解法一（分布函數(shù)法）當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而解法二（公式法）在單增，由于反函數(shù)在可導(dǎo)，，從而由公式得 25.，求的密度.解法一（分布函數(shù)法）因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，， .解法二（公式法）的值域，反函數(shù)，故 .26.設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，分別求隨機(jī)變量和的概率密度和.解：的密度為，（1）函數(shù)有唯一反函數(shù)，，且，故.（2）在區(qū)間上，函數(shù)，它有唯一反函數(shù)，且，從而.27.設(shè)為的密度函數(shù)，且為偶函數(shù)，求證與有相同的分布. 證：即證與的密度函數(shù)相同，即. 證法一（分布函數(shù)法），，得證. 證法二（公式法）由于為單調(diào)函數(shù)，.28.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，是的分布函數(shù)，隨機(jī)變量.求證服從區(qū)間上的均勻分布.證明：記的概率密度為，則由于是的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)存在，又因，因此的取值范圍是.即當(dāng)時(shí)于是的密度函數(shù)為即服從區(qū)間上的均勻分布.第三章思考題1(答:錯(cuò))2(答:錯(cuò))3答:錯(cuò))習(xí)題三1解：.由此可看出,即使兩個(gè)離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,一般情況下也不會(huì)以概率1相等.2解：由=1可得：,從而得：01200.060.150.090.310.140.350.210.70.20.31故相互獨(dú)立. 10103解:因?yàn)?,結(jié)果如表所示.4解:的邊緣分布律為的邊緣分布律為的條件下的條件分布為的條件下的條件分布為5解：（1）由乘法公式容易求得分布律．易知，放回抽樣時(shí)且0101于是的分布律為（2）不放回抽樣，則,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的狀態(tài)：正品9個(gè)，次品2個(gè)．故又在第一次抽出次品后，第二次抽取前狀態(tài)：正品10個(gè)，次品1個(gè).故0101,且于是的分布律為放回抽樣時(shí)，兩次抽樣互不影響，故彼此相互獨(dú)立；不放回抽樣，第一次抽樣對第二次抽樣有影響，不相互獨(dú)立．6解=,=隨機(jī)變量及是獨(dú)立的.7解（1）==（2）的邊緣分布函數(shù)=.由此得隨機(jī)變量的邊緣分布密度函數(shù)同理可得隨機(jī)變量的邊分布函數(shù)=的邊緣分布密度函數(shù)（3）由（2）知==，所以與獨(dú)立.8解因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以的聯(lián)合概率密度為所以，的分布律為:9解：（1）由=1，即，即因此=（2）的邊緣概率密度為當(dāng)，===，當(dāng)，===，可知邊緣分布密度為：==（3）=10解因?yàn)?1，即，對任意，==，所以=對任意，==，所以=故=，所以與相互獨(dú)立.11解由當(dāng)時(shí)，其它=0.所以:12解（1），的邊緣密度為分布密度為：==故====（2）因?yàn)?1，故與不相互獨(dú)立.13證設(shè)的概率密度為，的概率密度為，由于相互獨(dú)立，故的聯(lián)合密度為=.于是交換積分次序可得：所以1－故.14解設(shè)，由于相互獨(dú)立同分布，于是有則又+－=+（－=解得：因而有兩個(gè)值.由于，所以，當(dāng)時(shí)，由=得當(dāng)時(shí)，由=得.15解（1）的可能取值為2，3，4.且故有:（2）由已知易得16解由已知得(-1,-1)(-1,0)（,-2）(,-1)(,0)(3,-2)(3,-1)(3,0)概率00-3-2-1--12310-1543所以有-3-2-1--13-1013517證明：對任意的我們有（因?yàn)榕c相互獨(dú)立）==（利用組合公式）=即～18解在[0，2]中取值，按卷積公式的分布密度為：如圖，從而：19解因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故～所以：20解，設(shè)兩周的需求量為，則當(dāng)時(shí)=故21解（1），當(dāng)時(shí)（積分時(shí)，是常量）當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故與不相互獨(dú)立.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，22解設(shè)為選取的第只電子管的壽命，則～令則所求概率為=（由獨(dú)立性）=[]而因此23解由于設(shè)相互獨(dú)立，均服從指數(shù)分布.因而它們的聯(lián)合密度函數(shù)為：事件等價(jià)于，因而所求概率為：習(xí)題四1解（1）=（-1）×+0×+×+1×+2×=（2）=2×+1×+×+0×+（-1）×=（3）=1×+0×+×+1×+4×=.2解==3解因?yàn)?，相互?dú)立，所以=4證明顯然，且.所以是一個(gè)分布密度,但不存在，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在.5解表示售出設(shè)備一年內(nèi)調(diào)換，表示調(diào)換費(fèi)用.則凈贏利的數(shù)學(xué)期望為：凈贏利的數(shù)學(xué)期望為：=（元）6解直徑～所以：=7解（1）的邊際分布見表上，故1×0.4+2×0.2+3×0.4；-1010.20.100.40.10.10.1=-1×0.3+1×0.3=0.（2）的可能取值為.易知的分布律如表為故=-1×0.2×0.1×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=，解法2（3）=-1-2-301230.20.100.40.10.10.1的可能取值為-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：=-1×0.2+（-2）×0.1+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2所以=5解法2=+8解：令的取值為0，1，故：類似可求得9解所以=10解:的分布函數(shù)為則的分布函數(shù)于是的密度函數(shù)為從而11解：設(shè)隨機(jī)變量表示取得合格品以前已取出的次品數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3；下求取這些可能值的概率，易知由此可得：，，12解=======其中“′”表示對的形式導(dǎo)數(shù).所以13解因?yàn)楣视校?，故，所以?4證明：因?yàn)?所以對于15解=-+=+=16解：由正態(tài)分布與均勻分布的方差知由于與相互獨(dú)立，因此與也相互獨(dú)立，從而17解(1)記則即～(2)～所以18解(1)由已知有:所以:(2)(3).19解:因?yàn)?所以與成負(fù)線性關(guān)系,從而;或直接計(jì)算:,故.20解:21證明：顯然而由即相互獨(dú)立.即：任意兩個(gè)服從0—1分布的隨機(jī)變量若不相關(guān)，必相互獨(dú)立.22解故（關(guān)于奇）=0故23證明:因?yàn)椤?即所以故從而,但,即表示有依賴關(guān)系,故兩者并不獨(dú)立.24解的密度為于是，，，所以：，又因?yàn)楣剩海ⅲ浩鋵?shí)由于區(qū)域?yàn)榫匦斡?，且服從上的均勻分?從而與獨(dú)立，故與不相關(guān)，即．25解，由同理故因相互獨(dú)立，故同理故.26證明對即這是以為系數(shù)的二次曲線問題=4即27解：28解獨(dú)立同分布于指數(shù)分布則已知由定理4=1-（查表）≈1-0.7881=0.211929解設(shè)第次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為,則為獨(dú)立同分布系列,且,命中目標(biāo)的總次數(shù),由獨(dú)立同分布的中心極限定理(近似)～,因此,所求概率為30解設(shè)每部分的長度是一個(gè)隨機(jī)變量,且相互獨(dú)立同分布,為總長度,又,,由獨(dú)立同分布的中心極限定理(近似)～,因此,產(chǎn)品合格的概率為31解由獨(dú)立同分布的中心極限定理32解：設(shè)老人死亡數(shù)為～，保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)即，于是，由棣莫佛—拉普拉斯定理故公司虧本的概率：．33解（1）：表損壞數(shù)，則～由定理6（2）：表損壞數(shù)，則～設(shè)為取整，由定理6查表得34解（1）由定理4===（查表）（2）=.35解第五章思考題不對。服從。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)滿足分布函數(shù)的所有性質(zhì)，所以是分布函數(shù)。總體均值與方差反映的是總體的數(shù)字特征，樣本均值與樣本方差反映的是抽樣結(jié)果的數(shù)字特征。一般地，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常用樣本均值與樣本方差來對總體中未知參數(shù)如期望及方差等進(jìn)行估計(jì)。，至少為40。。習(xí)題五1、2、解：設(shè)所需樣本容量為，則：查表得，，，取3、解：由于未知，需用統(tǒng)計(jì)量．，，4、解：記容量分別是10，15的兩獨(dú)立樣本的均值分別為和，則：，從而5、解：（1）時(shí)，樣本方差（2）未知時(shí)，6、解：（1）分布律為相互獨(dú)立．（2）7、解：．，．（1）相互獨(dú)立，于是的聯(lián)合概率密度（2）也服從正態(tài)分布，,．于是，的概率密度為：8、解：（1），且相互獨(dú)立，故：（2），故．，，相互獨(dú)立，有（3），，且它們相互獨(dú)立．由分布定義，有．．第六章思考題不一定。矩估計(jì)不唯一。不一定。均勻分布的參數(shù)的極大似然估計(jì)是一個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。不是。。從而區(qū)間（，，。不唯一。若置信區(qū)間以樣本均值的觀察值為中心的對稱區(qū)間，其長度最短，誤差范圍最小，估計(jì)精度最高。習(xí)題六1.解：設(shè)是對應(yīng)于樣本的樣本值，，，，，，。2.解：。，從而為矩估計(jì)量，為其矩估計(jì)值。3.解：似然函數(shù)，取對數(shù)，，對求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為，得。。4.解：似然函數(shù)，取對數(shù)，，對求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為，得，。的極大似然估計(jì)值為：。5.解：因?yàn)?，。的極大似然估計(jì)量為：。6.解：的概率密度函數(shù)為似然函數(shù)為，，解上述方程，得，的極大似然估計(jì)量為，。7.解：①，以代，代，得：，。②，，，得極大似然估計(jì)為：。8.解：①，以代，代，得：，矩估計(jì)為。②，，。極大似然估計(jì)為。9.解：①總體服從二項(xiàng)分布，。因，以代，代，，得矩估計(jì)為。②，，，即：。極大似然估計(jì)為。10.解：①以代，代，得的矩估計(jì)值為。②，，，解得：，但不合題意。故的極大似然估計(jì)值為。11.解：設(shè)總體的均值，方差，則①，，。，，均為的無偏估計(jì)。②，，。較為有效。12.解：，由，得。13.解：①因?yàn)?，，所以，是參?shù)的無偏估計(jì)量。②因?yàn)?，，其中為的樣本方差，為的樣本方差，且，。，即，從而是的無偏估計(jì)量。14.解：，，，故有。又，為使上述方差最小，取最小。令，得，，，為極小值。從而有是形如這類線性估計(jì)中方差最小的無偏估計(jì)。15.解：。①由于已知，采用隨機(jī)變量，置信區(qū)間為，，，，。置信區(qū)間為。②，未知，采用隨機(jī)變量，，，，故所求置信區(qū)間為。16.解：，。①未知，則關(guān)于的的置信區(qū)間是，依題意，，，。關(guān)于的置信度為的置信區(qū)間為。②未知，的置信度為的置信區(qū)間是，查表得：，，故的置信度為的置信區(qū)間為。17.解：，。①，，。關(guān)于的置信度為的置信區(qū)間為。②，，，關(guān)于的置信度為的置信區(qū)間為。18.解：，。設(shè)施磷肥的畝產(chǎn)總體為，不施磷肥的畝產(chǎn)總體為，則，，，。的置信度為的置信區(qū)間為。19.解：設(shè)男學(xué)生身高為，女學(xué)生身高為，則，，，，，，，，，，從而得的置信度為的置信區(qū)間為。20.解：，，而，知，，，，查表得，。于是得方差比的置信度為的置信區(qū)間為。21.解：，，，，，，，，，，故的置信度為的置信區(qū)間為。22.解：因、未知，故。，，，，，于是，得到的置信度為的單側(cè)置信下限為。23.解：①，，，，。于是，得到的置信度為的單側(cè)置信上限為。②，關(guān)于的置信度為的單側(cè)置信下限為。第七章思考題1.在統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中,如何確定零假設(shè)和備選假設(shè)?答在實(shí)際問題中,通常把那些需要著重考慮的假設(shè)視為零假設(shè).(1)如果問題是要決定新提出的方法是否比原方法好,往往將原方法取為零假設(shè),而將新方法取為備選假設(shè);(2)若提出一個(gè)假設(shè),檢驗(yàn)的目的僅僅是為了判別這個(gè)假設(shè)是否成立,此時(shí)直接取此假設(shè)為零假設(shè)即可.從數(shù)學(xué)上看,原假設(shè)與備選假設(shè)的地位是平等的,但在實(shí)際問題中,如果提出的假設(shè)檢驗(yàn)僅僅控制了第一類錯(cuò)誤的概率,那么選用哪個(gè)假設(shè)作為零假設(shè),要依據(jù)體問題的目的與要求而定,它取決于犯兩類錯(cuò)誤將會(huì)帶來的后果,一般地可根據(jù)以下三個(gè)原則選擇哪個(gè)作為零假設(shè):(1)當(dāng)目的是需要從樣本觀察值取得對某一論斷強(qiáng)有力的支持時(shí),把這一論斷的否定作為零假設(shè);(2)盡量使后果嚴(yán)重的一類錯(cuò)誤成為的一類錯(cuò)誤;(3)把由過去資料提供的論斷作為零假設(shè),這樣當(dāng)檢驗(yàn)后的最終結(jié)論為拒絕時(shí),由于犯的一類錯(cuò)誤的概率被控制而顯得有說服力或造成危害較小.2.假設(shè)檢驗(yàn)中,無論你作出拒絕原假設(shè)或接受原假設(shè),都有可能犯錯(cuò)誤,是這樣的嗎?答是.無論采取什么樣的決策(取或舍)都可能是正確的,同時(shí)又都可能犯錯(cuò)誤的.既然如此,還要“假設(shè)檢驗(yàn)”干什么?!我們注意到:概率論本身就是研究隨即現(xiàn)象的,因此它的結(jié)論無不帶有隨機(jī)性.正如我們說“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生”,這個(gè)“幾乎”就帶有隨機(jī)性.我們對原假設(shè)作出拒絕還是接受的判斷,都是“小概率事件原理”,因此犯錯(cuò)誤和不犯錯(cuò)誤的可能性都是存在的,若二者的可能性各占一半(都是50%),那么“假設(shè)檢驗(yàn)”確實(shí)沒有任何價(jià)值.事實(shí)上,犯錯(cuò)誤的概率是很小的,這樣,“假設(shè)檢驗(yàn)”才成為檢驗(yàn)?zāi)撤N估計(jì)(或稱為猜想)可靠程度的一種優(yōu)良方法.3.怎樣合理地選取顯著性水平?答如果假設(shè)成立,但由于樣本的隨機(jī)性,仍有作出拒絕的結(jié)論,即犯第一類錯(cuò)誤.顯著性水平的一個(gè)意義是給出了一個(gè)犯第一類錯(cuò)誤的概率,即成立,相應(yīng)的臨界值為,則統(tǒng)計(jì)量滿足不等式的概率為,另一方面,的選定又是對小概率事件小到什么程度的一種抉擇.越小,而事件發(fā)生了,則拒絕的可信程度越高,所謂顯著性即是指實(shí)際情況與的判斷之間存在顯著差異.的選定通常取較小的值,如()等,但在某些實(shí)際問題中,如藥品檢驗(yàn)將不合格視為合格,即犯第二類錯(cuò)誤的后果更嚴(yán)重時(shí),通常取較大(如),使第二類錯(cuò)誤的概率變小,因?yàn)榉竷深愬e(cuò)誤的概率在樣本容量固定時(shí)有此消彼漲的關(guān)系.4.檢驗(yàn)零假設(shè)時(shí),對于相同的統(tǒng)計(jì)量及相同的顯著性水平,其拒絕域是否一定惟一?答不一定.例如,總體已知,為樣本,在顯著性水平下,要檢驗(yàn),若為真,注意到,則有,此時(shí)拒絕域?yàn)閷ΨQ區(qū)間,又因故拒絕域可選為或由于拒絕域不惟一,取哪一個(gè)作為拒絕域就需要按實(shí)際問題來定,比如檢驗(yàn),是指某批日光燈管的平均使用壽命,顯然都合標(biāo)準(zhǔn).于是拒絕域取為較好,此時(shí)相當(dāng)于取被選假設(shè)為.習(xí)題七1.解:設(shè)從包裝機(jī)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一袋葡萄糖的重量為,根據(jù)題設(shè),考慮假設(shè),即假設(shè)表示包裝機(jī)工作正常,由于已知,故用檢驗(yàn).對規(guī)定顯著性水平,查正態(tài)分布表有,,于是的否定域?yàn)榻?jīng)計(jì)算,而由條件知因而,由于,所以不能否定,即認(rèn)為這天包裝機(jī)工作正常.2.解:按題意需檢驗(yàn),則的拒絕域?yàn)?代入算得未落入拒絕域中,故接受,即認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3.25.3.解:設(shè)考生成績,未知,今欲檢驗(yàn),備擇假設(shè),由于未知,故選擇統(tǒng)計(jì)量.在成立的條件下,,對于檢驗(yàn)水平,求臨界值,設(shè),即,由附表得,從而拒絕域?yàn)?對于抽樣值,,,計(jì)算得不在拒絕域內(nèi),故不能拒絕,即認(rèn)為考生平均成績?yōu)?0分.4.解:檢驗(yàn)的假設(shè)為:,則的拒絕域?yàn)?代入算得,故在下,落在拒絕域中,所以拒絕,即認(rèn)為這批元件不合格.5.解:本題是在下檢驗(yàn)假設(shè),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕域?yàn)?代入得,拒絕,故校長的看法是對的.6.解:由題設(shè),原假設(shè).選擇的統(tǒng)計(jì)量,根據(jù)拒絕域的形式,可知(1)屬于單側(cè)檢驗(yàn)中右邊檢驗(yàn)的拒絕域,故對應(yīng)的備選假設(shè)為:,而(2)屬于雙邊檢驗(yàn)的拒絕域,故對應(yīng)的備選假設(shè)為:.7.解:（1）,,選取統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)時(shí),對于,查分布表知,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值,拒絕,即認(rèn)為新工藝生產(chǎn)的纜繩抗拉強(qiáng)度有較高顯著提高.（2）,,選取統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)時(shí),,對于,查分布表知,即得到拒絕域?yàn)?計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值,不能認(rèn)為新工藝生產(chǎn)的纜繩抗拉強(qiáng)度的方差比舊工藝有顯著變化.8.解:問題歸結(jié)為在下檢驗(yàn)設(shè)和,已知.（1）首先檢驗(yàn)假設(shè),選擇統(tǒng)計(jì)量,計(jì)算,,故接受假設(shè),認(rèn)為方差為0.03.（2）檢驗(yàn)假設(shè),因方差已知,故選用統(tǒng)計(jì)量,,又,所以接受,認(rèn)為均值為7,故認(rèn)為生產(chǎn)正常.9.解:設(shè)加工零件長度為均未知.(1)檢驗(yàn)假設(shè):,用t檢驗(yàn)法,當(dāng)成立時(shí),統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)?由.計(jì)算得.對,由t分布表查得.因?yàn)?接受假設(shè),即認(rèn)為.(2)檢驗(yàn)假設(shè),用檢驗(yàn)法,當(dāng)成立時(shí),統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)?計(jì)算得,由,查得,因?yàn)?故接受假設(shè),即認(rèn)為.綜合（1）,（2）可以認(rèn)為該日機(jī)器工作狀態(tài)正常.10.解:由于未知,且總體服從正態(tài)分布.取為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.拒絕域?yàn)榕c由于,而,故接受.11.解:本題是在下檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)檫@里顯然落在拒絕域中,即在下拒絕,即認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著的偏大.12.解:(1)拒絕域?yàn)?故接受,即認(rèn)為每天每袋平均質(zhì)量可視為500g.(2),拒絕域?yàn)?故拒絕,即認(rèn)為該天標(biāo)準(zhǔn)差超過10g.13.解：用表示產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo),于是,其參數(shù)就是產(chǎn)品的次品率,我們的問題化為：在顯著水平下,檢驗(yàn)假設(shè),令,,那么是的樣本,是其樣本觀測值.選擇統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)?由題意有,從而,根據(jù)方差未知一個(gè)總體均值的右側(cè)檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)方法,應(yīng)該拒絕,即認(rèn)為這批產(chǎn)品中的次品率超過,因而不能出廠.注意,如果本例中抽查件產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)有8件次品,其它條件不變,那么,再與相比較,結(jié)論是接受,即認(rèn)為這批產(chǎn)品的次品率不超過,因而可以出廠.14.解:設(shè),,又設(shè)養(yǎng)貓戶,無貓戶的家中有老鼠活動(dòng)的概率分別為,則且相互獨(dú)立,問題歸結(jié)在下檢驗(yàn)假設(shè)又因很大,由中心極限定理知從而即因?yàn)樽銐虼?故,其中分別為總體的樣本方差,于是在成立的條件下,近似有所以可用此作為雙兩點(diǎn)分布關(guān)于的檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,稱為雙兩點(diǎn)分布總體的檢驗(yàn)法,的拒絕域?yàn)?由題設(shè),在戶養(yǎng)貓戶中有15戶家中有老鼠活動(dòng),即樣本值中有15個(gè)1,其余都是0.而在戶無貓戶中有58戶有老鼠活動(dòng),即樣本值中有58個(gè)1,其余都是0.故代入統(tǒng)計(jì)量得,故接受,認(rèn)為城市養(yǎng)貓與不養(yǎng)貓沒有顯著差別.15.解:兩廠燈泡壽命是否有顯著差異可表示為檢驗(yàn)假設(shè)由于方差已知,故用檢驗(yàn)法.由得故拒絕,即認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命有顯著差異.16.解:,若為真,則,所以,故顯著性水平為的拒絕域?yàn)?17.解:(1)由于未知,故采用統(tǒng)計(jì)量為,拒絕域?yàn)榛蚨?由于,故接受.(2)已檢驗(yàn),由于未知,故采用統(tǒng)計(jì)量為,拒絕域?yàn)?代入得,故接受.18.解:由于兩總體均服從正態(tài)分布,又未知,故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為.拒絕域?yàn)?代入得,故接受.19.解:按題意需檢驗(yàn)假設(shè):總體服從泊松分布因在中參數(shù)未具體給出,所以先估計(jì).由極大似然估計(jì)法得,當(dāng)成立時(shí),對于有估計(jì)由,經(jīng)計(jì)算得,拒絕域?yàn)?因,故在水平下接受,即認(rèn)為服從泊松分布.20.解:檢驗(yàn)假設(shè)作檢驗(yàn)計(jì)算表如下:522.7272715300.159631.9228.19549510.248649.7252.31295600.248649.7272.40547230.159631.9216.572681014.545456206.7593其中,類似可得,,而,故接受,即認(rèn)為成績服從正態(tài)分布.21.解:本題是在下檢驗(yàn)假設(shè)將觀察得到的數(shù)據(jù)混合,并按自小到大次序排列,并求出各個(gè)元素的秩如下:數(shù)據(jù)46474849505253555658秩12345678910的觀察值查表知,即拒絕域?yàn)榛蜻@里未落入拒絕域中,故接受,即認(rèn)為沒有顯著性差異.22.解:將兩個(gè)樣本的元素混合,按自小到大次序排列.并求出各個(gè)元素的秩如下:數(shù)據(jù)737475767779797980808182838485868791929698秩123457779.59.51112131415161718192021現(xiàn)在,,,,按教材第七章(3.9)式得.當(dāng)為真時(shí)近似地有.拒絕域?yàn)楝F(xiàn)在的觀察值為,得.故接受,認(rèn)為兩位化驗(yàn)員所測得的數(shù)據(jù)無明顯差異.第八章思考題1.答:方差分析與回歸分析都是考察所研究的某一指標(biāo)與試驗(yàn)因素(條件)的關(guān)系的.方差分析考察的是因素對指標(biāo)的影響是否顯著,回歸分析考察的是因素的取值與指標(biāo)的取值存在一種什么樣的相關(guān)關(guān)系.因素可以分為兩大類,一類是屬性的,一類是數(shù)量的.屬性的因素一般無數(shù)量大小可言,只是性質(zhì)的不同,如種子的品種,機(jī)器的型號,材料的品質(zhì),加工的工藝等等.數(shù)量的因素可以在一定范圍內(nèi)取值,如人的身高,體重,試驗(yàn)的溫度,產(chǎn)量,產(chǎn)品的合格率等等.也有本來是數(shù)量而屬性化的,如施肥量可以是某個(gè)數(shù)量,但有時(shí)將它局限在某些范圍內(nèi)而分為高,中,低幾個(gè)層次,就屬性化了.當(dāng)所考慮問題的因素是屬性的時(shí),問題屬于方差分析的范疇;當(dāng)所考慮的因素是數(shù)量時(shí),問題屬于回歸分析的范疇.2.答:方差分析的種類很多.在不同類型的方差分析中,因素可以增加或減少,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以發(fā)生變化.但是以下三個(gè)重要的假定是不變的.(1)正態(tài)性假定有了正態(tài)性假定后,數(shù)據(jù)認(rèn)為取自,由此求得的各種離差平方和(如比值分布),從而定義分布函數(shù).沒有正態(tài)假定,就沒有分布,也沒有分布與統(tǒng)計(jì)推斷.(2)方差齊性假定假定數(shù)據(jù)來自方差為的正態(tài)總體,只有這樣才能在相同的條件(相等)下來分析問題.考察指標(biāo)的變化,才可以建立統(tǒng)計(jì)假設(shè),才有方差分析檢驗(yàn).(3)線性假定線性假定指數(shù)據(jù)的取得僅通過線性運(yùn)算,這樣才可以把數(shù)據(jù)當(dāng)線性模型處理,也才可以施行方差分析方法.在大數(shù)定律和中心極限定理下,正態(tài)性假設(shè)是易于確立的.數(shù)據(jù)的線性假設(shè)也符合實(shí)際,易于成立.但是,方差齊性假設(shè)不易確立.例如對于二項(xiàng)分布來說,其樣本的方差隨而變化,對于不同的數(shù)據(jù),很難保持方差齊性,所以常常用數(shù)據(jù)變化來實(shí)現(xiàn).在方差分析中,三個(gè)假定缺一不可,否則方差分析就失去了依據(jù).習(xí)題八1.解:分別以表示三種內(nèi)容的廣告宣傳的某種大型機(jī)械平均銷售量,檢驗(yàn)假設(shè),其中.計(jì)算方差分析表得如下: 表8-1方差分析表方差來源平方和 自由度均方值因素2668.1721334.0910.93誤差1098.59122.06總和3766.6711對給定的，查表得，因?yàn)椋跃芙^，即認(rèn)為廣告宣傳內(nèi)容的不同對某種大型機(jī)械銷售量的影響是有顯著的.2.解:分別以表示三個(gè)廠家生產(chǎn)的電池的平均壽命,檢驗(yàn)假設(shè),其中.計(jì)算方差分析表得如下:表8-2方差分析表方差來源平方和自由度均方值因素615.62205.211.38誤差216.41218.03總和83214對給定的，查表得，因?yàn)?，所以拒絕，即認(rèn)為不同廠家生產(chǎn)的電池的壽命是有顯著差異的.由均值差=的置信水平為的置信區(qū)間為:,,,,.故,,及的置信水平為0.95的置信區(qū)間分別為,,.3.解:表8-3直觀分析計(jì)算數(shù)據(jù)表列號水平試驗(yàn)號1234轉(zhuǎn)化率1234567891(460)112(490)223(520)331(250)2(270)3(300)1231231(甲)2(乙)3(丙)2313121.721.821.801.921.831.981.591.601.805.345.735.005.235.255.595.305.555.221.7801.9101.6671.7431.7501.8631.7671.8501.7400.2430.120.11(1)由上述表中的計(jì)算按極差的大小選取各因子的重要性,其順序是:;(2)因?yàn)樵囼?yàn)指標(biāo)越大越好,因此按原則選取各因子的水平,得最優(yōu)搭配方案:.4.解:最好的生產(chǎn)工藝條件是:5.解:分別以表示三種售價(jià)下的五個(gè)商場的平均日銷售量,檢驗(yàn)假設(shè),其中.計(jì)算方差分析表得如下: 表8-4方差分析表方差來源平方和 自由度均方值因素23.33 211.6654.12誤差34122.833總和57.3314對給定的，查表得，因?yàn)椋跃芙^;若取，查表得，因?yàn)?，所以?yīng)接受.討論:由所給的數(shù)據(jù),在的顯著水平下,我們有足夠的理由認(rèn)為各售價(jià)水平的襯衫日銷量有所不同;從所給的數(shù)據(jù)看,低價(jià)位的銷量要高于高價(jià)位的銷量.但對于,我們沒有足夠的理由認(rèn)為各售價(jià)水平的襯衫日銷量有所不同.我們由此看到,的大小體現(xiàn)了保護(hù)原假設(shè)的程度.6.解：按題意需檢驗(yàn)假設(shè)，作計(jì)算如下. ,得方差分析表如表8-5.表8-5方差分析①方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B誤差1.6211.5254.084.611141.6211.5254.081.15=1.4=10.0=47.0總和71.827由于=7.71,所以認(rèn)為時(shí)間對強(qiáng)度的影響不顯著,而溫度的影響顯著,且交互作用的影響顯著.注意：①在實(shí)際應(yīng)用中,總是先計(jì)算,對交互作用進(jìn)行實(shí)驗(yàn).如果交互作用不顯著,則將AⅹB一欄的平方和與自由度分別加到誤差這一欄中去,從新計(jì)算,用新的對因素A,因素B進(jìn)行檢驗(yàn).7.解:以A表示濃度，以表示相應(yīng)水平的效應(yīng)，以B表示溫度，各水平的效率記為，以表示交互作用AB的效應(yīng)，檢驗(yàn)假