分層隨機抽樣教學設計公開課

本小節(jié)的主要內(nèi)容為分層隨機抽樣.教材首先通過實例讓學生體會分層隨機抽樣的必要性，再結(jié)合實例介紹分層隨機抽樣的概念、各層樣本量比例分配方法、樣本均值和總體均值的計算，最后通過多次重復抽樣的方法了解樣本均值和總體均值之間的關(guān)系。

一、教學目標1.理解分層隨機抽樣的概念，了解分層隨機抽樣的特點、適用范圍和必要性;掌握各層樣本量比例分配的方法，會用分層抽樣得到的樣本均值估計總體均值。2.在課程中引導學生理解抽樣方法的多樣性，能夠根據(jù)實際問題的需求，選擇恰當?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)；3.關(guān)注學生統(tǒng)計觀念的形成，強化抽樣思想，和用樣本估計總體的思想。二、重難點重點：分層隨機抽樣的特點、適用范圍和步驟；難點：比例分配分層隨機抽樣中，用樣本均值估計總體均值。

教材分析

1.上一小節(jié)已經(jīng)提到簡單隨機抽樣在實施中有其不足之處.小節(jié)引言主要是對簡單隨抽樣可能產(chǎn)生“極端”樣本的討論，讓學生體會改進抽樣方法的必要性。在高一年級學生中實施簡單隨機抽樣，樣本可能出現(xiàn)大部分是高個子或矮個子的“極端”的樣本，使得樣本均值大幅度地偏離總體均值.顯然，從估計的角度來看“極端”樣本是“壞”樣本.為了盡可能避免“極端”樣本的出現(xiàn)，提高樣本的代表性，需要從抽樣方法上作改進.

2.問題3在問題1背景的基礎(chǔ)上，增加了男女生人數(shù)的信息.目的在于為改進簡單隨機抽樣，引入分層隨機抽樣提供輔助信息，問題3的解決過程體現(xiàn)了分層隨機抽樣解決問題的思路.在引入分層的思想之前，應該引導學生分析導致簡單隨機抽樣出現(xiàn)“極端”樣本的原因，一是總體中個體之間差異較大，二是樣本抽取的隨機性。這可以明確解決問題的方向是如何減少總體中個體之間的差異，而較為有效的辦法是將總體劃分為組內(nèi)差異小、組間差異大的若干子總體，再對各子總體分別進行簡單隨機抽樣并匯總。這樣抽取的樣本由于在各個子總體中都有代表，可以減少“極端”樣本出現(xiàn)，從整體上具有更好的代表性。

3.借助輔助變量劃分總體.因為總體身高的情況在調(diào)查之前是不知道的，所以無法直接把總體劃分為層內(nèi)身高差異小、層間身高差異大的若干子總體，通過對性別與身高的關(guān)系分析，可以發(fā)現(xiàn)性別和身高存在密切相關(guān)，男生身高相對高，女生身高相對矮，而且男女生人數(shù)的信息是已知的.利用性別這個輔助變量，可以把高一年級學生這個總體劃分成符合要求的兩個子總體.因此，劃分總體的輔助變量需要與關(guān)注的指標密切相關(guān)，這樣劃分才會有意義，而且要能確定劃分后的各子總體所含個體數(shù)或比例關(guān)系.4.確定樣本量在各子總體之間的分配.各子總體中樣本量的分配方式不止一種，教材設置了一個思考欄目，“對男生、女生分別進行簡單隨機抽樣，樣本量在男生、女生中應如何分配？”對于男、女生中樣本量的分配，學生比較容易想到的是按比例抽取男、女生的樣本量，人數(shù)多的多抽，人數(shù)少的少抽，使得每個學生抽到的概率相等，這其實就是高中階段需要掌握的比例分配.教學中，也可以提供另一種比較簡單的樣本分配方式——等額分配供學生討論，即對男、女生抽取一樣多的個體數(shù).等額分配由于沒有考慮男、女生人數(shù)，從直覺上判斷似乎沒有比例分配更合理.樣本量對估計精度的影響的準確計算需要用到很多概率知識.在實際研究中，樣本量的分配是一個比較復雜的問題，不僅要考慮不同分配方式對估計精度的影響，而且還要考慮各層抽樣調(diào)查費用的影響.顯然，這些不在高中階段討論的范圍內(nèi).5.教材以樣本量為50為例，用簡單隨機抽樣分別從男、女生中抽取23人和27人，計算男生、女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6,160.6.由于170.6可以作為男生平均身高的估計，160.6可以作為女生平均身高的估計，教材把作為總體平均數(shù)的估計.上式通過適當變形,還可以寫成如下形式從中容易看出，這個估計量就是男生、女生身高的樣本平均數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)分別為各自人數(shù)在所有學生數(shù)中所占的比例，即各層在總體中所占的比例.對各層樣本平均數(shù)加權(quán)（層權(quán)）求和是分層隨機抽樣中構(gòu)造估計量的一般思路.6.在高一學生身高分層隨機抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上，教材給出了分層隨機抽樣和比例分配的一般性定義。分層隨機抽樣有三個條件：一是每層都抽樣；二是各層都是獨立地抽樣；三是各層的抽樣都是簡單隨機抽樣，對于分層隨機抽樣計算總體均值和樣本均值，教材只對最簡單的2層的情形用符號進行了表示，在分層隨機抽樣中，總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為

這兩個平均數(shù)具有相同的形式和結(jié)構(gòu),但對總體平均數(shù)的估計,一般并不能直接用樣本平均數(shù),而是需要用各層樣本平均數(shù)關(guān)于層權(quán)的加權(quán)平均數(shù)

只有在比例分配的分層隨機抽樣中,因為

我們才可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù).從直觀上解釋,比例分配的分層隨機抽樣是一種等概率抽樣,樣本在總體的分布已經(jīng)比較均勻,不需要用權(quán)進行調(diào)整.

7.樣本量比例分配的分層隨機抽樣的一般步驟如下:(1)根據(jù)已掌握的信息,將總體分成互不相交的L層,;(2)根據(jù)總體中的個體數(shù)N,各層中的個體數(shù)和樣本容量n,計算第i層抽取的個體數(shù),使得各ni之和為n;（3）在各層中,用簡單隨機抽樣方法抽取步驟（2）確定的個體數(shù),合在一起得到容量為n'的樣本.在步驟（3）中,經(jīng)常會遇到不是整數(shù)的情況,在實際應用中有不同的處理方法.教學中,可以先按的整數(shù)位分配樣本,對剩余的樣本量,再按各層小數(shù)位的大小,從大到小逐個分配,直到分配完為止,這樣各ni之和等于n.在實際調(diào)查中,一般分層隨機抽樣都是應用于總體較大的情況,樣本量也都較大,一個層多抽取一個或少抽取一個樣本對后續(xù)的估計不會有太大的影響.

8.為了直觀感受比例分配分層隨機抽樣的估計效果,教材設置了一個探究欄目,抽取10個容量為50的樣本,計算各樣本的平均數(shù).為了便于與簡單隨機抽樣比較,把分層隨機抽樣和簡單隨機抽樣的平均數(shù)畫在同一圖上.從抽樣的結(jié)果看,雖然簡單隨機抽樣的結(jié)果大多數(shù)并不比分層隨機抽樣差,但確實出現(xiàn)了一個比較“極端”的樣本.

當然,教學中也可以引導學生進一步討論,在這些抽樣結(jié)果中,為什么分層隨機抽樣沒有明顯好于簡單隨機抽樣.原因可能是多方面的,例如,這只是10次的抽樣結(jié)果,在一定程度上也存在偶然性,比較兩種方法需更多次試驗,即由于結(jié)果具有隨機性,好的統(tǒng)計方法并不意味著每次都會有好的結(jié)果;男生層內(nèi)的身高差距和女生層內(nèi)的身高差距,相對男女生層間的身高差距來