高考數(shù)學(xué) 考點一遍過 專題24 不等關(guān)系與一元二次不等式（含解析）文試題

專題24不等關(guān)系與一元二次不等式1．不等關(guān)系了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景.2．一元二次不等式（1）會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.（3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.一、不等關(guān)系1．不等式的概念（1）現(xiàn)實世界與日常生活中，與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系．（2）用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式．2．兩個實數(shù)大小的比較（1）作差法：設(shè)a，bR，則a>b?a?b>0，a<b?a?b<0.（2）作商法：設(shè)a>0，b>0，則a>b?，a<b?.3．不等式的性質(zhì)（1）實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系①a>b?；②a=b?a?b=0；③a<b?.（2）不等式的性質(zhì)①對稱性：a>b?；(雙向性)②傳遞性：a>b，b>c?；(單向性)③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)④a>b，c>d?；(單向性)⑤可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)⑥a>b>0，c>d>0?；(單向性)⑦乘方法則：；(單向性)⑧開方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號.4．必記結(jié)論（1）a>b，ab>0?.（2）a<0<b?.（3）a>b>0,0<c<d?.（4）0<a<x<b或a<x<b<0?.（5）若a>b>0，m>0，則；(b?m>0)；；(b?m>0)．二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式：（1）一般式：；（2）頂點式：；（3）兩根式：.2．三個“二次”之間的關(guān)系判別式的圖象一元二次方程的根有兩相異實根有兩相等實根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系可知,求一元二次不等式的解集的步驟如下：（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式，即或；（2）計算：求出相應(yīng)的一元二次方程（）的根，有三種情況：；（3）畫圖：畫出對應(yīng)二次函數(shù)的圖象的草圖；（4）求解：利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集．可用程序框圖表示一元二次不等式的求解過程，如圖.4．一元二次不等式恒成立問題（1）恒成立的充要條件是：且．（2）恒成立的充要條件是：且．（3）恒成立的充要條件是：且．（4）恒成立的充要條件是：且．（5）恒成立的充要條件是：且或且．（6）恒成立的充要條件是：且或且．考向一比較大小比較大小的常用方法：（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號，得出結(jié)論．注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么無關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式的積的形式.（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論．注意：作商時各式的符號為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.（3）介值比較法：①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.②介值比較法的關(guān)鍵是通過不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個比較合適的中介值.（4）利用單調(diào)性比較大小.（5）函數(shù)法，即把要比較的數(shù)值通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性將其進一步轉(zhuǎn)化為自變量的大小問題來解決.典例1當(dāng)p,q都為正數(shù)，且p+q=1時，試比較代數(shù)式(px+qy)2與p典例2已知0<a<b<1，則，，的大小關(guān)系是A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】A【解析】因為0<a<b<1,所以,,又>1,所以<=0.綜上，得<<.故選A.【名師點睛】在用介值法比較時，中介值一般是通過放縮變形，得到一個中間的參照式（或數(shù)），其放縮的手段可能是基本不等式、三角函數(shù)的有界性等.1．已知1<A．m<nC．m>nD．m,n的大小關(guān)系不確定,與考向二求范圍的問題求范圍的問題需用到不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)中的條件與結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵.在使用不等式的性質(zhì)時，一定要注意不等式成立的前提條件，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時求n次方時，一定要注意其成立的前提條件，如果忽視前提條件就可能出現(xiàn)錯誤.求范圍的一般思路是：（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進行解答；（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運用.典例3已知1≤a-b≤2,A．[3,12]B．[5,10]C．[6,12]D．[3,10]【答案】B典例4若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且，，求f(－2)的取值范圍.令m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b∴，∴.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f∵，，∴.【名師點睛】同向不等式只能相加，不能相減.2．已知正數(shù)x,y滿足，則的最小值為A．1B．C．D．考向三一元二次不等式的解法1．解不含參數(shù)的一元二次不等式的方法：（1）若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解,即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.（2）若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述兩種方法均不能解決,則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.2．在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論,為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個方面進行考慮：（1）關(guān)于不等式類型的討論：若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，以確定不等式是一次不等式還是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；（2）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的根的討論：兩根(>0),一根(=0),無根(<0)；（3）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：.典例5解下列不等式：（1）.（2）.典例6解關(guān)于x的不等式.【解析】當(dāng)a=0時，不等式可化為x-1<0當(dāng)a≠0時，不等式可化為，則：當(dāng)a>1時，當(dāng)a=1時，當(dāng)0<a<當(dāng)a<0時，3．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是A．B．(﹣3，1)∪(2，+∞)C．(﹣1，1)∪(3，+∞)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，3)考向四一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間關(guān)系的應(yīng)用一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問題時,要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.（1）若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是對應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系.（2）若一元二次不等式的解集為或，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定對應(yīng)一元二次方程的判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍.典例7已知不等式的解集為{x|x>2（1）求b和c的值；（2）求不等式的解集.方程的兩根分別是1和，所以所求不等式的解集為.典例8已知關(guān)于x的不等式.（1）若不等式的解集為{x|x<-3或（2）若不等式的解集為，求實數(shù)k的取值范圍.若k≠0，則，解得.綜上，實數(shù)k的取值范圍為.4．若關(guān)于x的不等式的解集為(x1,x2A．B．C．D．考向五一元二次不等式的應(yīng)用對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1．分式不等式的解法若與是關(guān)于的多項式，則不等式(或<0，或0，或0)稱為分式不等式．解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式(組)求解．即;;;.對于形如a(或<a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右邊化為0，再通過商的符號法則，把它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.2．高次不等式的解法不等式的最高次項的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式．解高次不等式常用的方法有兩種：（1）將高次不等式中的多項式分解成若干個不可約因式的乘積，根據(jù)實數(shù)運算的符號法則，把它等價轉(zhuǎn)化為兩個或多個不等式(組)．于是原不等式的解集就是各不等式(組)解集的并集．（2）穿針引線法：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積；②求出各因式的實數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過)；④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號寫出解集．典例9不等式的解集為_________.【答案】典例10解關(guān)于x的不等式:

<0(a∈R).【解析】原不等式等價于：(x－a)(x－a2)<0，其對應(yīng)方程的兩根為x1＝a，x2＝a2.，分情況討論如下：①若a<0或a>1，即a2>a，則所求不等式的解集為．②若a＝0或a＝1，原不等式可化為x2<0或(x－1)2<0.此時，所求不等式的解集為.③若0<a<1，即a2<a，則所求不等式的解集為．綜上所述：當(dāng)a<0或a>1時，原不等式的解集為；當(dāng)a＝0或a＝1時，原不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為．5．不等式的解集是A．B．C．D．考向六含參不等式恒成立問題的求解策略解決含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，從解題策略的角度看，一般而言，針對不等式的表現(xiàn)形式，有如下四種策略：（1）變換主元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù).參數(shù)和未知數(shù)是相互牽制、相互依賴的關(guān)系，有時候變換主元，可以起到事半功倍的效果.（2）聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程，轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題.（3）對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．即①若在定義域內(nèi)存在最大值，則(或)恒成立(或);②若在定義域內(nèi)存在最小值，則(或)恒成立(或);③若在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)，即在定義域內(nèi)增大(或減小)時無限接近但永遠取不到的那個值，來代替上述兩種情況下的，只是等號均可以取到.（4）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求參數(shù).在不等式恒成立問題的處理中，若能畫出不等式兩邊相應(yīng)的函數(shù)圖象，恒成立的代數(shù)問題立即變得直觀化，等價的數(shù)量關(guān)系式隨之獲得，數(shù)形結(jié)合可使求解過程簡單、快捷．典例11已知不等式.（1）若對于所有的實數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；（2）若對于m∈[-2,2.由①得，；由②得，，取交集得且x≠1.∴x的取值范圍是.典例12已知函數(shù).（1）若對于x∈R，f(x)<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;（2）若對于x∈[1,3]，f(x)<5-m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.記g(x)==,x∈[1,3],易知,所以.即實數(shù)m的取值范圍為.6．若對一切x≥4恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.1．若,則下列結(jié)論正確的是A．若,則a2＞b2B．若a＞b,c＞d,則ac＞bdC．若a＜b＜0,則D．若a＞b＞0,c＜d＜0,則＜2．已知，則下列不等式一定成立的是A．B．log2(x﹣y)＞0C．x3＜y3D．3．已知全集=，集合，則A． B．C． D．4．不等式的解集為R，那么A．a(chǎn)<0,Δ<0C．a(chǎn)>0,Δ≥05．已知m=0.20.1A．n<m<pB．n<p<mC．p<n<mD．m<p<n6．如果a＞b＞0，A．M＞NBC．M=ND．M與7．不等式≤0的解集為A．(-∞,-3]B．(1,2]C．(-∞,-3]∪[1,2]D．(-∞,-3]∪(1,2]8．若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是A．[2，＋∞)B．(－∞，－6]C．[－6,2]D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)9．函數(shù)的定義域為___________.10．若關(guān)于x的不等式的解集是(1，m)，則m

=___________.11．已知實數(shù)x,y滿足：-1≤x+y≤1，-112．若關(guān)于x的不等式>0的解集為R，則k的取值范圍為___________.13．已知a>0,b>0,求證:.14．已知,≤3x+y≤,求9x+y的取值范圍.15．已知不等式ax2+x+c（1）求實數(shù)a,c（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集為A,不等式3ax+cm<016．已知不等式log2(ax（1）求a，b的值；（2）解不等式(c為常數(shù)).17．設(shè)f(x)＝ax2﹣(a＋1)x＋1.（1）解關(guān)于x的不等式f(x)＞0；（2）若對任意的a∈[﹣1，1]，不等式f(x)＞0恒成立，求x的取值范圍.1．（2017天津文科）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)．若，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．2．（2016新課標(biāo)全國Ⅱ文科）已知集合，則A． B．C． D．3．（2015浙江文科）設(shè)，是實數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．（2015浙江文科）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是A．B．C．D．5．（2015廣東文科）不等式的解集為．（用區(qū)間表示）6．（2016江蘇）函數(shù)y=的定義域是.變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】由題可得，.因為1<a<b，所以所以，即m>n2．【答案】C【解析】因為，所以設(shè)2x+y=a2x-y+b(x-3y)，即2x+y=2a+bx-a+3b因為，所以，即，即的最小值為.故選C.3．【答案】A4．【答案】D【解析】若a=0，顯然不符合題意；若a>0,則的解為-2a<x<4a,由題意可得x2-x若a<0,則的解為4a<x<-2a,由題意可得x2-x綜上可得，.5．【答案】B【解析】不等式移項得：，即，可化為：或，解得，則原不等式的解集為.故選B.6．【解析】因為m<0,所以綜上,實數(shù)m的取值范圍是.考點沖關(guān)考點沖關(guān)1．【答案】D【解析】對于A,例如,a=1,b=-2,1>-2對于B,例如,a=-1,b=-2,-1>-2,c=-3,對于C,例如,a=-2,b對于D,若c＜d＜0,所以＜,又因為a＞b＞0,所以＜，所以D正確.選D.2．【答案】D【解析】當(dāng)x＞y時，對于選項A，，由于xy對于選項B，只有x-y>1時才成立，故選項B錯誤；對于選項C，單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞y時，x對于選項D，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＞y時，成立，故選項D正確.綜上，正確的只有選項D，故選D.3．【答案】D4．【答案】A【解析】由題意知的解集為R,所以a<0,Δ5．【答案】B【解析】因為n=log0.12<0,m=0.206．【答案】A【解析】∵a＞b＞0，t＞0，∴，7．【答案】D【解析】由≤0得,解得或,則不等式≤0的解集是.故選D.8．【答案】D【解析】因為關(guān)于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，所以，解得a≤-6或a9．【答案】{x|x>【解析】由題意可得x2-2x-3>0,所以x>3或x10．【答案】2【解析】∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是(1，解得m=11．【答案】-2【解析】由題意得,.而2x+y=32(x+y)+12故2x+y的最小值是-2.12．【答案】【解析】∵關(guān)于x的不等式>0的解集為R，而x2+x+1=(x+12)2+34>0，∴13．【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=,則f(x)==1-,當(dāng)x>0時,f(x)單調(diào)遞增.∵a>0,b>0，∴a+b+ab>a+b>0，∴.則=f(a+b+ab)>f(a+b)=a+b即.14．【解析】方法一：設(shè),則2a+3b=9,