高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第一章《1.1.2 弧度制》獲獎教學(xué)設(shè)計及高中數(shù)學(xué)平面向量專題復(fù)習(xí)(含例題練習(xí))

PAGE8題目：“弧度制”教學(xué)設(shè)計學(xué)校北京十中姓名王翯聯(lián)系方課題：1.1.2弧度制一、教材分析：

1、教材地位與作用：本節(jié)課是普通高中實驗教科書人教A版必修4第一章第一節(jié)第二課時。本節(jié)課起著承上啟下的作用：在前面學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過角的度量單位“度”

，并且上節(jié)課學(xué)了任意角的概念，將角的概念推廣到了任意角；本節(jié)課作為三角函數(shù)的第二課時，該課的知識還是后繼學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)等知識的理論準(zhǔn)備，因此本節(jié)課還起著啟下的作用。通過本節(jié)弧度制的學(xué)習(xí)，我們很容易找出與角對應(yīng)的實數(shù)而且在弧度制下的弧長公式與扇形面積公式有了更為簡單形式。另外弧度制為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)帶來很大方便。

2、教材內(nèi)容分析：

新的教育理念認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)過程就是學(xué)生對有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探索，實踐與思考的過程，所以學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為學(xué)習(xí)活動的主體，教師應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者。在教學(xué)中教師首先應(yīng)考慮的是要充分調(diào)動學(xué)生的主動性與積極性，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、比較、概括、推理、交流等多種形式的活動，使學(xué)生通過這些活動，掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能。教師在發(fā)揮組織、引導(dǎo)作用的同時，又是學(xué)生的合作者。教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則．從學(xué)生熟悉的基本單位轉(zhuǎn)換入手，體會不同的單位制能給解決問題帶來方便，引導(dǎo)學(xué)習(xí)去思考尋找另一種的單位制度量角，接下來用四點來分析教材的內(nèi)容：

（1）要弄清1弧度的意義?；《戎婆c角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來有一定的困難，首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無關(guān)。其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是60進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制，其二在弧長和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡單：

（2）通過實例和幾何畫板演示，來講述1弧度的含義，這樣便于學(xué)生概念的理解，通過弧度制與角度制對比來分析、說明應(yīng)用弧度制的度量比應(yīng)用角度制的度量方法是否具有優(yōu)越性；

（3）關(guān)于弧度與角度二者的換算，教學(xué)時應(yīng)抓住：

弧度；弧度由問題3應(yīng)讓學(xué)生知道，無論是利用角度制還是弧度制，都能在已知弧長和半徑的情況下推出扇形面積公式，但利用弧度制來推導(dǎo)要簡單中些．

二、學(xué)情分析

在本節(jié)課中，學(xué)生已具備了以下學(xué)習(xí)條件：

1、知識基礎(chǔ)：學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過角的度量單位“度”

并且上節(jié)課學(xué)了任意角的概念，學(xué)生已掌握了角的概念的推廣，也具備角度制下的一些結(jié)論，如1度的角、弧長公式和扇形面積公式，這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識基礎(chǔ)。

2、心理準(zhǔn)備：目前只知道角可以用度為單位進(jìn)行度量，在尋找另一種的單位制度量角的時候思維受挫是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)在動機。

3、材料基礎(chǔ)：教材內(nèi)容的組織由淺入深、循序漸進(jìn)。

三、教學(xué)目標(biāo)：1．理解1弧度的角的意義，了解弧度制的概念，領(lǐng)會定義的合理性；了解角的集合與實數(shù)集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系；2．在親歷知識的建構(gòu)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等思想方法；3．體驗角度制與弧度制的區(qū)別、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，能進(jìn)行角度與弧度的換算，牢記特殊角的弧度數(shù)。四、教學(xué)重點與難點：1、教學(xué)重點：弧度制的概念；弧度與角度的換算2、教學(xué)難點：弧度制的概念五、教學(xué)策略與手段：采用探究式教學(xué)，以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生得到弧度制的概念、深入理解概念并應(yīng)用概念。利用PPT和幾何畫板課件靜態(tài)動態(tài)相結(jié)合，展示1弧度的角，幫助學(xué)生深入理解概念。六、教學(xué)基本流程：創(chuàng)設(shè)創(chuàng)設(shè)情境探究新知得到概念深入探究理解概念鞏固新知應(yīng)用概念總結(jié)歸納提高升華七、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)引入1、上節(jié)課我們把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角。這些角都是用“度”來度量的，這種用“度”作單位來度量角的制度稱為角度制?；貞浺幌?，在角度制中，1度的角是如何定義的？弧長公式與扇形面積公式是什么？2、在我們度量長度時，有時用“米”作單位，有時用“尺”作單位，有不同的單位制，度量重量時，可以使用“千克”、“磅”等不同的單位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的單位制呢？（二）新課講授問題一：圓心角，當(dāng)半徑為1，2，3，4時，計算圓心角所對弧長與半徑的比值。用幾何畫板演示:（1）當(dāng)圓心角不變，半徑變化時，是定值；（比值是一個實數(shù)，因此是10進(jìn)制，比角度的60進(jìn)制用起來更習(xí)慣）（2）若半徑不變，圓心角變化時，隨圓心角的變化而變化。因此，弧長與半徑的比只與圓心角的大小有關(guān)，與半徑大小無關(guān)，我們可以用這個比值來度量角，這就是度量角的另一種單位制——弧度制。與角度制中先定義1度角的大小一樣，我們也要先定義1弧度的角：定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度。幾何畫板演示：（1）1弧度的角=1，此時（是一個比的角略小的角）。（2）觀察2弧度、3弧度的角，根據(jù)定義思考它們所對的弧長與半徑是什么關(guān)系？（思考：若弧度，則弧長與半徑的數(shù)量關(guān)系是？）xAyBxAyBO問題二：根據(jù)定義，如何度量一個角的弧度數(shù)？請?zhí)顚懴旅娴谋砀癫⑺伎迹喝鐖D，半徑為的圓，圓心與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，交圓于點A，終邊與圓交于點B，填寫下表：弧的長OB旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的角度數(shù)逆時針方向逆時針方向1-20思考問題：1．OB旋轉(zhuǎn)的方向決定了角的_______，也決定了的弧度數(shù)的_______。2．若一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長是，則的弧度數(shù)是多少？3．角度與弧度都用來度量角，它們之間一定可以換算。那么它們的關(guān)系是什么？如何換算？學(xué)生討論，填表，回答問題，老師引導(dǎo)得出下列結(jié)論：結(jié)論：1．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零。這樣就在角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。2．如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是。即的值就是弧長中有多少個半徑。這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。3．弧度，弧度。練習(xí)：填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度弧度問：的角等于多少弧度？1弧度的角等于多少度？（弧度弧度；弧度）你能完成下面的換算嗎？例1（1）把下列角度化為弧度；。（2）把下列弧度化為角度2弧度；弧度。（學(xué)生板演）解：（1）弧度=弧度（弧度=弧度）弧度=弧度（2）2弧度=弧度注：用弧度制表示角時，“弧度”可略去不寫。如表示2弧度的角，就表示弧度的角；角度表示角時，單位“度”不能省略。問題三：在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式可以寫成什么形式？你能推導(dǎo)嗎？（用表示半徑，表示弧長，表示扇形面積，表示圓心角的弧度數(shù)，（（學(xué)生思考，展示推導(dǎo)過程）弧長公式：由公式及可得：。扇形面積公式：解：因為，，其中表示圓心角的度數(shù)，所以。（用圓心角的弧度數(shù)表示扇形面積）又因為，所以有（用弧長表示扇形面積）。注：弧度制下，弧長公式和扇形面積公式簡單了，這也是引入弧度制的好處。例2（1）寫出與角終邊相同的角的集合；（2）終邊在y軸上的角的集合。解：（1）與角終邊相同的角的集合：（2）終邊在y軸上的角的集合：。注：在同一個式子中，角度與弧度不能混用。（三）課堂小結(jié)：今天我們學(xué)習(xí)了一種新的度量角的單位制—弧度制：（1）我們定義了1弧度的角，在這個定義下，角的弧度數(shù)的絕對值：（2）弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系；（3）角度制與弧度制是度量角的兩種單位制，它們之間可以進(jìn)行換算；（6世紀(jì)，印度人孕育著最早的弧度制概念，1748年，數(shù)學(xué)家歐拉明確提出了弧度制思想，簡化了三角公式及計算，從弧長公式與扇形面積公式可見一斑。今后的學(xué)習(xí)中，我們將盡量采用弧度制。）（四）課后作業(yè)：（五）板書設(shè)計：弧度制一、1弧度的角定義二、公式三、弧度例題八、教學(xué)反思：弧度制是一節(jié)概念課，學(xué)生理解起來是比較困難的，這也給上課帶來了一定的難度。如何突破難點，讓學(xué)生接受弧度這一新的單位制，比較順暢的理解概念并能應(yīng)用是我備課中重點考慮的問題?；谏鲜隹紤]，我在備課中設(shè)計了幾個環(huán)節(jié)：（1）引入：通過讓學(xué)生親自計算，再用幾何畫板展示，讓學(xué)生體會用度量角的合理性，從而比較順利的引出1弧度角的概念。（2）概念理解：通過用幾何畫板演示1弧度角的大小，觀察2弧度角，3弧度角，讓學(xué)生直觀理解1弧度角的概念。（3）探究活動：讓學(xué)生填寫表格，并提出思考問題，在填表過程中讓學(xué)生總結(jié)歸納出角的弧度絕對值公式以及角度與弧度的換算關(guān)系。（4）知識應(yīng)用，在應(yīng)用過程中讓學(xué)生體會引入弧度制的必要性。（5）弧度制是一種新的度量角的單位制，其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化，教材的旁白中也有體現(xiàn)。在教學(xué)設(shè)計中充分利用了教材中的旁白，滲透數(shù)學(xué)文化教育。專題八平面向量一、復(fù)習(xí)要求一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______向量的表示1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。如（1）若，則______（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___四．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時，，注意：≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1．兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時，，同向，當(dāng)＝時，，反向，當(dāng)＝時，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）△ABC中，，，，則_________（2）已知，與的夾角為，則等于____（3）已知，則等于____（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____3．在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______4．的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時，＝，特別地，；當(dāng)與反向時，＝－；當(dāng)為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________六．向量的運算：1．幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如化簡：①___；②____；③_____2．坐標(biāo)運算：設(shè)，則：①向量的加減法運算：，。如（1）已知點，，若，則當(dāng)＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（2）已知，，則②實數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____⑥兩點間的距離：若，則。七．向量的運算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。如下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)若向量，當(dāng)＝_____時與共線且方向相同（2）已知，，，且，則x＝______（3）設(shè)，則k＝_____時，A,B,C共線九．向量垂直的充要條件：.特別地。如(1)已知，若，則（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標(biāo)是________（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是________十．向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實數(shù)比較類似).（3）在中，①若，則其重心的坐標(biāo)為。如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______四：同步練習(xí)2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：平面向量一、選擇題1．（2012年高考（重慶文））設(shè),向量且,則 （）A． B． C． D．3．