專題08 新定義問題（1）（解析版）-中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題08新定義問題（1）【規(guī)律總結(jié)】※知識精要新定義型問題是學習型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個新定義（新概念或新公式），通過閱讀題目提供的材料，理解新定義，再通過對新定義的理解來解決題目提出的問題。其主要目的是通過對新定義的理解與運用來考查學生的自主學習能力，便于學生養(yǎng)成良好的學習習慣?！c突破解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論;（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法解決題目中需要解決的問題?！镜淅治觥坷?．（2020·湖南廣益實驗中學七年級月考）規(guī)定：用表示大于的最小整數(shù)，例如，，等；用表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，如果整數(shù)滿足關(guān)系式：，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可將2x＋3[x]＝32變形為2x＋2＋3x＝32，解方程后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵x為整數(shù)，∴{x}＝x＋1，[x]＝x，∴2{x}＋3[x]＝32可化為：2（x＋1）＋3x＝32去括號，得2x＋2＋3x＝32，移項合并，得5x＝30，系數(shù)化為1，得x＝6．故選：C．【點睛】本題結(jié)合新定義主要考查解一元一次方程，比較新穎，注意仔細審題，理解新定義運算的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·河南安陽市·八年級期末）對于有理數(shù)，，定義：當時，；當時，．若，則的值為______．【答案】36【分析】根據(jù)與40的大小，再根據(jù)，從而確定m，n的值即可得出的值．【詳解】解：∵，∴40≤；∴∴（m+6）2+（n-2）2≤0，

∵（m+6）2+（n-2）20，∴m+6=0，n-2=0，

∴m=-6，n=2，∴故答案為：36．【點睛】本題考查了配方法的應用和非負數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意理解新定義的計算公式是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·北京西城區(qū)·八年級期末）給出如下定義：在平面直角坐標系中，已知點，這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點的“最佳間距”．例如：如圖，點的“最佳間距”是1．（1）點，，的“最佳間距”是__________；（2）已知點，，．①若點O，A，B的“最佳間距”是1，則y的值為__________；②點O，A，B的“最佳間距”的最大值為________；（3）已知直線l與坐標軸分別交于點和，點是線段上的一個動點．當點，，的“最佳間距”取到最大值時，求此時點P的坐標．【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）．【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出點，，任意兩點間的距離，比較后即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)三個點的坐標特點可得AB∥y軸，由此可求出OA、OB均不滿足點O，A，B的“最佳間距”是1，則可得AB＝1，從而求出y值的兩種情況；②根據(jù)OA＝3，且OA為定值，可得無論y取何值，點O，A，B的“最佳間距”的最大值為3；（3）根據(jù)題目中的已知條件，可利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，由，可判斷PE⊥x軸，同（2）②則可得出點，，的“最佳間距”取到最大值時的條件為OE＝PE，從而可列出關(guān)于m的方程，求解后即可求出點P的坐標．【詳解】解：（1）∵點，，，∴，，，∵2＜3＜，∴點，，的“最佳間距”是2．故答案為：2．（2）①∵點，，，∴AB∥y軸，∴OA＝3，OB＞OA，∵點O，A，B的“最佳間距”是1，∴AB＝1，∴y＝±1．故答案為：±1．②當－3≤y≤3時，點O，A，B的“最佳間距”是＝AB≤3，當y＞3或y＜－3時，AB＞3，點O，A，B的“最佳間距”是OA＝3，∴點O，A，B的“最佳間距”的最大值為3．故答案為：3．（3）如圖，設(shè)直線CD的解析式為y＝k1x＋b1，將，代入得：解得∴，∵，，∴PE⊥x軸，當且僅當OE＝PE時，點，，的“最佳間距”取到最大值，∵OE＝m，PE＝n＝，∴，解得，∴P（，），當點O，E，P的“最佳間距”取到最大值時，點P的坐標為（，）．【點睛】本題考查了新定義運算的綜合應用，弄清新定義的規(guī)則，并靈活應用所學知識求解是解題的關(guān)鍵．【真題演練】一、單選題1．（2020·福建省泉州實驗中學八年級月考）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形”．若是“勻稱三角形”，且，，則為（）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，由“勻稱三角形”的定義可判斷滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a，則CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根據(jù)勾股定理可求出BC、AB，則AC：BC：AB的值可求出．【詳解】解：如圖①，作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，∵∠ACB=90°，∴，又在Rt△中，AD＞AC＞BC，∴滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a，則在Rt△BCE中∠BCE=90°，∴在Rt△ABC中，∴AC：BC：AB=故選：B．【點睛】考查了新定義、勾股定理的應用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是理解“勻稱三角形”的定義，靈活運用所學知識解決問題．2．（2021·上海徐匯區(qū)·九年級一模）定義：表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)例如：，，根據(jù)你學習函數(shù)的經(jīng)驗，下列關(guān)于函數(shù)的判斷中，正確的是（）A．函數(shù)的定義域是一切整數(shù)B．函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點的一條直線C．點在函數(shù)圖像上D．函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)題意描述的概念逐項分析即可．【詳解】A、對于原函數(shù)，自變量顯然可取一切實數(shù)，則其定義域為一切實數(shù)，故錯誤；B、因為原函數(shù)的函數(shù)值是一些整數(shù)，則圖象不會是一條過原點的直線，故錯誤；C、由題意可知，則點在函數(shù)圖像上，故正確；D、例如，，即當，時，函數(shù)值均為，不是隨的增大而增大，故錯誤；故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的概念以及新定義問題，仔細審題，理解材料介紹的的概念是解題關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）定義運算“※”：，若的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為_______．【答案】0或4或6或10【分析】根據(jù)題中的新定義可分若5＞x，若5＜x，兩種情況分別求解，最后合并結(jié)果．【詳解】解：若5＞x，則=為整數(shù)，則x=0或4或6（舍）或10（舍），若5＜x，則=為整數(shù)，則x=0（舍）或4（舍）或6或10，綜上：整數(shù)x的值為：0或4或6或10，故答案為：0或4或6或10．【點睛】此題主要考查了分式的值的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是理解題中的新定義．4．（2020·浙江嘉興市·七年級期末）材料：一般地，n個相同因數(shù)a相乘：記為．如，此時3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為（即）．那么_____，_____．【答案】3；．【分析】由可求出，由，可分別求出，，繼而可計算出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可知：，則，（2）由題意可知：，，則，，∴，故答案為：3；．【點睛】本題主要考查定義新運算，讀懂題意，掌握運算方法是解題關(guān)鍵．三、解答題6．（2021·北京順義區(qū)·七年級期末）我們規(guī)定：若有理數(shù)滿足，則稱互為“等和積數(shù)”，其中叫做的“等和積數(shù)”，也叫的“等和積數(shù)”．例如：因為，，所以，則與互為“等和積數(shù)”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）有理數(shù)2的“等和積數(shù)”是__________；（2）有理數(shù)1_________（填“有”或“沒有”）“等和積數(shù)”；（3）若的“等和積數(shù)”是，的“等和積數(shù)”是，求的值．【答案】（1）2；（2）沒有；（3）-5【分析】（1）根據(jù)“等和積數(shù)”的定義列方程求解即可；（2）根據(jù)“等和積數(shù)”的定列方程求解即可；（3）根據(jù)“等和積數(shù)”的定列方程求出m和n的值，代入計算即可．【詳解】解：（1）設(shè)有理數(shù)2的“等和積數(shù)”是x，由題意得2+x=2x，解得x=2，故答案為：2；（2）設(shè)有理數(shù)1的“等和積數(shù)”是y，由題意得1+y=y，∴y-y=1，∴此方程無解，∴有理數(shù)1沒有“等和積數(shù)”；故答案為：沒有；（3）∵的“等和積數(shù)”是，∴m+=m，解得m=；∵的“等和積數(shù)”是，∴n+=n，解得n=；∴=3×()+4×()=-5．【點睛】本題考查了新定義，以及一元一次方程的應用，根據(jù)新定義列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·北京海淀區(qū)·北理工附中七年級期末）我們把稱為二階行列式，且．如：．（1）計算：_______；________；（2）小明觀察（1）中兩個行列式的結(jié)構(gòu)特點及結(jié)果，歸納總結(jié)，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有數(shù)都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式．即，你認為小明的猜想正確嗎？若正確請說明理由，若錯誤請舉出反例．（3）若，且，求x的值．【答案】（1）13；26；（2）不正確；反例見解析；（3）2．【分析】（1）各式利用題中的新定義計算即可求出值；

（2）小明的說法不正確，舉一個反例即可；

（3）已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出x的值．【詳解】解：（1）原式=2×5-1×（-3）

=10+3

=13；

原式=4×5-2×（-3）

=