五年級數(shù)學(xué)上冊 第7講 行程問題四（教師版）

第7講行程問題四內(nèi)容概述流水行船問題與環(huán)形問題．流水行船問題中，注意水速對實(shí)際速度的影響，初步了解速度的相對性；環(huán)形問題中，注意相遇和追及的周期性．典型問題興趣篇1．一條船順流行駛40千米需要2小時．水流速度為每小時2千米．這條船逆流行駛40千米需要多少小時？解：V順=40÷V船=20–2=18（千米/小時）T逆=40÷2．兩地相距480千米，一艘輪船在兩地之間往返航行，順流行駛一次需要16小時，逆流返回需要20小時，該輪船在靜水中的速度是多少？水流速度是多少？解：V順=480÷V逆=480÷V船=(V順+V逆=(30+24)÷2=27(千米/小時)V水=(V順-V逆=(30-24)÷2=3(千米/小時)3．A、B兩港相距560千米，甲船在兩港間往返一次需105小時，其中逆流航行比順流航行多用了35小時，乙船的靜水速度是甲船靜水速度的2倍，乙船在兩港間往返一次需要多少小時？解：T甲順+TT甲逆有：T甲逆=70（小時），TV甲逆=560÷70=8（千米/小時），V甲順=560÷V甲=(16+8)÷2=12（千米/小時），V水=(16-8)÷V乙=12×V乙逆=24-4=20（千米/小時），VT乙=560÷20+560÷4．A、B兩個碼頭間的水路為90千米，其中A碼頭在上游，B碼頭在下游，第一天，水速為每小時3千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航同向而行，3小時后乙船追上甲船，已知甲船的靜水速度為每小時18千米，乙船的靜水速度是多少？第二天由于漲水，水速變?yōu)槊啃r5千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航相向而行，出發(fā)多長時間后相遇？解：易知，流水行船中的追及與相遇問題，速度差與速度和都與水速無關(guān)。所以有：V乙-V甲=90V乙T相遇=90÷(18+48)=155．一條小河流過A、B、C三鎮(zhèn)，其中A、B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時11千米；B、C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡，木船在靜水中的速度為每小時3.5千米．已知A、C兩鎮(zhèn)水路相距45千米，水流速度為每小時1.5千米．某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn)，吃午飯用去1小時，接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn)，共用了7小時．請問：A、B兩鎮(zhèn)間的距離是多少于米？解：因為吃飯用了一小時，所以實(shí)際的行船時間為7-1=6小時。假設(shè)：汽船行了x小時，那么木船行了（6-x）小時。又V汽順=11+1.5=12.5（千米/小時），所以有：12.5x+5×（6-x）=45，解得：x=212.5×2=25（千米）6．甲、乙兩人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時出發(fā)，背向而行，這條公路長2400米，甲騎一圈需要10分鐘．如果第一次相遇時甲騎了1440米，請問：乙騎一圈需要多少分鐘？再過多久他們第二次相遇？解：V甲=2400÷T相遇=1440÷V乙=（2400-1440）÷T乙=2400÷第二次相遇還是需要6分鐘。7．甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步．甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出．1分鐘后，乙從起點(diǎn)同向跑出．又過了5分鐘，甲追上乙．請問：乙每分鐘跑多少米？如果他們的速度保持不變，甲還需要再過多少分鐘才能第二次追上乙？解：易知，1分鐘后，甲又距離起點(diǎn)只剩下100米了V差=100÷V乙第二次追上時，要追一圈，400米。由于速度差不變，所以追的時間也變成4倍，也就是5×4=20分鐘。8．甲、乙兩人在環(huán)形跑道上訓(xùn)練，他們從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，背向而行．兩人相遇后立即調(diào)頭，繼續(xù)前進(jìn)，一開始甲的速度是每分鐘160米，乙的速度是每分鐘120米，調(diào)頭后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一．若跑道長500米，甲、乙兩人第一次相遇地點(diǎn)與第二次相遇地點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？（環(huán)形路線上兩點(diǎn)的距離指沿跑道的最短距離）解：V甲1=V甲×（1+12V乙1=V乙×（1+13）=120T=500÷（240+160）=1.25（分）1.25×160=200（米）9．如圖7-1，四邊形ABCD是一個邊長為100米的正方形，甲、乙兩人同時從A點(diǎn)出發(fā)，甲沿逆時針方向每分鐘行75米，乙沿順時針方向每分鐘行45米．請問：兩人第一次在CD邊（不包括C、D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？解：相遇一次的時間T=100×4÷（75+45）=103分鐘，這時乙跑了45×1010．如圖7-2，學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑，兩人同時從兩跑道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？解：根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在右側(cè)的半跑道上相遇．易知小跑道上左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米,大跑道上的左、右兩側(cè)的路程均是200米．我們將甲、乙的行程狀況分析清楚．當(dāng)甲第一次到達(dá)點(diǎn)時,乙還沒有到達(dá)點(diǎn),所以第一次相遇一定在逆時針的某處．而當(dāng)乙第一次到達(dá)點(diǎn)時，所需時間為秒,此時甲跑了米,在離點(diǎn)米處．乙跑出小跑道到達(dá)點(diǎn)需要秒,則甲又跑了米,在點(diǎn)左邊米處．所以當(dāng)甲再次到達(dá)處時,乙還未到處,那么甲必定能在點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇．從乙再次到達(dá)處開始計算,還需秒,甲、乙第二次相遇,此時甲共跑了秒．所以，從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米．拓展篇1．甲河是乙河的支流，甲河水速為每小時3千米，乙河水速為每小時2千米．一艘船沿甲河順?biāo)?小時后到達(dá)乙河，共航行133千米．這艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小時？解：V甲順=133÷V船V乙逆所以T乙=84÷2．一艘飛艇，順風(fēng)6小時行駛了900公里；在同樣的風(fēng)速下，逆風(fēng)行駛600公里，也用了6小時．那么在無風(fēng)的時候，這艘飛艇行駛1000公里要用多少小時？解：V順=900÷V逆=600÷所以，V艇=（150+100）÷T=1000÷125=8（小時）3．甲、乙兩船分別從A港出發(fā)逆流而上駛向180千米外的B港，靜水中甲船每小時航行15千米，乙船每小時航行12千米，水流速度是每小時3千米．乙船出發(fā)后兩小時，甲船才出發(fā)，當(dāng)甲船追上乙船的時候，甲已離開A港多少千米？若甲船到達(dá)廖港之后立即返回，則甲、乙兩船相遇地點(diǎn)離剛才甲船追上乙船的地點(diǎn)多少千米？解：V甲逆=15-3=12（千米/小時），V所以，S差=9×T追=18÷這時候，甲已經(jīng)行了6×12=72千米。甲又走了(180-72)÷12=9小時到達(dá)B港，這時，乙離港還有180-9×（2+6+9）=27千米。他們還要27÷（15+12）=1小時才能相遇，所以追上后，又過來9+1=10小時才相遇的，這時離追上的地點(diǎn)相距9×10=90千米。4．輪船從A城行駛到B城需要3天，而從B城回到A城需要4天．請問：在A城放出一個無動力的木筏，它漂到B城需多少天？解：輪船順流用天，逆流用天，說明輪船在靜水中行天，等于水流天，所以船在靜水中的速度是水流速度的倍．所以輪船順流行天的路程等于水流天的路程，所以木筏從城漂到城需要天．5．一艘游艇裝滿油，能夠航行180個小時．已知游艇在靜水中的速度為每小時24千米，水速為每小時4千米，現(xiàn)在要求這艘游艇開出之后沿原路回港，而且中途沒有油料補(bǔ)給．請問：這艘游艇最多能夠開出多遠(yuǎn)？解：V順V逆V順：V逆=28:20=7:5，由于來回路程相等，所以T順：T逆=5:7,所以T順=180÷6．某人在河里游泳，逆流而上．他在A處丟失一只水壺，向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟了水壺，立即返回追尋，在離A處2千米的地方追到．假定此人在靜水中的游泳速度為每分鐘60米，求水流速度．解：此人丟失水壺后繼續(xù)逆流而上分鐘，水壺則順流而下，兩者速度和此人的逆水速度水速此人的靜水速度水速水速此人的靜水速度，此人與水壺的距離兩者速度和時間．此人發(fā)現(xiàn)水壺丟失后返回，與水壺一同順流而下．兩者速度差等于此人的靜水速度，故等于丟失水壺后至返回追尋前的兩者速度和，而追及距離即此人發(fā)現(xiàn)水壺丟失時與水壺的距離，所以追及時間等于丟失水壺后至發(fā)現(xiàn)丟失并返回追尋的這一段時間，即分鐘．這樣水壺一共漂了20+20=40分鐘，水流的速度等于2000÷40=50米/分。7．黑、白兩只小貓在周長為300米的湖邊賽跑，黑貓的速度為每秒5米，白貓的速度為每秒7米，若兩只小貓同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，背向而行．多少秒后兩只小貓第一次相遇？如果它們繼續(xù)不停跑下去，2分鐘內(nèi)一共相遇多少次？解：在環(huán)形跑道上面，若兩貓從同一地點(diǎn)出發(fā)，每合走一圈就會相遇一次，所以他們第一次相遇的時間為300÷（5+7）=25秒。由于每次相遇后，要再次相遇依然是合走一圈，所以，以后沒25秒它們就會相遇一次，又2×60÷25=4?20，這樣相遇了4次。8．在400米長的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，同向而行．4分鐘后，甲第一次追上乙，又經(jīng)過10分鐘甲第二次追上乙．已知甲的速度是每秒3米，那么乙的速度是多少？A、B兩地相距多少米？解：由于甲第一次追上乙后又經(jīng)過10分鐘甲第二次追上乙，所以10分鐘內(nèi)甲比乙多跑一圈400米，這樣每分鐘甲比乙多跑400÷10=40米，每秒鐘甲比乙多跑40÷60=2/3米；又甲的速度是每秒3米，所以乙的速度是每秒3-2/3=7/3米；由出發(fā)4分鐘后甲第一次追上乙，A、B兩地相距40×4=160米。9．有一個周長40米的圓形水池．甲沿著水池邊散步，每秒鐘走1米；乙沿著水池邊跑步，每秒跑3.5米．甲、乙兩人從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，同向而行，當(dāng)乙第8次追上甲時，他還需要跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？解：兩人同一地點(diǎn)出發(fā)時，乙比甲每多走一圈，乙就追上甲一次。這樣，當(dāng)乙第8次追上甲時，乙已經(jīng)比甲多跑了40×8=320米了。所以他們用時為320÷(3.5-1)=128秒，這樣甲就走了128×1=128米，也就是3圈多8米，那么他們還差40-8=32米回到出發(fā)點(diǎn)。10．甲、乙兩人在一條圓形跑道上鍛煉，他們分別從跑道某條直徑的兩端同時出發(fā)，相向而行，當(dāng)乙走了100米時，他們第一次相遇．相遇后兩人繼續(xù)前進(jìn)，在甲走完一周前60米處第二次相遇，求這條圓形跑道的周長．解：第一次相遇時，兩人合走半圈，這時乙走了100米；再到第二次相遇時，兩人又合走了1圈，這時乙應(yīng)該又走了200米。而總的路程是兩人合走了1圈半，其中甲是一圈少60米，那么乙就走了半圈多60米，所以半圈的長度為300-60=240米，那么一圈的長度就是240×2=480米11．如圖7-3，甲、乙兩輛汽車在周長為360米的圓形道上行駛，甲車每分鐘行駛20米．它們分別從相距90米的A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，背向而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當(dāng)乙車到達(dá)B點(diǎn)時，甲車經(jīng)過B點(diǎn)后恰好又回到A點(diǎn)，此時甲車立即調(diào)頭前進(jìn)，乙車經(jīng)過B點(diǎn)繼續(xù)行駛，請問：再過多少分鐘甲車與乙車再次相遇？解：右圖中C表示甲、乙第一次相遇地點(diǎn)．因為乙從B到C又返回B時，甲恰好轉(zhuǎn)一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇時，甲剛好走了半圈，因此C點(diǎn)距B點(diǎn)180－90＝90（米）．甲從A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行駛90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分別同時從A，B出發(fā)相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．12．如圖7-4，一個正方形房屋的邊長為10米，甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角同時出發(fā)，沿順時針方向前進(jìn)．甲每秒行5米，乙每秒行3米．問：出發(fā)后經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙？解：怎么才算是第一次甲看見乙，其實(shí)是當(dāng)甲剛好拐過某個角時，這時候乙跟他的距離不大于10米就可以了。又甲走一條邊的時間為10÷5=2秒，這個時間內(nèi)甲比乙多走了2×（5-3）=4米，也就是說甲每走過一條邊時，甲和乙的路程差要減少4米?，F(xiàn)在甲在乙后面20米，所以當(dāng)甲走過三條邊時，甲乙之間的路程差就只有20-4×3=8米了，這時肯定就看見乙了。這時已經(jīng)過了2×3=6秒。超越篇1．甲、乙兩艘游船順?biāo)叫械乃俣染敲啃r7千米，逆水航行的速度均是每小時5千米．現(xiàn)在甲、乙兩船從某地同時出發(fā)，甲先逆流而上再順流而下，乙先順流而下再逆流而上，1小時后它們都回到了出發(fā)點(diǎn)．請問：在這1小時內(nèi)有多少分鐘兩船的行進(jìn)方向相同？解：V順:V逆=7:5，由于對于一艘船來說，往返路程一樣，所以T順：T逆=5:7。這樣T順=60÷2．甲、乙兩船分別在一條河的A、B兩地同時相向而行，甲船順流而下，乙船逆流而上．相遇時，甲、乙兩船的航程是相等的，相遇后兩船繼續(xù)前進(jìn)．甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A地后，都立即按原來的路線返航，兩船第二次相遇時，甲船比乙船少行1000米，如果從兩船第一次相遇到第二次相遇間隔1小時20分，那么河水的流速為每小時多少千米？解：第一次相遇時兩船航程相等，所以兩船速度相等，即，得；第一次相遇后兩船繼續(xù)前行，速度仍然相等，所以會同時到達(dá)、兩地，且所用時間與從出發(fā)到第一次相遇所用時間相同，所行的路程也相等；從兩船開始返航到第二次相遇，甲、乙兩船又共行駛了、單程，由于兩船的速度和不變，所以所用的時間與從出發(fā)到第一次相遇所用時間相同，故與從第一次相遇到各自到達(dá)、兩地所用的時間也相同，所用的時間為：(小時)=1\*GB3①；返回時兩船速度差為：=2\*GB3②，故，得(千米/時)3．一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處，一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同，客船出發(fā)時有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米，客船在行駛20千米后掉頭追趕此物品，追上時恰好和貨船相遇，求水流的速度．解：5÷1/6=30(千米/小時)，所以兩處的靜水速度均為每小時30千米。50÷30=5/3(小時)，所以貨船與物品相遇需要5/3小時，即兩船經(jīng)過5/3小時候相遇。由于兩船靜水速度相同，所以客船行駛20千米后兩船仍相距50千米。50÷(30+30)=5/6(小時)，所以客船調(diào)頭后經(jīng)過5/6小時兩船相遇。30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小時)，所以水流的速度是每小時6千米。4．在一條圓形跑道上，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，反向而行．6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達(dá)B點(diǎn)，又過8分鐘兩人再次相遇，甲、乙兩人繞跑道環(huán)行一周各需要多少分鐘？解：由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分.（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系）

從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.5．有一條長度為4200米的環(huán)形車道，甲車從A點(diǎn)出發(fā)35秒后，乙車從A點(diǎn)反向出發(fā)，兩車在B點(diǎn)第一次迎面相遇，如果乙車出發(fā)的時候變換方向，即出發(fā)的時候和甲車保持同向，那么乙車將行駛完一圈之前追上甲車，并且追上甲車的地點(diǎn)恰好還在B點(diǎn)．乙車追上甲車之后立刻折返，甲車?yán)^續(xù)前進(jìn)，那么兩車會在距離A點(diǎn)300米的地方迎面相遇．求乙車的速度．解：兩次甲車都是從A點(diǎn)到B點(diǎn)，所花時間相同，因此乙車兩次的行程相等。而乙車第一次從A點(diǎn)到B點(diǎn)的方向與第二次的方向相反，也就是兩次合起來走了全程，這樣可知乙車從A點(diǎn)到B點(diǎn)恰好是全程的一半，即為2100米?？梢?，行半圈所用時間，甲車比乙車多用35秒，也就是同樣行一圈，甲車比乙車多用70秒時間而從乙車追上甲車后反向行駛，到兩車最后一次相遇，乙車行了2100＋300＝2400米，甲車行了2100－300＝1800米，可見甲乙兩車的速度比為1800∶2400＝3∶4。當(dāng)路程相同時，甲乙兩車的時間跟速度成反比，也就是等于4∶3，我們可以把甲車行一圈的時間看成4份，那么乙行一圈的時間就是3份。這樣4份比3份多70秒。也就是乙行一圈的時間為70×3=210秒，所以乙的速度為4200÷210=20米/秒。6．如圖7-5，8時10分，甲、乙兩人分別從相距60米的A、B兩地出發(fā)，按順時針方向沿長方形ABCD的邊走向D點(diǎn)，甲、乙兩人的速度相同．甲8時20分到D點(diǎn)后，丙、丁兩人立即從D點(diǎn)出發(fā)．丙由D向A走去，8時24分與乙在E點(diǎn)相遇；丁由D向C走去，8時30分在F點(diǎn)被乙追上．丙、丁兩人的速度也相同．問：三角形BEF的面積是多少平方米？解：如下圖，標(biāo)出部分時刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情況，甲10分鐘，行走了AD的路程；再看乙的情況，乙的速度等于甲的速度，乙14分鐘行走了60+AE的路程，乙20分鐘走了60+AD+DF的路程．所以乙10分鐘走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．有，有然后分析丙的情況,丙4分鐘,行了走ED的路程,再看丁的情況,丁的速度等于丙的速度,丁10分鐘行走了DF的距離．有，即5ED＝2DF．聯(lián)立，解得于是,得到如下的位置關(guān)系：7．A地位于河流的上游，B地位于河流的下游．每天早上，甲船從A地、乙船從B地同時出發(fā)相向而行，從12月1號開始，兩船都裝上了新的發(fā)動機(jī)，在靜水中的速度變?yōu)樵瓉淼?.5倍，這時兩船的相遇地點(diǎn)與平時相比變化了1千米．由于天氣原因，今天（12月6號）的水速變?yōu)?/p>