2024屆湖南省長(zhǎng)沙市湘一芙蓉中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南省長(zhǎng)沙市湘一芙蓉中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知一個(gè)扇形的圓心角為，半徑為1．則它的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，函數(shù)的最小值等于（）A． B． C．5 D．94．已知向量若與平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．25．已知，是平面，m，n是直線，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．37．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若sinA4a=A．-45 B．35 C．9．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于A． B．C． D．10．圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為______12．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=13．已知圓，直線l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線l的方程是________（用一般式直線方程表示）.14．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的值為_____________.15．設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為{Sn}．若，，則q＝______________．16．已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上移動(dòng)，則面積的最大值和最小值之差為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．如圖，在多面體中，為等邊三角形，,點(diǎn)為邊的中點(diǎn).（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.20．將函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖像自左至右相交于點(diǎn)，，，求的值.21．近年來，我國(guó)自主研發(fā)的長(zhǎng)征系列火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著我國(guó)在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為，去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度，假設(shè)，，，是以為底的自然對(duì)數(shù)，，.（1）如果希望火箭飛行速度分別達(dá)到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時(shí)，求的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）.（2）如果希望達(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，請(qǐng)問的最小值為多少（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）？由此指出其實(shí)際意義.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

直接利用扇形弧長(zhǎng)公式求解即可得到結(jié)果.【題目詳解】由扇形弧長(zhǎng)公式得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

對(duì)A選項(xiàng)，對(duì)賦值，即可判斷其最小正周期不是；利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷B、D的最小正周期不是，問題得解.【題目詳解】對(duì)A選項(xiàng)，令，則，不滿足，所以不是以為周期的函數(shù)，其最小正周期不為；對(duì)B選項(xiàng)，的最小正周期為：；對(duì)D選項(xiàng)，的最小正周期為：；排除A、B、D故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式及周期函數(shù)的定義，還考查了賦值法，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

先將化為，由基本不等式即可求出最小值.【題目詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值問題，需要先將函數(shù)化為能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】

因?yàn)?，所以由于與平行，得，解得.5、D【解題分析】

由題意找到反例即可確定錯(cuò)誤的選項(xiàng).【題目詳解】如圖所示，在正方體中，取直線m為，平面為，滿足，取平面為平面，則的交線為，很明顯m和n為異面直線，不滿足，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面，所以A正確；如果兩個(gè)平面與同一條直線垂直，則這兩個(gè)平面平行，所以B正確；由A選項(xiàng)和面面垂直的判定定理可得C也正確.本題答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

令,求出值則是截距?！绢}目詳解】直線方程化為斜截式為：，時(shí)，，所以，在軸上的截距為－3?！绢}目點(diǎn)撥】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值7、C【解題分析】

設(shè)與的夾角為，計(jì)算出、、的值，再利用公式結(jié)合角的取值范圍可求出的值.【題目詳解】設(shè)與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算平面向量的夾角，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出、、的值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、B【解題分析】

由正弦定理可得3sinBsinA=4sin【題目詳解】∵sinA4a∵sinA>0，∴tanB=4故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答．【題目詳解】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過比例的方法計(jì)算概率的問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計(jì)算方法，屬于基本題型．10、C【解題分析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.【題目詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)，解出的值，再平方，即可求解.【題目詳解】由題意，可知，，平方可得則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)常用公式關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】

由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【題目詳解】由題可得2∵c//∴4λ-2=0故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)椎方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率，確定出直線的方程即可．【題目詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線直線，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的斜率，則直線的方程為，即.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.14、【解題分析】

將已知等式，兩邊同取以為底的對(duì)數(shù)，求出，利用換底公式，即可求解.【題目詳解】，，，.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查指對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及應(yīng)用換底公式求值，屬于中檔題.15、【解題分析】將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子．即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)16、15【解題分析】

解：設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點(diǎn)分別為，如圖所示

則動(dòng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí)，若C與點(diǎn)重合時(shí)，

△ABC面積達(dá)到最小值；而C與點(diǎn)重合時(shí)，△ABC面積達(dá)到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)

∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：15三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明平面平面，然后利用平面與平面平行的性質(zhì)得出平面；（2）作于點(diǎn)，連接，證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，并計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，并利用銳角三角函數(shù)計(jì)算出的正弦值，即可得出答案.【題目詳解】（1）證明：，平面，平面，平面.同理可證平面.，平面平面.平面，平面；（2）作于點(diǎn)，連接，平面，平面，.又，，平面.則為與平面所成角，在中，，，，，，，，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行的證明，同時(shí)也考查了直線與平面所成角的計(jì)算，在計(jì)算空間角時(shí)要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則來求解，考查邏輯推理能力，屬于中等題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即可求解（2）由裂項(xiàng)相消求解即可【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以可得.（2）由題意知，可設(shè)則.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查裂項(xiàng)相消求和，注意相消時(shí)提出系數(shù)和剩余項(xiàng)數(shù)，是中檔題19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

(I)取中點(diǎn),連結(jié),利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）先證明，，可得平面，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅲ）取中點(diǎn),連結(jié)，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,過作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】(I)取中點(diǎn),連結(jié)，是平行四邊形，平面，平面,平面.(II)，又平面平面，又為等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，平面由(I)可知，平面，平面平面平面．(III)取中點(diǎn),連結(jié)，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,過作,垂足為,連接.平面平面,平面，平面.為斜線在面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行、面面垂直的證明以及線面角的求解方法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.20、（1）()；（2）【解題分析】

（1）通過“左加右減”可得到函數(shù)的解析式，從而求得的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）先求得直線與軸的交點(diǎn)為，則，又，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，從而.【題目詳解】(1)令，，的單調(diào)遞增區(qū)間是()(2)直線與軸的交點(diǎn)為，即為函數(shù)的對(duì)稱中心，且，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)平移，增減區(qū)間的求解，對(duì)稱中心的性質(zhì)及向量的基本運(yùn)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力.21、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）弄清題意，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入齊奧爾科夫斯基公式：，即可得出各個(gè)等級(jí)的速度對(duì)應(yīng)的的值；（2）弄清題意與相關(guān)名詞，火箭起飛質(zhì)量即為，將公式變形，分離出，解不等式即可得，的最小值為.【題目詳解】（1）由題意可得，，，且，，當(dāng)達(dá)到第一宇宙速度時(shí)，有