高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第33講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（原卷版+解析版 ）

第33講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．254．（2022·山東青島·二模）復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．5．（2021·全國(guó)·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2021·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．7．（2022·廣東茂名·二模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．9．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，則（

）A． B． C． D．10．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng)為1，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．11．（多選）（2022·山東濰坊·二模）若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則12．（多選）（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足方程，則（

）A．可能為純虛數(shù) B．該方程共有兩個(gè)虛根C．可能為 D．該方程的各根之和為213．（多選）（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．恒成立 B．z可能是純虛數(shù)C．可能是實(shí)數(shù) D．的最大值為14．（多選）（2022·福建·廈門(mén)一中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則（

）A．若，則B．若，則C．若與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則D．若，則15．（2022·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)______．16．（2022·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則_____________17．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)，則＝________．18．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的模為_(kāi)___________，虛部為_(kāi)___________．19．（2022·浙江·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則__________．20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足①；②的復(fù)數(shù)z，z=______．21．（2022·北京·101中學(xué)三模）設(shè)m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（這里i為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則的值為_(kāi)_____．22．（2022·天津·二模）如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，那么的最大值是______．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，為的共軛復(fù)數(shù)，有下列關(guān)于的四個(gè)命題：甲：；

乙：；丙：；

?。海绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)______.3．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，且z是復(fù)數(shù)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，則_______.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若非零復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的值是___________.5．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中a、，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱(chēng)之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則________；對(duì)于，________．第33講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.3．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．4．（2022·山東青島·二模）復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.5．（2021·全國(guó)·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.6．（2021·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.7．（2022·廣東茂名·二模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴，，.故選：B．8．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:9．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.10．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng)為1，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，且，利用得，模長(zhǎng)為1得，求出后可得.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵趶?fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以，由得，因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模長(zhǎng)為1，所以，解得，所以，.故選：C.11．（多選）（2022·山東濰坊·二模）若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則【答案】BC【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴；又，∴，B正確；對(duì)于C，∵為純虛數(shù)，∴，解得：，C正確；對(duì)于D，由題意得：，，∴，∴，D錯(cuò)誤.故選：BC12．（多選）（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足方程，則（

）A．可能為純虛數(shù) B．該方程共有兩個(gè)虛根C．可能為 D．該方程的各根之和為2【答案】ACD【分析】依題意可得或，即或，從而求出，即可判斷；【詳解】解：由，得或，即或，解得或，即方程的根分別為、、、，所以故選：ACD.13．（多選）（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．恒成立 B．z可能是純虛數(shù)C．可能是實(shí)數(shù) D．的最大值為【答案】ABD【分析】首先根據(jù)題意得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，對(duì)選項(xiàng)A，，，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，令，即無(wú)解，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值為，故D正確.故選：ABD14．（多選）（2022·福建·廈門(mén)一中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則（

）A．若，則B．若，則C．若與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則D．若，則【答案】ABC【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，則，故選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，即，則，故選項(xiàng)正確；設(shè)，因?yàn)榕c在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則，所以，，則，故選項(xiàng)正確；若，滿(mǎn)足，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.15．（2022·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可解出．【詳解】．故答案為：．16．（2022·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則_____________【答案】4【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)模的公式求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故答案為?17．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)，則＝________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法與共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可【詳解】，故故答案為：18．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的模為_(kāi)___________，虛部為_(kāi)___________．【答案】

1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與模的運(yùn)算，結(jié)合虛部的定義求解即可【詳解】由題，，故，虛部為.故答案為：；19．（2022·浙江·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【分析】先要平方差公式，再按照復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】；故答案為：.20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足①；②的復(fù)數(shù)z，z=______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)模長(zhǎng)公式得出，進(jìn)而得出.【詳解】設(shè)，由條件①可以得到，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，故，；故答案為：21．（2022·北京·101中學(xué)三模）設(shè)m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（這里i為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】先根據(jù)為純虛數(shù)計(jì)算出的值，再計(jì)算，最后計(jì)算的值【詳解】，為純虛數(shù)故答案為：22．（2022·天津·二模）如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，那么的最大值是______．【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，兩點(diǎn)間距離，結(jié)合圖形理解運(yùn)算．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得故答案為：．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，為的共軛復(fù)數(shù)，有下列關(guān)于的四個(gè)命題：甲：；

乙：；丙：；

?。海绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限、復(fù)數(shù)加法、減法、乘法和除法，結(jié)合“只有一個(gè)假命題”進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一個(gè)假命題”，所以乙是假命題，的值應(yīng)為.故選：B2．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)______.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿(mǎn)足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，即即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿(mǎn)足設(shè)，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離數(shù)形結(jié)合可知的最大值故答案為：3．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，且z是復(fù)數(shù)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，則_______.【答案】【分析】由可知，，化簡(jiǎn)可得其最值為，進(jìn)而求出的值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，，故答案為?4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若非零復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的值是___________.【答案】【分析】由題設(shè)有、易得，