新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系8.4.2空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

8．4.2空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求1．借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義．2．會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表示空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系．3．根據(jù)有關(guān)概念，學(xué)會(huì)判斷(證明)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系．素養(yǎng)要求在學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系及定義的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)與線(xiàn)和面的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線(xiàn)上和點(diǎn)在直線(xiàn)外．(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外．知識(shí)點(diǎn)2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系1．異面直線(xiàn)的定義和畫(huà)法(1)定義：_不同在任何一個(gè)平面內(nèi)__的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)．(2)畫(huà)法：如果直線(xiàn)a，b為異面直線(xiàn)，為了表示它們不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)_平面__襯托．2．空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系位置關(guān)系是否在同一平面內(nèi)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)共面直線(xiàn)相交直線(xiàn)_是__1平行直線(xiàn)是0異面直線(xiàn)_否__0想一想：如何判斷異面直線(xiàn)？提示：(1)定義法；(2)兩直線(xiàn)既不平行也不相交．練一練：1．一條直線(xiàn)與兩條平行線(xiàn)中的一條是異面直線(xiàn)，則它與另一條(C)A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行2．在三棱錐S－ABC中，與SA是異面直線(xiàn)的是(C)A．SB B．SCC．BC D．AB3．平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)直線(xiàn)的關(guān)系是_相交或異面__.知識(shí)點(diǎn)3空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系定義圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線(xiàn)在平面內(nèi)有_無(wú)數(shù)__個(gè)公共點(diǎn)a?α直線(xiàn)與平面相交_有且只有一個(gè)__公共點(diǎn)_a∩α＝A__直線(xiàn)與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)_a∥α__想一想：直線(xiàn)a與平面α平行，直線(xiàn)b?α，則a與b有怎樣的位置關(guān)系？提示：a與b平行或異面，如圖所示．練一練：直線(xiàn)l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則(D)A．l∈α B．l∥αC．l與α相交 D．l?α知識(shí)點(diǎn)4空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)兩個(gè)平面平行_α∥β__沒(méi)有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交_α∩β＝l__有一條公共直線(xiàn)想一想：平面平行有傳遞性嗎？提示：有．若α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，且α∥β，β∥γ，則α∥γ.練一練：正方體的六個(gè)面中互相平行的平面有(C)A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．4對(duì)[解析]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六個(gè)面中互相平行的平面有3對(duì)．題|型|探|究題型一直線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷典例1如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)D1C的位置關(guān)系是_平行__；(2)直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)B1C的位置關(guān)系是_異面__；(3)直線(xiàn)D1D與直線(xiàn)D1C的位置關(guān)系是_相交__；(4)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)B1C的位置關(guān)系是_異面__.[解析](1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)C，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.(2)直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．(3)直線(xiàn)D1D與直線(xiàn)D1C相交于點(diǎn)D1.(4)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．[歸納提升]判定兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的方法(1)定義法：證明兩條直線(xiàn)既不平行又不相交．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(xiàn)(如圖)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)若a和b是異面直線(xiàn)，b和c是異面直線(xiàn)，則a和c的位置關(guān)系是(D)A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形有_(2)(4)__.[解析](1)在如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，取D1C1＝a，BB1＝b，則a，b是異面直線(xiàn)，若取DC＝c，則b，c是異面直線(xiàn)，但a，c平行；若取A1D1＝c，則b，c是異面直線(xiàn)，但a，c相交；若取AD＝c，則b，c是異面直線(xiàn)，a，c也是異面直線(xiàn)．(2)如題干圖(1)中，直線(xiàn)GH∥MN；圖(2)中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線(xiàn)GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此，GH與MN共面；圖(4)中，G，M，N共面，但H?平面GMN，所以GH與MN異面，所以圖(2)、(4)中GH與MN異面.題型二直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系典例2下列五個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B)①如果a、b是兩條直線(xiàn)，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)平行；③如果直線(xiàn)a、b滿(mǎn)足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直線(xiàn)a、b和平面α滿(mǎn)足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，那么直線(xiàn)a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過(guò)BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故①錯(cuò)；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②錯(cuò)；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′與A′D′相交，故③錯(cuò)；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，則C′D′∥平面ABCD，故④正確；AA′顯然與平面ABB′A′中的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤錯(cuò)誤，故選B.[歸納提升]直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的判斷：(1)空間直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的分類(lèi)是解決問(wèn)題的突破口，這類(lèi)判斷問(wèn)題，常用分類(lèi)討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法．(2)要證明直線(xiàn)在平面內(nèi)，只要證明直線(xiàn)上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線(xiàn)與平面相交，只需說(shuō)明直線(xiàn)與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線(xiàn)與平面平行，則必須說(shuō)明直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．[解析]B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C與其余4個(gè)面相交．BD1與6個(gè)面都相交.題型三平面與平面的位置關(guān)系典例3觀察下面的兩個(gè)圖：(1)一樓、二樓的地面所在平面的位置關(guān)系是什么？(2)房頂所在平面的位置關(guān)系是什么？(3)怎樣用圖形表示兩平面的位置關(guān)系？[解析](1)平行．(2)相交．(3)①兩平行平面的畫(huà)法：畫(huà)兩平行的平面時(shí)要注意把表示平面的兩個(gè)平行四邊形畫(huà)成對(duì)應(yīng)邊平行．②兩相交平面的畫(huà)法：先畫(huà)表示兩個(gè)平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖(1)．再畫(huà)表示兩平面交線(xiàn)的線(xiàn)段，如圖(2)．再過(guò)圖(1)中線(xiàn)段的端點(diǎn)分別畫(huà)線(xiàn)段使它平行且等于(2)表示交線(xiàn)的線(xiàn)段，如圖(3)．再畫(huà)表示平面的平行四邊形的其他邊，如圖(4)．[歸納提升]平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法：(1)平面與平面相交的判斷，主要以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的判斷，主要說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(C)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．以上都不對(duì)(2)已知平面α，β，且α∥β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則直線(xiàn)a與直線(xiàn)b具有怎樣的位置關(guān)系？畫(huà)出圖形．(3)已知平面α，β，直線(xiàn)a，b，且a?α，b?β，α∩β＝l，則直線(xiàn)a與直線(xiàn)b具有怎樣的位置關(guān)系？畫(huà)出圖形．[解析](1)如圖，平面α與β的關(guān)系可以平行，也可以相交．(2)直線(xiàn)a與直線(xiàn)b平行或異面．(3)直線(xiàn)a與直線(xiàn)b平行，相交或異面．易|錯(cuò)|警|示對(duì)空間線(xiàn)面位置關(guān)系考慮不全面致誤典例4設(shè)P是異面直線(xiàn)a、b外的一點(diǎn)，則過(guò)P與a、b都平行的平面(C)A．有且只有一個(gè) B．恰有兩個(gè)C．沒(méi)有或只有一個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)[錯(cuò)解]如右圖，過(guò)P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴過(guò)a1、b1有且只有一個(gè)平面．故選A.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解是因?yàn)閷?duì)空間概念理解不透徹，對(duì)P點(diǎn)位置沒(méi)有作全面地分析，只考慮了一般情況，而忽略了特殊情形．事實(shí)上，當(dāng)直線(xiàn)a(或b)與點(diǎn)P確定的平面恰與直線(xiàn)b(或a)平行時(shí)，與a、b都平行的平面就不存在了．[正解]C[誤區(qū)警示]對(duì)于空間中的線(xiàn)面和面面位置關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)注意結(jié)合實(shí)例，全面考慮，認(rèn)真分析所有可能的情形，才能避免判斷失誤．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?過(guò)平面外一點(diǎn)，可作這個(gè)平面的平行線(xiàn)條數(shù)為(C)A．1條 B．2條C．無(wú)數(shù)條 D．不確定[解析]如圖，過(guò)P點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平面α平行．1．如果兩條直線(xiàn)a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a和b(D)A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面[解析]直線(xiàn)a、b沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，a、b可能平行，也可能異面．2．(2022·無(wú)錫高一檢測(cè))用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，l在平面α內(nèi)”，正確的是(D)A．A∈l，l?α B．A?l，l?αC．A?l，l∈α D．A∈l，l?α[解析]點(diǎn)與線(xiàn)的位置關(guān)系用“∈”或“?”表示，線(xiàn)與面的位置關(guān)系用“?”或“?”表示，則“點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，l在平面α內(nèi)”可用A∈l，l?α表示．3．如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有(B)A．3條 B．4條C．5條 D．6條[解析]EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.4．直線(xiàn)a∥平面α，α內(nèi)有n條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則這n條直線(xiàn)中與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)有(C)A