2023高考一輪復(fù)習(xí)函數(shù)知識點(diǎn)及題型歸納

2023高考一輪復(fù)習(xí)函數(shù)知識點(diǎn)及題型歸納

一、函數(shù)的及其表示

題型一：函數(shù)的概念

映射的概念：設(shè)A,8是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法那么/,對于集合A中的每一個元素在集合

8中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作A-B.

函數(shù)的概念：如果A、B都是非空的數(shù)集，那么A到8的映射AfB就叫做A到B的函數(shù)，記

作y=∕(x),其中χeA,ye8,原象的集合A叫做定義域，象的集合。叫做函數(shù)y=/(x)的值域.

映射的根本條件：

1.可以多個X對應(yīng)一個y,但不可一個X對應(yīng)多個y。

2.每個X必定有y與之對應(yīng)，但反過來，有的y沒有X與之對應(yīng)。

函數(shù)是一種特殊的映射，必須是數(shù)集和數(shù)集之間的對應(yīng)。

例1:集合P=。?！?}，Q={y∣0M∕2},以下不表示從P到Q的映射是()

A.f：χ-*y=iχB.f：X-y='C.f：Xfy=々D.f：χ->y=√7

23'3

例2：設(shè)M={xI-2WxW2},N={yI0WyW2),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,

那么f(X)的圖象可以是()

例3：以下各組函數(shù)中，函數(shù)/(X)與g(x)表示同一函數(shù)的是

一

(1)/(x)=X,g(x)=—；(2)f(x)=3x—1,g(f)=3f-1；

X

(3)/(x)=x°,g(x)=l;(4)f(x)=E,g(x)=(6)2;

題型二：函數(shù)的表達(dá)式

1.解析式法

2x3,x<0,

例4：函數(shù)/(x)=<TC

-tanx,0≤x≤-,

Vx,O<x<1假設(shè)/(。)=/(。+1),那么/(1

真題：【2023年山東卷第9題】設(shè)/(x)=V

2(x-l),x≥1'?a)

(A)2(B)4(C)6(D)8

[a?2',x20,

[2023?江西卷]函數(shù)段)=O八3WR)?假設(shè)川(-1)]=1，那么。=()

[2一x<0

A.；B.gC.1D.2

2'i_2X<1

【2023高考新課標(biāo)1文10】函數(shù)/(x)=4一'一，且/①)=—3,那么/(6-α)=()

-log2(%+l),x>l

7531

(A)-一(B)一一(C)一一(D)

4444

2.圖象法

例5：汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，假設(shè)把這一過程中汽車的行駛路程S看作

時(shí)間，的函數(shù)，其圖像可能是

例6：向高為H的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2—4所示，那么水

瓶的形狀是()

例7：如圖，半徑為1的半圓0與等邊三角形ABC夾在兩平行線4,6之間，/〃/,?I與

半圓相交于F,G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點(diǎn).設(shè)弧FG的長為x(0<x<π),y=EB+BC+CD,假設(shè)/

從4平行移動到4,那么函數(shù)y=f(χ)的圖像大致是()

真題：【2023高考北京】汽車的"燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以下列圖描述了甲、乙、

丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.以下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是

燃油效率(km∕L)

A.消耗1升汽油，

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

[2023年新課標(biāo)2文科】如圖,長方形的邊AB=2,BC=l,0是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動,記

/BOP=X,將動點(diǎn)P到48兩點(diǎn)距離之和表示為X的函數(shù)/(x),那么的圖像大致為(〕

π3π三江π

42T24

B.D.

3.表格法

例8：函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出

X123X]23

f(X)131g(X)321

那么/[g(l)]的值為；滿足/[g(x)]>g[f(X)]的X的值是.

題型三：求函數(shù)的解析式.

1.換元法

例9：/(√7+l)=x+l,那么函數(shù)/(%)=

變式1：/(2X+1)=X2-2X,那么/⑶=

變式2：f(V)=log2x,那么f(8)等于

2.待定系數(shù)法

例10：二次函數(shù)/(x)滿足條件/(0)=1及f(x+D-/(x)=2x0那么/(x)的解析式—

3.構(gòu)造方程法

例11：f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=」一,那么f(x)=_______

x-1

變式：/(x)+2∕βj=√+l,那么f(x)=

4.湊配法

例12：假設(shè)/(X-L)=X2+二，那么函數(shù)/(χ7)=_____________.

X%/

5.對稱問題求解析式

例13：奇函數(shù)/■(尤)=-—2x,(x≥θ),那么當(dāng)X≤O時(shí)，f(x)=

真題：【2023安徽卷文14】定義在R上的函數(shù)/(無)滿足/(x+l)=2∕(x).假設(shè)當(dāng)O≤x≤l時(shí)。

/(x)=x(l-x),那么當(dāng)一l≤x≤O時(shí)，/(X)=.

變式：f(x)是奇函數(shù)，且/(2-x)=∕(x),當(dāng)xe(2,3)時(shí)，/(x)=log2(x-l),那么當(dāng)Xe(1,2)時(shí),

/(?)=___________________

【2023年新課標(biāo)Il第14題】函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)Xe(-8,θ)時(shí)，f(x)?2x3+;

那么/(2)=_________________

二.函數(shù)的定義域

題型一：求函數(shù)定義域問題

1.求有函數(shù)解析式的定義域問題

例14：求函數(shù)y=二一+(廣一2)的定義域.

1jc2

°g2√16-X

真題：【2023高考湖北文6】函數(shù)/(X)=斤ΓTi+lgX2-5x±g的定義域?yàn)?)

x-3

A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(一1,3),(3,6]

(2023年江蘇省高考)函數(shù)/J3-2χ-f的定義域是▲.

2.求抽象函數(shù)的定義域問題

例15：假設(shè)函數(shù)y=∕(x)的定義域是[1,4],那么y=/(2x—1)的定義域是.

例16：假設(shè)函數(shù)y=∕(3x-1)的定義域是[1,2],那么y=∕(2x-l)的定義域是.

真題：/(x)的定義域?yàn)閇一1,2),那么/(∣x|)的定義域?yàn)?)

A.[-1,2)B.[—1,1]C.(—2,2)D.[—2,2)

題型二：函數(shù)定義域的求解問題

例17：如果函數(shù)/(x)=4^+3的定義域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)女的取值范圍是.

變式：函數(shù)〃X)=Jnr2+(加一3)"+1的值域是［θ,+oo),那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

三.函數(shù)的值域

L二次函數(shù)類型(圖象法)：

例18：函數(shù)y=/一2x-3,xe(—1,4)的值域?yàn)?/p>

換元后可化為二次函數(shù)型：

例19：求函數(shù)y=X+√1-2Λ的值域?yàn)?/p>

真題：【2023年浙江卷第5題】假設(shè)函數(shù)∕'(x)=X?++6在區(qū)間［o,i］上的最大值是M,最小

值是m,那么M-m

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

2.單調(diào)性法

例20：求函數(shù)/(乃=二」XG［1,4］的最大值和最小值。

x-5

3.復(fù)合函數(shù)法

例21：求函數(shù)/(幻=4'-2刈一3Xe［-2,4］的最大值和最小值。

真題：求函數(shù)/(x)=IOgl(X2+2x+3)的范圍。

2

4.函數(shù)有界性法

2-X2

例22：函數(shù)/(%)=——的值域?yàn)開________

1+x

5.判別式法

例23：函數(shù)/(X)=,的值域?yàn)開_______

X+X+1

6.不等式法求最值(不等式局部講解)

例24：函數(shù)/(X)=——-——的最大值是_________

1—x(l—x)

7.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及最值(詳見導(dǎo)數(shù)專題)

真題：

【2023上海文，7】設(shè)g(x)是定義在H上、以1為周期的函數(shù)，假設(shè)/(x)=x+g(x)在［0,1］上的值域?yàn)?/p>

［-2,5］,那么/(x)在區(qū)間［0,3］上的值域?yàn)?

［2023高三一模虹口區(qū)13］函數(shù)/(x)=2x+α,g(x)=χ2-6χ+l,對于任意的玉∈［—1,1］都能找到

Λ24一1,1］,使得8(々)=/(盾)，那么實(shí)數(shù)α的取值范圍是.

(2023年全國II卷高考)以下函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10'”的定義域和值域相同的是()

(A)y=x(B)尸IgX(C)y=2x(D)y=~j=

?∣x

四.函數(shù)的奇偶性

定義：假設(shè)/(—χ)=-∕(χ),或者/(—x)+∕(x)=O,那么稱/(χ)為奇函數(shù)。

假設(shè)H—i=/(x),那么稱/(九)為偶函數(shù)。

/(χ)有奇偶性的前提條件：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱。

結(jié)論：

常見的偶函數(shù)：f[x}=x2n,/(x)=∣χ,/(x)=COSX,/(χ)=∕+α-"等等。

常見的奇函數(shù)：f(x)=x2n+'?/(%)-kx,f(x)--,/(%)=sinX,f[x)=ax-a~x,

X

=；，∕W=→-^-^/(x)=log∕W∣,/(x)=bgRχ2+l±x)等等。

α+122a-1'

結(jié)論：

奇+奇=奇偶+偶=偶奇+偶=非奇非偶

奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶+常數(shù)=偶奇+常數(shù)=非奇非偶

因?yàn)?(-χ)=-∕(χ)為奇函數(shù),/(-x)=∕(x)為偶函數(shù),所以可以把奇函數(shù)看作是"負(fù)號"'把偶函數(shù)

看作是“正號”，那么有助于記憶。

題型一：判斷函數(shù)的奇偶性：

1.圖像法.

例25：畫出函數(shù)/(x)=5的圖象并判斷函數(shù),(x)的奇偶性

2.定義法：

例26：判斷函數(shù)f(x)=√l-x2+√x2-l的奇偶性

3.結(jié)論法

例27：判斷函數(shù)/(X)=/“一1+x的奇偶性

題型二：函數(shù)奇偶性的求解問題

例28：函數(shù)y=∕(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x〉0時(shí)/(X)=/一2%-3,求f(x)的解析式—

例29：/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x,0時(shí)，f(x)=x2-4x,那么，不等式/(x+2)<5的解集是

-2x+/?

例30：定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)?—-是奇函數(shù).那么a=______j?_______

2+a

v?

真題：【2023?遼寧文，6]6.假設(shè)函數(shù)/(X)=；-------二——7為奇函數(shù)，那么α=

八)(2X+1)(Λ-4Z)---------

[2023,新課標(biāo)】假設(shè)函數(shù)f(x)=XIn(X+JΣ7P^)為偶函數(shù)，那么α=

2Λ+1

【2023高考山東文8】假設(shè)函數(shù)/'(K)=Jj?是奇函數(shù)，那么使/(x)>3成立的X的取值范圍為

2-a

(2023年天津高考)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-oo,0)上單調(diào)遞增，假設(shè)實(shí)數(shù)”滿足

/(2lα-")>/(-√2),那么α的取值范圍是()

1I3133

(A)(-∞,-)(B)(-∞,-)U(-,+∞)(C)(―,—)(D)(―,+∞)

222222

[2023年山東卷第14題】/(x)是定義在R上的偶函數(shù),且/(x+4)=∕(x-2).假設(shè)當(dāng)xe[—3,0]時(shí),/(X)=6：那么

/(919)=.

0i

[2023年天津卷第6題】奇函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù).假設(shè)a=-/(Iog2-),b=/(Iog24.1),c=f(2),

那么。,久C的大小關(guān)系為

(A)a<h<c(B)h<a<c(C)c<h<a(D)c<a<h

【2023年北京卷第5題】函數(shù)/(x)=3'-《尸，那么/(X)

(A)是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)(B)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

(C)是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)(D)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

題型三：f(x)=g(x)+c,其中g(shù)(x)為奇函數(shù),C為常數(shù),那么：f(-a)+f(a)=2c

例31：O(X),3(x)都是奇函數(shù)，且/(x)=°(x)+o(X)+2在χ∈[l,3]的最大值是8,那么/(x)在

X∈[-3,-1]的最值是

真題：【2023高考新課標(biāo)文16]設(shè)函數(shù)/(%)=■+，+smX的最大值為M,最小值為∏1,那么M+m=<

X+1

【2023廣東文12】設(shè)函數(shù)/(x)=∕cosx+l.假設(shè)/(α)=ll,那么/(一。)=.

【2023重慶高考文科9]函數(shù)/(x)=a√+bsinx+4(ɑ,b∈R),/(lg(log210))=5,那么/(lg(lg2))=

A.—5B.—1C.3D.4

【2023高考文7】函數(shù)/(x)=In(J1+9父—3x)+1,那么/(lg2)+/(lg；)=()

A.-1AOclD2

題型四：利用奇偶性和周期性求函數(shù)值的問題

例32：設(shè)/(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=2x2-x,那么/⑴=().

例33：設(shè)/(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤l時(shí)，/(x)=2x(l-x),那么/(—}=

真題：(2023年四川高考)假設(shè)函數(shù)f(x)是定義R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)=4*，

那么f(g)+f(2)=。

^2

(2023年山東高考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)XVO時(shí)，f(x)=VT;當(dāng)TWXWI時(shí)，f(-?)=一f(?)；當(dāng)

*>—時(shí)，f(x+—)=f(x——).那么f(6)=

222

(A)-2(B)-1

(C)O(D)2

x+a,-l≤%<0,

(2023年江蘇省高考)設(shè)HX)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[T,1)上，/*)=<2

y-尤,OWx<l,

其中αeR.假設(shè)｛I)=W)'那么2)的值是

[2023年山東卷第14題】/(x)是定義在R上的偶函數(shù),且/(x+4)=∕(x-2).假設(shè)當(dāng)Λ∈f-3,0]時(shí),/(X)=6；那么

/(919)=.

五.函數(shù)的單調(diào)性

定義：如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值當(dāng)，/，當(dāng)xl<x2時(shí)都有f(xD<f(x2)?

那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xl、x2,當(dāng)

xl<x2時(shí)都有f(xl)>f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

定義變形：假設(shè)對任意XlHX2，都有J<0,那么/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)

X1-X2

題型一：判斷函數(shù)的單調(diào)性

1.圖像法.

例34：畫出函數(shù)/(x)=χ2—NX的圖像并判斷函數(shù)的單調(diào)性.

例35：畫出函數(shù)/(X)=Λ∣X-2∣的單調(diào)遞增區(qū)間為.

2.定義法：

證明方法步驟：1.設(shè)值2.作差(作商)3.化簡4.定號5.結(jié)論

例36：判斷函數(shù)y=X+4在在(0,2]上的單調(diào)性

X

3結(jié)論法

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

例37：寫出函數(shù)/(X)=IogM-/+4x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間

2

4.導(dǎo)數(shù)法

例38：函數(shù)/(x)=InX—工+3的單調(diào)區(qū)間

X

真題：

【2023?重慶理，5]以下區(qū)間中，函數(shù)/(x)=Iln(2—刈在其上為增函數(shù)的是().

^413

Λ.(—8,1]B.—1,—C.[0,—)D.[1,2)

【2023浙江文】假設(shè)函數(shù)/(x)=f+q(aeR),那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()

X

A.Vα∈A,/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)B.Vα∈K,/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)

C.3a≡R,7(x)是偶函數(shù)D.?z∈K,/(犬)是奇函數(shù)

x

[2023高考四川，文15]函數(shù)/(x)=2,g(x)=χ2+oχ(其中α∈R).對于不相等的實(shí)數(shù)xlfx2?設(shè)m=

;(Λ,)-∕(X2)n=g(x∣)-g(∕),現(xiàn)有如下命題：

X1-X2X1—X2

于任意不相等的實(shí)數(shù)X1，X2,都有m>0；②對于任意的α及任意不相等的實(shí)數(shù)Xi,X2,都有n>0;

③對于任意的。，存在不相等的實(shí)數(shù)Xi,X2,使得m=c；④對于任意的α,存在不相等的實(shí)數(shù)必，X2,使

得m^-n.其中真命題有(寫出所有真命題的序號).

題型二：函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題

例39：設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，假設(shè)/(1-力，求實(shí)數(shù)加的取

值范圍.

例40：函數(shù)/(X)是定義在/?上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,M)單調(diào)遞增.假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足

/(Iog2?)+/(log,a)≤2∕(l),那么a的取值范圍是()

2

A.[1,2]B.Iθ,?C.-,2D.(0,2]

(2」12」

真題：

【2023大同調(diào)研】定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)在(8,4W)上為減函數(shù),且函數(shù)y=∕(x+8)為偶函數(shù),那么：()

A-/⑹>/⑺B./(6)>/(9)C./(7)>/(9)D./⑺>/(10)

【2023山西】設(shè)函數(shù)/(X)=/,假設(shè)0≤6≤]時(shí)，∕G/cos6)+∕(l-m)>0恒成立，那么實(shí)數(shù)加的取

值范圍為.

[2023新課標(biāo)2文】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(l+∣x∣)——二,那么使得/(x)>/(2xT)成立的X的取值范圍是

1+x

()

a?Slβ?「8,J(I,+OO

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性問題:

【2023惠州調(diào)研】函數(shù)/(x)=<r+萬"_2∕≤L假設(shè)/(x)在(0,+。。)上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)α的取值

ax-a,x>?

范圍為.

{a-2)x,x≥2

[2023山西四校聯(lián)考】函數(shù)/(*)=4(]_丫_滿足對任意的實(shí)數(shù)內(nèi)≠看,都有Ja)二f(χJ<o成

1,X<2

X1-X2

立，那么實(shí)數(shù)"的取值范圍為.

六：函數(shù)的周期性

1.定義：周期函數(shù)：對于/(x)定義域內(nèi)的每一個X,都存在非零常數(shù)7,使得/(x+T)=/(x)恒成立，那

么稱函數(shù)/(x)具有周期性，T叫做/(X)的一個周期，那么4(?∈ZΛ≠O)也是f(x)的周期，所有周期

中的最小正數(shù)叫/(x)的最小正周期.

2.幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：

函數(shù)V="x)滿足對定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)X(其中α為常數(shù))，

⑴〃x)=f(x+α),那么y=∕(x)是以T=”為周期的周期函數(shù)；

⑵f(x+a)=-/(x),那么〃x)是以T=2〃為周期的周期函數(shù)；

(3)∕(x+β)=±-^-,那么〃x)是以T=2”為周期的周期函數(shù);

」(x)

(4)"x+a)="x-6),那么/(x)是以T=Ia+4為周期的周期函數(shù)；

以上(1)-(4)比較常見，其余幾種題目中出現(xiàn)頻率不如前四種高，并且經(jīng)常以數(shù)形結(jié)合的方式求解。(可

以類比三角函數(shù)的圖像進(jìn)行求解)

(5)函數(shù)y=∕(x)滿足/(α+X)=/(α-x)(α>0),假設(shè)/(x)為奇函數(shù)，那么其周期為T=4α,假設(shè)/(x)為

偶函數(shù)，那么其周期為T=2〃.

(6)函數(shù)y=∕(x)(xeR)的圖象關(guān)于直線x=α和x=b(α<8)都對稱，那么函數(shù)/(x)是以20-α)為周期的

周期函數(shù)；

(7)函數(shù)y=∕(x)(∈R)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(a,O)、8e,0)(α<6)都對稱，那么函數(shù)/(x)是以2伍-α)為周

期的周期函數(shù)；

(8)函數(shù)V=/(X)(XeR)的圖象關(guān)于A(α,O)和直線工=%(〃<與都對稱，那么函數(shù)了⑴是以4伍-為周期

的周期函數(shù)；

例41：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且對任意xeZ,者K有/(X)=—l)+∕(x+l)0假設(shè)/(—1)=6,/(1)=7,

那么/(2012)+/(-2012)=.

例42：設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)OWXWl時(shí),f(x)=x,那么f(7.5)=

例:43:在R上定義的函數(shù)y=∕(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，同時(shí)滿足/(x)=/(2—幻，那

么函數(shù)y=∕(x)()

A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

真題：【2023衡陽六校聯(lián)考】函數(shù)/(x)是(-8,W)上的偶函數(shù)，假設(shè)對于xNO,都有/(x+2)=-∕(x),

且當(dāng)尤時(shí),那么

G［0,2)/(x)=Iog2(%+1),/(—2011)+/(2012)=.

［2023高考福建】定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)/(x)恒滿足/(l+x)=∕(l-x),且x∈(-l,0)時(shí)，

/(x)=2、+",那么/(log220)=

【2023高考福建，文15】假設(shè)函數(shù)/(x)=2"d(αeA)滿足/(l+x)=f(l-x),且/(x)在［加,+為)單調(diào)

遞增，那么實(shí)數(shù)加的最小值等于.

【2023新課標(biāo)，理12】設(shè)函數(shù):(尤)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(T)=0,當(dāng)x>0時(shí)，xf'［x)-

f(x)<O,那么使得f(x)>O成立的X的取值范圍是()

(A)(-oc,-1)U(0,1)(B)(-1,O)U(l,+∞)

(C)(-00,-1)U(-1,0)(D)(O.1)U(l,+∞)

【2023年江蘇卷第14題】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間［θ,l)上，f(χ)=F/e〃其中

［x,X先D

集合D=,IX=_那么方程f(×)-lg×=O的解的個數(shù)是i

七：函數(shù)圖象的根本變換

結(jié)論：由函數(shù)y=∕(χ)可得到如下函數(shù)的圖象

1.平移：

(1)y=∕(x+m)(m>0):把函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移m的單位(如m<0那么向右平移m個單位)。

(2)y=∕(x)+m(m>0):把函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移m的單位(如水0那么向下平移m個單位)。

2.對稱：關(guān)于直線對稱

(I)(1)函數(shù)y=/(一無)與y=/(χ)的圖象關(guān)于y軸對稱。

(2)函數(shù)y=-/⑴與y=/(x)的圖象關(guān)于X軸對稱。

(3)函數(shù)y=/(χ+。)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線X=?對稱。

(II)(4)函數(shù)y=f(IXI)的圖象那么是將y=f(x)的y軸右側(cè)的圖象保存，并將y=f(x)右側(cè)的圖象

沿y軸翻折至左側(cè)。(實(shí)際上y=f(IXI)是偶函數(shù))

(5)函數(shù)y=∣f(x)I的圖象那么是將y=f(x)在X軸上側(cè)的圖象保存，并將y=f(x)在X軸下側(cè)

的圖象沿X軸翻折至上側(cè)。

3.伸縮

(1)函數(shù)y=f(mx)(m>0)的圖象可將y=f(x)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的,倍

m

得到。(如果0<m<l,實(shí)際上是將f(x)的圖象伸展)

(2)函數(shù)y=?nf(x)(m>0)的圖象可將y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小到原來的,倍

m

得到。(如果(Xm<1,實(shí)際上是將f(x)的圖象伸展)

例44：f(x)的圖象向右平移1個單位長度,所得圖象與曲線y=e*關(guān)于y軸對稱,那么f(x)=()

?x+1χ-l>-x+ln-XT

A.eBn.eCr.eD.e

例46:函數(shù)y=5喀的圖象大致為()

2—2

例48：函數(shù)y=(L)'+l的圖像關(guān)于直線y=x對稱的圖像大致是().

真題：

Lx為實(shí)數(shù)，以］表示不超過X的最大整數(shù)，那么函數(shù)/(x)=XT幻在R上為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)

【2023高考浙江文5】函數(shù)/(x)=［x-Jcosx(-萬≤x≤乃且，NO)的圖象可能為()

Y

3.函數(shù)y=1一的圖象大致是()

3-1

4.如下列圖,f?(x),f2(x),f3(x),4(x)是定義在［0,1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對［0,

x+2

1］中任意的Xi和X2,f('?)WLLf(X,)+f(X2)］恒成立"的只有()

22

[2023高考安徽】函數(shù)/(x)=-^4的圖象如下列圖，那么以下結(jié)論成立的是

(x+c)^

()

(A)?>0,b>0,c<0(B]a<0,h>0,c>0

(C)a<0,b>Q,c<Q(D)α<0,b<Q,c<O

6、(2023年全國I卷高考)函數(shù)尸2六-?'在[-2,2]的圖像大致為

(A)

(C)

八.指數(shù)函數(shù)

題裂一：指數(shù)運(yùn)算

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義:

m--11,

(∈n

=6/>0,m,πTV,n>1),a=----=l——(a>0,m,n≡N.n>1)

..Qa

a,t

(2)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì):

⑴優(yōu),優(yōu)=(。>0,r,s∈R)(2)ar÷as=(a>0,r,s∈/?)

⑶(/)'=.(Q>0,r,s∈R)(4)(ab)'=(a,b>O,rsR)

例49：化簡?

(0.1)^2(α?^3)i

例50：2x+2-x=5,求(1)4v+4^t;(2)8'+8T

瓶裂二：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

例51：以下以X為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是)

A.y=(-4)xB.y=πxC.y=-4xD.y=ax+2(a>0且a≠1)

例52：設(shè)α,4c,d都是不等于1的正數(shù)，y====在同一坐標(biāo)系中的圖像如下列圖,

那么α,"c,d的大小順序是()

^.α<b<c<dB,a<b<d<c

Cb<a<d<cX)b<a<c<d

例53：函數(shù)f(x)=ax(a>0,且“≠1)對于任意的x,y都有

(A)/(9)=∕(x)∕(y)(B)/、)=/(X)+/(y)

(C)f(x+y)=f(x)f(y)(D)/(x+y)=∕(x)+∕(y)

題型三：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

⑴指數(shù)函數(shù)的概念：

一般地，函數(shù)y=α*(α>O,且αwl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

a>l0<a<l

?！?/p>

?*

—

定義域R定義域R

____________值域{yIy>0}_________________________值域{yIy>0}_____________

在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

_____________非奇非偶函數(shù)_____________非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖像都過定點(diǎn)(0,1)函數(shù)圖像都過定點(diǎn)(0,1)

當(dāng)x>0時(shí)，y>l當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l

___________當(dāng)KO時(shí)，0<，1________________________當(dāng)Λ<0時(shí)，y>]_____________

補(bǔ)充：恒過定點(diǎn)問題：

例54：函數(shù)y=ax-2+1.(α>0且071)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)

例55：函數(shù)y=loga(2尤-3)+1的圖像必經(jīng)過點(diǎn)

例56：函數(shù)y=∕nx+3x-2〃?+1的圖像恒過定點(diǎn)、

例57：函數(shù)〃tr-2x+3沖+y+4zn-2=0的圖像必經(jīng)過點(diǎn)

421

真題：(2023年全國HI卷高考)a=V,b=y,c=25i,那么

(A)b<a<c(B)a<h<c(C)b<c<a(D)c<a<b

九.對數(shù)函數(shù)

題型一：對數(shù)運(yùn)算

⑴對數(shù)的定義：

一般地，如果α'=N(α>0,α≠l),那么數(shù)X叫做以α為底N的對數(shù)，記作：X=Iog“N(。一底數(shù),

N—真數(shù)，log.N一對數(shù)式)

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

如果α>0,且“≠l,M>0,N>0,那么：

M

①IOg“(M-N)=②log“-=③log?M"=(HeR).

注意：換底公式

IOgab=IOoCl(α>0,且“≠l;c>O,且c≠l;b>0].

IOgCa

(3)幾個小結(jié)論：

①IOgb"=；②log”VΛ7=；③log",b"'=；④log?b-logfta=

(4)對數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；log,,1=；Iog“。=

例58：?<{?(Iog23+21og2?β)(31og34-Iog32)=

例59：假設(shè)log、(、反一1)=一1,那么X=

例60：3t=12v=8,那么L-L=

例61：假設(shè)lg2=a,lg3=b,那么lgl2=,Ig45=

真題：假設(shè)點(diǎn)(a∕)在y=lgx圖像上，。聲1,那么以下點(diǎn)也在此圖像上的是()

A.(—,Z?)B.(Ioa,1—〃)C.(—,/>+1).I).,2b)

aa

【2023高考浙江，文9】計(jì)算：log?半=,2l0g23+l0gj3=.

【2023高考四川，文12]∕g0.01+∕og216=.

【2023高考上海，文8】方程1。82(91—5)=1。8式31—2)+2的解為.

【2023高考北京】如圖，函數(shù)〃x)的圖像為折線4CB,那么不等式2log?(x+l)的解集是()

A.{x∣-l<x≤θ}B.{x∣-1≤%≤1}C.{x∣-l<xWl}D.(x∣-1<Λ≤2}

疤SL二：對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴對數(shù)函數(shù)的概念：

函數(shù)y=log,,x(4>0,且“71)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是(O,+∞).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì):

a>l0<a<l

定義域{x∣x>0}定義域{χ∣χ>0}

值域?yàn)镽值域?yàn)镽

在(0,+8)上遞增在(0,+8)上遞減

函數(shù)圖像都過定點(diǎn)門，0)函數(shù)圖像都過定點(diǎn)(1,0)

當(dāng)x>l時(shí)，y>0當(dāng)x>l時(shí)，葉0

當(dāng)0〈水1時(shí)，XO當(dāng)(KKl時(shí)，Z>O

例64：函數(shù)y=lg[￡-l)的圖像關(guān)于(

A.X軸對稱B.y軸對稱C.原點(diǎn)對稱D.直線y=X對稱

*2+1

例65：y=ln——,那么函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最小值為__________

國

例66：y=log3∣x-2∣的遞增區(qū)間為

例67：假設(shè)存在正數(shù)X使2'(x-α)<l成立，那么α的取值范圍是()

A.(-oo,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-l,+∞)

λ

例68：當(dāng)(KX≤g時(shí)，4<lθgax,那么a的取值范圍是()

(A)(0,?-)(B)(?-,1)(C)(1,√2)(D)(√2,2)

題型三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例70：y=log,(2-ax)在[0,1]上是關(guān)于X的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()

A.[0,1)B.(1,2)C.[0,2)D.[2,-Ko)

真題：【2023?湖南文，8]函數(shù)/(x)=e'-l,g(x)=τ2+4χ-3,假設(shè)有/(a)=gg),那么匕的取值范

圍為_______________

題型四：比較大小題型解法：

(1)等號兩邊同時(shí)n次方

如：比較：的'和3√5,8°/和3°2的大小

⑵能化為同底那么化為同底：技巧：log*=Iog=iog&后=bgJ=]og,"等等.

例71：[2023?天津文，5]5.a=Iog23.6,b=Iog43.2,c=Iog43.6那么().

A.a>h>cB.a>c>bC.h>a>cD.Oa>b

124

例72：【重慶文?】設(shè)。=IOgl—,0=log]—,c=log3—,那么α,b,c的大小關(guān)系是().

?2?33

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

(3)和中間值"0”進(jìn)行比較：指數(shù)類都是大于零的，對數(shù)類就和Iog“1進(jìn)行比較

(4)和中間值“1〃進(jìn)行比較：指數(shù)類和進(jìn)行比較，對數(shù)類和log”。進(jìn)行比較

(5)和中間值;進(jìn)行比較：指數(shù)類進(jìn)行估值運(yùn)算，對數(shù)類和Iog“及進(jìn)行比較

(6)如果以上方法都比較不出，那么可以進(jìn)行估值比較

真題：【2023高考天津文71定義在R上的函數(shù)/(X)=2Μ嘰1(加為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記

l=/(1080.53)小=/(1(吆25)3=/(2加),那么。,。,(?,的大小關(guān)系為()

(A)?<b<c(B)C<α<b(C)α<c<b(D)CebCa

2

【2023高考全國文11]X=In乃，y=Iog52,z=e,那么()

(A)x<y<z(B)z<x<y(C)z<y<x(D)y<z<x

【2023年新課標(biāo)I卷第9題】函數(shù)/(x)=l∏Λ+ln(2-x),那么(]

A./(X)在(0,2)單調(diào)遞增B./(X)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=/(X)的圖像關(guān)于直線X=I對稱D.y=/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

十.塞函數(shù)

題型一：有關(guān)塞函數(shù)定義

例73：11)函數(shù)