北師大版九年級數(shù)學上冊期中綜合檢測試卷(解析版)

北師大版九年級數(shù)學上冊期中綜合檢測試卷（1-4）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相垂直 B.對角線相等C.四個角都是直角 D.對角線互相平分【答案】A【解析】【分析】由菱形的對角線互相平分且垂直，矩形的對角線相等且互相平分，即可求得答案．【詳解】∵菱形具有的性質(zhì)：對角線互相垂直，對角線互相平分；矩形具有的性質(zhì)：對角線相等，四個角都是直角，對角線互相平分；∴菱形具有而矩形不具有性質(zhì)是：對角線互相垂直．故選A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)．注意熟記菱形與矩形的性質(zhì)區(qū)別是關(guān)鍵．2.關(guān)于的方程解為()A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【詳解】，，，，故選C．3.如圖，一張矩形紙片ABCD的長，寬將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：A.2：1 B.：1 C.3： D.3：2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF＝AB＝a，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，即，然后利用比例的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵矩形紙片對折，折痕為EF，

∴AF＝AB＝a，

∵矩形AFED與矩形ABCD相似，

∴，即，

∴a∶b＝.

所以答案選B.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．4.如果□ABCD的對角線相交于點O，那么在下列條件中，能判斷□ABCD為矩形的是()A.∠OAB＝∠OBA B.∠OAB＝∠OBCC.∠OAB＝∠OCD D.∠OAB＝∠OAD【答案】D【解析】【分析】①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．【詳解】對于選項A，

∵∠OAB=∠OBA，

∴OA=OB，

∴AC=BD.

根據(jù)此條件，不能判斷四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意.

對于選項B，由∠OAB=∠OBC，不能判斷四邊形ABCD的鄰邊相等，故B不符合題意.

對于選項C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根據(jù)已知也可得此條件，故不符合題意.

對于選項D.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠OAB=∠ACD.

∵∠OAB=∠OAD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四邊形ABCD是菱形.

故選D.【點睛】本題考查的是平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.已知，若與的周長比為，則與的面積之比為（）A.2:3 B.3:2 C.3:4 D.4:9【答案】D【解析】【分析】由△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的周長比為2：3，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【詳解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的周長比為2:3，∴△ABC與△DEF的相似比為2:3，∴△ABC與△DEF的面積之比為4:9.故選D.【點睛】本題考查的是相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.已知a、b為一元二次方程的兩個根，那么的值為（）A.11 B.0 C.7 D.-7【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)求根公式，得出方程的兩根，即a和b的值，然后分情況代入代數(shù)式求解即可得解.【詳解】方法一：由已知得，或∴當時，=當時，=綜上所述，所求值為11，方法二：已知a、b為一元二次方程的兩個根，則有即a2=-2a+9,且a+b=-2,∴故答案為A.【點睛】此題主要考查根據(jù)一元二次方程的兩根求代數(shù)式的值，熟練掌握，即可解題.7.如圖，是正方形的邊上一點，下列條件中：①；②；③④．能使的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)四個角為直角，可得出∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若∠AEB=∠EFC，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AE垂直于EC，根據(jù)平角的定義可得出一對角互余，再由直角三角形ABE的兩個銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AB：EC=BE：CF，加上夾角∠B=∠C，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得出三角形ABE與三角形ECF相似，綜上，得出四個選項都能使三角形ABE與三角形ECF相似．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF,可得△ABE∽△ECF，則選項①能使△ABE∽△ECF；若∠AEB=∠EFC,可得△ABE∽△ECF，則選項②能使△ABE∽△ECF；若AE⊥EF,可得∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，又∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，則選項③能使△ABE∽△ECF；若AB：EC=BE：CF,再由夾角∠B=∠C=90°,可得出△ABE∽△ECF，則選項④能使△ABE∽△ECF，綜上,能使△ABE∽△ECF的選項有①②③④，共4個.故選D.【點睛】本題考查的是相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.8.如圖，已知，，，則和的面積比是（）A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25【答案】D【解析】【詳解】試題解析：∵DE∥BC，∴∠ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，BD=3，∴AB=5，∴，故選D．9.下列命題中，是真命題的是（）A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩條對角線相等的四邊形是矩形C.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊四邊形的判定方法進行判斷．【詳解】解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項A符合題意；對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項B不符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項C不符合題意；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項D不符合題意．故選：A．10.如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A.60m B.40m C.30m D.20m【答案】B【解析】【詳解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故選：B．二、填空題（共10小題，每小題3分，共30分）11.如圖中，，AB=5，AC=12，P為邊BC上一動點，于E，于F，M為EF中點，則AM的最小值為______.【答案】【解析】【分析】連接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可證得四邊形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由當AP⊥BC時，可求得AP最小值，即可得出AM的最小值.【詳解】解：如圖：當P與C不重合時，連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M為EF中點，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，當AP⊥BC時，AP值最小，此時S△BAC＝×12×5＝×13×AP，解得AP＝，∴AP的最小值為，∴AM的最小值是.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用、勾股定理的運用、三角形的面積公式、垂線段最短的性質(zhì)的運用等知識點，根據(jù)題意求出AP的最小值是解答本題的關(guān)鍵．12.為全面建設(shè)小康社會，加快推進社會主義現(xiàn)代化，力爭到年國民生產(chǎn)總值比年翻兩番．要實現(xiàn)這一目標，以十年為單位計算，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn)總值的增長率都是，那么可列方程________．【答案】【解析】【分析】2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值沒有，應(yīng)設(shè)其為1，可得翻兩番是4，根據(jù)2020年國民生產(chǎn)總值=2000年國民生產(chǎn)總值×（1+x）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】可設(shè)2000年的國民生產(chǎn)總值為1，翻一番是2，再翻一番是4，每個十年的國民生產(chǎn)總值的增長率都是x，∴2010年國民生產(chǎn)總值為1×(1+x)，∴2020年國民生產(chǎn)總值為1×(1+x)×(1+x)=(1+x)2，∴可列方程為(1+x)2=4，故答案為(1+x)2=4.【點睛】本題考查的是一元二次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.13.如圖，為正方形外一點，，，則的長為________．【答案】【解析】【分析】過點E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分線交EF于點O，則點O是△ADE的外心，DG=a，則OE=OD=a，F(xiàn)G=2a，BF=a，在Rt△DEG中，利用勾股定理求出a2，再在Rt△EFB中，利用勾股定理求出BE即可．【詳解】過點E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分線交EF于點O，則點O是△ADE的外心，∴∠AOD=2∠DEA=90°，OA=OD=OE，∴OG=DG=AG，設(shè)DG=a,則OE=OD=a，F(xiàn)G=2a，BF=a，在Rt△DEG中，DE2=EG2+DG2，∴9=(a+a)2+a2，解得a2=，∴BE====3.故答案為3.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握正方形的性質(zhì).14.某種型號的電腦，原售價7200元/臺，經(jīng)連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)售價為4608元/臺，則平均每次降價的百分率為________．【答案】20%【解析】【分析】設(shè)平均每次降價百分率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求解即可【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為，根據(jù)題意得，解得（不符合題意，舍去）故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．15.如圖，與是位似圖形，點是位似中心，若，，則________．【答案】18【解析】【分析】△ABC與△A′B′C′是位似圖形，由OA=2AA′可得兩個圖形的位似比，面積的比等于位似比的平方．【詳解】△ABC與△A′B′C′是位似圖形且由OA=2AA′．可得兩位似圖形的位似比為2：3，所以兩位似圖形的面積比為4：9，又由△ABC的面積為8，得△A′B′C′的面積為18．故答案：18.【點睛】考查了位似圖形的性質(zhì)：面積的比等于位似比的平方．16.如圖，在中，于．若不增加任何字母與輔助線，要使得四邊形是正方形，則還需增加的一個條件是________．【答案】等（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)菱形判定定理及正方形的判定定理即可解答．【詳解】解：∵在?ABCD中，AC⊥BD于O，∴四邊形ABCD是菱形，當AC=BD時，菱形ABCD就是正方形，∴要使得四邊形ABCD是正方形，則還需增加的一個條件是：AC=BD等（答案不唯一）．故答案為AC=BD等（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了正方形的判定，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即對角線相等的菱形是正方形．17.填空：解一元二次方程的方法有四種，它們是直接開平方法、________、________、________．【答案】①.配方法②.公式法③.因式分解法【解析】【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法有四種，①直接開平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法填空即可．【詳解】解一元二次方程的方法有四種，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.故答案填配方法、公式法、因式分解法.【點睛】本題考查了解一元二次方程的方法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元二次方程的方法.18.書架上有兩套同樣的書，每套書分上下兩冊，在這兩套書中隨機抽取出兩本，恰好是一套書的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題需求出總的基本事件數(shù)和符合條件的額基本事件數(shù)，由古典概型公式可得．【詳解】從4本書中隨機抽取出兩本共有6種情況，恰好組成一套教材需從兩本上冊和下冊中各取一本，故恰好組成一套教材的情況數(shù)共有2×2=4種，故所求概率為：=.故答案為.【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出總的基本事件數(shù)和符合條件的額基本事件數(shù)再由古典概型公式可得.19.如圖，正方形的對角線交于點O，以為邊向外作，，連接，，，則另一直角邊的長為_____．【答案】10【解析】【分析】過點O作于點M，作，交的延長線于點N，根據(jù)，易得四邊形是矩形，，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)得到，，得到，推出，推出，推出四邊形是正方形，根據(jù)，推出，推出，推出．【詳解】解：過點O作于點M，作，交的延長線于點N，則，∵，∴四邊形是矩形，，∵正方形的對角線交于點O，∴，，∴∴，∴，∴，，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案：10．【點睛】本題主要考查了正方形，全等三角形，等腰直角三角形．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直三角形邊的性質(zhì)．20.如圖，在中，，點、同時由、兩點出發(fā)，點在上沿方向以的速度移動，點在上沿方向以的速度移動，則________秒鐘后，的面積為？【答案】或【解析】【分析】設(shè)P、Q同時出發(fā)x秒鐘后，AP=2xcm，PC=（12-2x）cm，CQ=xcm，此時△PCQ的面積為：×x（12-2x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值．【詳解】設(shè)P、Q同時出發(fā)x秒鐘后,△PCQ的面積為8cm2.依題意得：×x(12?2x)=8，解得x=2或x=4.故答案是：2或4.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的應(yīng)用.三、解答題（共6小題，每小題10分，共60分）21.解方程：．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】【分析】（1）先移項得到x2-6x+5=0，再利用因式分解法解方程即可；（2）利用直接開平方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用直接開平方法解方程即可.【詳解】解：∵，

∴，

∴或，

∴，；∵，

∴，；∵，

∴，

∴，；∵

即或，

∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵要掌握一元二次方程的幾種解法.22.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠BDF＝18°．【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運用定理進行推理是解題的關(guān)鍵．注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．23.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元.【解析】【分析】（1）根據(jù)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降價3元，則平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天銷售數(shù)量為20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可．【詳解】（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為20+2×3=26件．（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．根據(jù)題意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20應(yīng)舍去，∴x=10．答：每件商品應(yīng)降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵．24.如圖，正方形AEFG的頂點E在正方形ABCD的邊CD上；AD的延長線交EF于H點．（1）試說明：△AED∽△EHD（2）若E為CD的中點，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ADE=∠HDE=90°，∠AEH=90°，求出∠DAE=∠DEH，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，即可求出答案．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠HDE=90°，∵四邊形AEFG是正方形，∴∠AEH=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠DEH，∵∠ADE=∠HDE=90°，∴△AED∽△EHD；（2）∵△AED∽△EHD，∴，∵E為CD的中點，∴DC=2DE，∴AD=2DE，∴，∴．考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)．25.將正面分別寫著數(shù)字1，2，3的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地，顏色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，這三張卡片看上去無任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，從中先隨機抽取一張卡片，記該卡