第07講 拓展二：數(shù)列求和（原卷版）

第07講拓展二：數(shù)列求和一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：倒序相加法即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.知識(shí)點(diǎn)二：分組求和法1如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.知識(shí)點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無(wú)理型=1\*GB3①如：3、指數(shù)型①如：4、通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型如：①②本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.知識(shí)點(diǎn)四：錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．知識(shí)點(diǎn)五：奇偶項(xiàng)討論求和1、通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：角度1：求的前項(xiàng)和角度2：求的前項(xiàng)和2、通項(xiàng)含有的類型；例如：二、題型精講題型01倒序相加法1．（2023秋·山東濰坊·高三山東省安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，則（

）A． B．2017 C．4034 D．80682．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．230 B．115 C．110 D．1003．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，若，試求：（1）；（2）．5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)，則；數(shù)列滿足，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.題型02分組求和法1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)滿足，若，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023秋·廣東潮州·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且；(1)求它的通項(xiàng)(2)若，求數(shù)的前項(xiàng)和.4．（2023秋·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前三項(xiàng)分別為(1)求的通項(xiàng)公式(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型03裂項(xiàng)相消法（等差型）1．（2023秋·廣東惠州·高三博師高中校考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列且為數(shù)列的前項(xiàng)和，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023秋·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，且與的等差中項(xiàng)為5.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型04裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型）1．（2023春·河南南陽(yáng)·高二鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2023秋·重慶北碚·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的值．4．（2023春·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型05裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型）1．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2023春·山東日照·高二統(tǒng)考期中）將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…的各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫(xiě)成如圖的三角形數(shù)表.(1)設(shè)數(shù)表中每行的最后一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．題型06裂項(xiàng)相消法（通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則．2．（2023秋·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.3．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型07錯(cuò)位相減法1．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.2．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023秋·江蘇蘇州·高二星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型08奇偶項(xiàng)討論求和（求的前項(xiàng)和）1．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和.題型09奇偶項(xiàng)討論求和（求的前項(xiàng)和）1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.2．（2023春·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.(1)記，寫(xiě)出、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.題型10通項(xiàng)含絕對(duì)值數(shù)列求和1．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式(2)若，求的前項(xiàng)和.2．（2023春·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）在