數(shù)學(xué)（江蘇專用2024新題型）-金卷：2024年高考第二次模擬考試參考解析

2024年高考第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)（江蘇卷）·全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．某校高一年級(jí)15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：858788898990919192939393949698則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（

）A．90 B．91 C．90.5 D．92【答案】C【解析】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C2．已知雙曲線的離心率，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，所以，由，解得.故選：A.3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．150 B．120 C．75 D．68【答案】D【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，，故選：D.4．已知角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，化?jiǎn)得，所以，又，所以，故選：A．5．已知在中，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，又點(diǎn)在邊上，且，則，故選：A.6．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則【答案】D【解析】

如圖所示正方體，對(duì)于A，若對(duì)應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若對(duì)應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若對(duì)應(yīng)直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，且，又，是兩個(gè)不同的平面，則，故D正確.故選：D7．2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場(chǎng)舉行．秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（

）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí)，排列方案有種；當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí)，排列方案有種；故不同的傳遞方案有種，故選B8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，即，、令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，即；令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，故，即，故有.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知復(fù)數(shù)，，，則（

）A． B．的實(shí)部依次成等比數(shù)列C． D．的虛部依次成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，的?shí)部分別為1，3，9，所以，，的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；因?yàn)椋?，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；，故C正確.故選：ABC.10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由，令，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，令，則，因，故，令，則①，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，則，令，則②，由①可得：③，由①③可知：，且函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，令，則，因，，，故得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由上可知：，則，故函數(shù)的一個(gè)周期為8.令，則，即有，因函數(shù)是偶函數(shù)，故有，由函數(shù)的一個(gè)周期為8，則，由上知：，于是：，則，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】25【解析】中常數(shù)項(xiàng)為1，項(xiàng)為，因此所求常數(shù)項(xiàng)為．13．甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則.【答案】/【解析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.14．在三棱錐中，兩兩互相垂直，，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.【答案】/0.75【解析】設(shè)，則，由題意知兩兩互相垂直，可得三棱錐的體積為，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值，設(shè)此時(shí)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則，則，則即，解得，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值.（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解】（1），，則，解得.（2），由題設(shè)可知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的附近的符號(hào)發(fā)生變化.令，則，若，則，則為上為增函數(shù)，在上至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若，則，故在上為增函數(shù)，若，則，故在上為減函數(shù)，故，故.又且，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)；下證當(dāng)時(shí)，總有.令，則，當(dāng)時(shí)，，故為上的減函數(shù)，故，故成立.令，則，故當(dāng)時(shí)，有，取，則當(dāng)時(shí)，有，故，故在上，存在實(shí)數(shù)，使得，由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性可知可得在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．（本小題滿分15分）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.【解】（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.17．（本小題滿分15分）如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.

(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【解】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由題意可知多面體的棱長(zhǎng)全相等，且四邊形為正方形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理平?又平面平面，所以四點(diǎn)共面.又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面平面，所以平?（2）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以.設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.18．（本小題滿分17分）已知橢圓的右焦點(diǎn)是F，上頂點(diǎn)A是拋物線的焦點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，證明：直線過定點(diǎn)．【解】（1）由題意知，即，．從而,故橢圓；（2）∵在中，,且,從而由得,設(shè)，則，解得：或（舍去），所以直線l過定點(diǎn)．19.（本小題滿分17分）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.【解】（1）滿足條件的數(shù)表為，所以的值分別為5，5，6.（2）若當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得.由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為.①若存在（為偶數(shù)，），使得，交換和的位置，所得