高中數學講義（人教A版必修二）：第07講 平面向量基本定理（教師版）

第07課平面向量基本定理

號目標導航

課程標準課標解讀

1.在課本知識學習的基礎上，加上初中階段對數軸的理

1.理解平面向量基本定理及其意義，了解解，以及物理知識中里的分解的知識，進一步理解平面

向量基底的含義.向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.

2..掌握平面向量基本定理，會用基底表示2.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標系，

更應該學會用基底表示平面向量.

平面向量.

3.在掌握基礎知識的基礎上，學會學習致用，會應用平

3.會應用平面向量基本定理解決有關平

面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題.

面向量的綜合問題.

鱉|□識精講

知識點平面向量基本定理

1.平面向量基本定理：如果ei，e?是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量”,

有且只有一對實數為,%2，使。=九01+%02.

2.基底：若ei，e2不共線，我們把｛ei，e2｝叫做表示這一平面內所直向量的一個基底.

【即學即練】(多選)下列結論正確的是()

2

A.已知向量。=(九2)力=(-3,1),且〃與b的夾角為銳角，則幾

B.一ABC中，b=3,c=5C=g則..ABC有兩解

C.向量a=(-1,2),。=(5,7)能作為所在平面內的一組基底

1?

D.已知平面內任意四點。，A,B,尸滿足OP=§OA+：OB,則A,B,尸三點共線

【答案】CD

【詳解】對于A,由a=(42),6=(-3,1),貝心力=2-3幾，卜|="+%2,|&|=V9TT=7W,

由cos(〃/片麗，且a與人的夾角為銳角，則cos《/)>0,Jio(4+7),

2

即2—32>0,解得幾<—，

3

且cos(a,?wl,向量a/不共線，即;1+6片0,解得幾片一6,故A錯誤；

對于B,根據余弦定理，則，=/+加-2ai>cosC,BP3=a"+9—2a-3-cos—,

整理可得。2一3。+6=0,A=9-4x6=-15<0,三角形無解，故B錯誤；

I=5/1-

對于C,設a=X。，貝Uc「，顯然該方程組無解，即。力不共線，故C正確；

12=7z

對于D,由OP=：O4+go2,30P=OA+2O8，OP-OA=2(OB-OP),AP=2PB，貝UA，B,尸三點共

線，故D正確.

故選：CD.

反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意點

(1)根據平面向量基本定理可知，同一平面內的任何一個基底都可以表示該平面內的任意向量.用基底表示

向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算.

(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量.

J'能力拓展

考法01平面向量基本定理的理解

【典例1］已知G是ABC的重心，點。滿足8。=。。，^GD=xAB+yAC,則x+y為()

【答案】A

【詳解】解：因為3D=DC，

又因為G是AABC的重心，

所以GO=；A。，

又因為。為3c中點，

所以A￡>」A8+LAC,

22

所以G￡>=JdAB+』AC）」AB+』AC,

32266

所以x=y=J,

6

所以x+y=g.

故選：A

【變式訓練】我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副"弦圖"給出了勾股定理的證明，后人稱其為

"趙爽弦圖"，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"

中，已知AE=3EF,A2=a,AD=6,則AE=（）

D

1297161274334]

A.——aH-----bB.——a-\----bC.—a+—b7D.—a+—b

252525255555

【答案】A

【詳解】由題意

3333393939

AE=-AF=-(AB+BF)=-(AB+-ED)=-AB+—ED=-AB+—(AD-AE)=-AB+—AD-AE,

4444416416416

253939

即上A石=+二=+二b,

16416416

129

所以A￡=——a+——b

2525

故選：A.

考法02用基底表示向量

【典例2］如圖，在.ABC中，BD=4DC，貝1JA￡>=()

41

B.-AB+-AC

5555

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

6666

【答案】A

4

【詳解】AD=AB+BD=AB+-BC

4/\14

=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

故選：A

【變式訓練】《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現

象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形A3CDEFG//,其中。為正八邊形的中心,

則下列說法不正確的是（

圖1

A.OA-ED=DOB.AB=EFc.OB+OD=6OCD.4〃和CE能構成一組基底

【答案】B

【詳解】在正八邊形ABCDEFGH中，

對于A,OA-ED=EO-ED=DO,所以選項A正確；

對于B,AB=FE=-EF，所以選項B錯誤；

對于C,在正八邊形ABCDEFGH中，因為="斗=|。。|,ZD0B=^-x2=^,所以以向量OB和向量

0。為鄰邊的平行四邊形為正方形，對角線長度為因為/COB=/COD=?,所以OB+OD的方向

與向量0。方向相同，且長度為向量0C長度的0倍，所以OB+OZ）=0OC，所以選項C正確；

對于D,由圖可知向量AG和CE為相等向量，所以向量AH和CE不共線，故和CE能構成一組基底，所

以選項D正確.

故選：B.

考法03平面向量基本定理的應用

【典例3】在平行四邊形A3CD中，AB=3,AD=4,ZBAD=60，點E是BC的中點，CF=2如，貝！1AE.8尸=

()

A.-6B.-2C.2D.6

【答案】D

【詳解】AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,

22

2.2———2_

BF=BC+CF=BC+-CD=BC——DC=AD——AB,

333

(1)(2)22212

/.AE.BF=\AB+-ADV\AD--AB\=--AB+-ABAD+-AD

291

=——x32+—x3x4xcos60°+—x42=6.

332

【變式訓練】銳角三角形ABC中，。為邊3C上一動點（不含端點），點。滿足49=300,且滿足

A°='AB+〃AC'則2的最小值為（）

16

D.T

【答案】D

【詳解】依題意AO=3Or>=3AD=』(A5+Br))=3AB+ag。,

44、744

33Y

^BD=xBC(Q<x<i),貝!JAO=[A3+彳5c

A0.吟(AC-AB)「嗚AC

3-3x3x14}__4_

所以4=

4'〃=]工3—3x'//3x

所以;+，=44

-----1----

Z〃3-313x

Y1—Y1

當且僅當H=T'X=I'X=5時等號成立.

故選：D

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.在,.ABC中，點。在邊A5上，5=3。3.記CA=〃,CO=b,則CB=()

A.—a+—bB.——a+—bC.—a——bD.—a+—b

33333333

【答案】B

【詳解】因為點。在邊AB上，AD=3DB,

1I

所以BPCD-CB=-(CA-Cr>),

33

所以CB=-ga+?.

故選:B.

\CD\

2.在四邊形A5co中，AB!/CD,若AC=2AB+〃AQ(2,〃eR),且X+〃=3,則

\AB\

B.3C.~2D.2

【答案】D

如圖，過C作CE//AD,又因為AB//CD,

所以四邊形ADCE是平行四邊形,

所以AC=AE+A。,

XH>JAC=2AB+//A￡)(2,//GR),

所以〃=1,AE=2AB,

又因為彳+〃=3,所以2=2,

CD

所以AE=2AB=Od,所以——=2.

AB

故選:D.

3.如圖，已知。4=原08=瓦00=△43=28。，則＜i=（）

3-1

C.2d-bD.—a——b7

22

【答案】A

【詳解】因為A3=25C，^OB-OA=2（OC-OB）,

3131

t^OC=-OB——OA=-b——a,

2222

故選：A.

4.若向量。與〃是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（）

A.-a與〃+/?B.a+b2a+b

C.2。-5〃與-4々+108D.2a+Z?與a+2b

【答案】C

（1=—A

【詳解】對于A,假設存在實數彳，使a+。=4（-“），則，八,方程組無解，即不存在實數彳，使a+b=2（-“）,

1=0

即-。與a+Z?不共線，A不選;

對于B,假設存在實數4,使。+6=斗。+力，貝"]金，方程組無解，即不存在實數X,使。+6=2（2〃+耳,

即與2a+6不共線，B不選；

z、[2=-4彳1

對于C,假設存在實數4,使2〃-56=2-4。+10。，則解得人即2a-51與Yd+106共

1—5=10Z2

線，選C；

對于D,假設存在實數2,使2a+6=4卜+2＞），則]=22，方程組無解，即不存在實數2,使2。+6=+24,

即2a+方與a+26不共線，D不選；

故選：C

5.如果｛3e?｝表示平面內所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（）

A.4,q+%B.6]_2e?,e?一2q

C.ex-2e2,4^2-2exD.ex-e2

【答案】C

【詳解】根據平面基底的定義知，向量生令為不共線非零向量，即不存在實數彳，使得6=彳4，

對于A中，向量e2和q+e2，不存在實數幾，使得令=〃烏+4）,可以作為一個基地；

對于B中，向量q—2q和e；—2e「假設存在實數2,使得6-24=〃4-2叩，

fl=—2/1一一一一

可得c,,此時方程組無解，所以e「2e,和e2-2q可以作為基底；

1—2=A

對于C中，向量e；—2/和4%-2令，假設存在實數2,使得與一24=〃44一2冬），

（1=—2A1一一一一

可得c解得2=-彳，所以4-2?2和4e,-2q不可以作為基底；

[—2=4Z2

對于D中，向量q+s和6一』，假設存在實數之，使得弓+/=%（61-/）,

fl=X-.一一

可得1=_彳，此時方程組無解，所以6+02和q-02可以作為基底；

故選：C.

6.(多選)已知q,4是平面內的一組基底，則下列說法中正確的是()

A.若實數m,〃使me{+ne2=0,則加=〃=0

B.平面內任意一個向量〃都可以表示成［二相6十“4，其中相，〃為實數

C.對于加，neR,…不一定在該平面內

D.對平面內的某一個向量〃，存在兩對以上實數相，〃，^a=mex+ne2

【答案】AB

【分析】根據基底的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：根據基底的定義知AB正確；

對于C,對于加，neR,在該平面內，故C錯誤；

對于D,m,九是唯一的，故D錯誤.

故選:AB.

7.(多選)在下列向量組中，可以把向量。=(3,2)表示出來的是()

A.G=(0,0),e2=(1,2)B.G=(—1,2),e2=(5,—2)

C.ex=(3,5),e2=(-6,10)D.ex—(2,—3),e2=(—2,3)

【答案】BC

【詳解】對于A.q=(0,0),exHe2,q,/不可以作為平面的基底，不能表示出A；

-12--.

對于B.由于與心不共線，華色可以作為平面的基底，能表示出a；

5—2

35--

對于C.—不共線，可以作為平面的基底，能表示出〃；

—o10

對于D.e2=-ex,exlle2,勺建?不可以作為平面的基底，不能表示出a.

故選：BC.

8.(多選)已知向量0,6是兩個不共線的向量，且向量〃匐-3〃與。+(2-機)6共線，則實數機的可能取值

為()

A.-1B.6C.4D.3

【答案】AD

【詳解】解：因為向量a，B是兩個不共線的向量，所以向量a,6可以作為平面內的一組基底,

又向量相〃—與a+(2—機)b共線，所以相。一3/?=丸[〃+(2—m)同,

\m=A.

即j_3_2(2-加)，解得％=-1或m=3；

故選：AD

9.(多選)下列各組向量中，不能作為基底的是()

A.G=(1,0),02=(0,1)B.6=(1,2),02=(—2,1)

C.￡1=(-3,4),e2=D.e,=(2,6),e2=(-1,-3)

【答案】CD

【詳解】對于A,4=(1,0)勺=(0,1)不共線，所以可以作為一組基底.

對于B,q=(1,2),4=(-2,1)不共線，所以可以作為一組基底.

對于C,L所以4=(-3,4),e2=[g,共線，所以不可以作為一組基底.

對于D,4=一2%,所以q=(2,6),e2=(-l,-3)共線，所以不可以作為一組基底.

故選：CD.

10.在平行四邊形A3CD中，AE=-2AD<AF=pAB,若E,C,P三點共線，則實數〃=.

【答案】|

【詳解】由題意得，

AC=AB+AD=—AF--AE,

〃2

E,C,廠三點共線，

112

一―-=1>解得〃=Z.

月23

故答案為："I.

11.如果日電是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量〃，有且只有一對實數力,

%，使。=.我們把｛e''S｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

【答案】為6+4弓

【詳解】平面向量的分解定理：如果6,02是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向

量",有且只有一對實數力，方，使。=4q+4e；.我們把｛為述?｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

故答案為：\ex+A^e2

12.已知下列四個命題：

①若a//6，bile，則a//c;

②設a是已知的平面向量，則給定向量6和c，總存在實數幾和〃，使“=/lb+〃c；

③第一象限角小于第二象限角；

④函數/(尤)=J(sinx+cos尤)-g|cosx-sinx|的最小正周期為27r.

正確的有.

【答案】④

【詳解】對于①，若a與2都是非零向量，并且它們不共線，b=0,滿足a//b，bUc，而結論不成立，

①不正確；

對于②，若給定向量6和c滿足b//c，而已知向量a與6不共線，則不存在實數彳和〃，使。=2b+〃c成立,

②不正確；

對于③，390是第一象限角，120是第二象限角，顯然390>120,③不正確；

sinxfcosx之sin%)

對于④，函數/(幻=',一.、，而正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx的最小正周期都是2兀，

[cosx,(cosx<sinx)

所以函數/(x)的最小正周期為2兀，④正確.

故答案為：④

題組B能力提升練

1.已知七是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有()

①°=5百，b=1a；②b=3et-2e2；

③a=et+e2,b=30「3e2.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【詳解】對于①。=5q,b=［《,a=h,故兩向量共線；

對于②a=7g2，b=3。1—2。［,a=—b,故兩向量共線；

對于③〃=G+?，b=3ex-3e2,

彳發(fā)設存在4,a=Xb=>,+/=X（3q-3,）

n（3/l—1）6=（32+1）4,因為G，馬是不共線向量，

故得到34-1=32+1無解.

故選：A.

2.若｛e"J是平面內的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）

A.一e2,e2—e1B.一e2,e】+e2

C.2e2-e1,-2e2D.2et+e2,4e1+2e2

【答案】B

【詳解】不共線的向量能作為基底，

因為G-e?=-卜2-6），所以向量4-e；,e；-e；共線，故排除A；

....（A=l

假設華-％="q+e）,解得《,無解，

IZ——1

所以向量6―/,q+e2不共線，故B正確；

因為2e?-q=—卜2?2+ej,所以24-0，-2弓+6共線，故排除C；

因為26+6；=；（4弓+2/）,所以2q+e；,4q+2e2共線，故排除D,

故選：B

3.若G，02是平面內的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（）.

A.弓+S和耳一與B.3,-2%和44一6,

C.,+34和％+3弓D.4和6+與

【答案】B

【詳解】因為向量e；,62是平面內的一組基底，可得向量G，02為平面內不共線向量,

?.一一[1=2

對于A中，設,，可得〈°，此時方程組無解，

\1=—Z

所以向量q+02和e「4不共線，可以作為平面的一組基底；

....[3=-621

對于B中，設3q—2e,=〃4e,—6令)，可得。解得兄=一不

--1—2=4/L2

所以向量3q-2e2和4e2-6q為共線向量，不能作為平面的一組基底；

對于C中，設J+3e?+3q),可得',此時方程組無解，

-一p=X

所以向量G+3/和/+3。不共線，可以作為平面的一組基底；

對于D中，設馬=〃4+/)，可得＜,,此時方程組無解，

[1=X

所以向量02和4+e2不共線，可以作為平面的一組基底.

共線：B.

4.如果斗心是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是

()

A.6]與q+e2B.gj-2e2與et+2e2

C.q+e2與e1-e2D.q-2e2與-ex+2e2

【答案】D

【詳解】由q,e?為不共線向量，可知6與q+4,ex—2e2與ex+2e2,q+e2與q-e2必不共線，

都可作為平面向量的基底，

而2e2=-(-e；+2e2),故q-2e；與-q+2e；共線，不能作為該平面所有向量的基底.

故選:D.

5.在給出的下列命題中，錯誤的是()

A.設O,A8,C是同一平面上的四個點，若。4=%?。2+(1-機＞OC(〃?eR),則點A,B,C必共線

B.若向量°,5是平面a上的兩個向量，則平面a上的任一向量c都可以表示為c=Xa+〃b(〃"eR)，且表

示方法是唯一的

ARAf

C.已知平面向量OAOB,OC滿足O4OB=O4OC,AO=4；—+--,貝UABC為等腰三角形

(|明\AC\J

D.已知平面向量OA,O8,OC滿足|OA|=|OB|=|OC|=r(r>0),且。4+O3+OC=0,則..ABC是等邊三角形

【答案】B

【詳解】對A,^OA=m-OB+(\-m)-OC,則0A-0C=m(02-0C),^CA=mCB,貝UCA//C2,

且有公共點C,故A,B,C共線，故A正確；

對B,根據平面向量基本定理可得若a,b共線，則不滿足題意，故B錯誤；

對C,OAOB=OAOC,：.OA(OB-OC^=Q,即O4CB=0,所以OA_LCB,

(AfiAT)

XAO=2—+—,所以(M為/R4c的角平分線，所以一ASC為等腰三角形，故C正確.

{\AB\\AC\J

對D,若|OA|=|OB|=|0C|=r(r>0),^.OA+OB+OC=0,則OA+O8=—OC,

則OA2+20A-OB+OB2=OC，即/+2r2cos<OA,OB>+r2=r2,

則cos<OA,OB>=-g,則0AOB的夾角為120。，同理。4,OC的夾角為120。，02,0C的夾角為120。，

所以..ABC是等邊三角形，故D正確.

綜上，錯誤的選項為B.

故選：B.

6.(多選)設.是己知的平面向量，向量a,6,工在同一平面內且兩兩不共線，下列說法正確的是()

A.給定向量6,總存在向量c，使a=b+c;

B.給定向量方和c，總存在實數九和〃，使a=M+〃c；

C.給定單位向量方和正數〃，總存在單位向量c和實數X，使“=財+〃。；

D.若忖=2,存在單位向量6,c和正實數4〃，使a=/lb+〃c,貝?。?+〃>2.

【答案】ABD

【詳解】對A,給定向量人總存在向量c，使a=6+c，

即a-6=c，顯然存在c，所以A正確.

對B,因為向量°,b>c在同一平面內且兩兩不共線，由平面向量的基本定理可得：

總存在實數4和〃，使。=/lb+〃c,故B正確.

對C,給定單位向量6和正數〃，總存在單位向量c和實數彳，使。=26+〃c,

當a分解到c方向的向量長度大于"時，向量a沒辦法按"c分解，所以C不正確.

對D,存在單位向量6、c和正實數彳，〃，由于。=2b+〃c,向量6、c的模為1，由三角形的三邊關系可

得2+〃>2,所以D成立.

故選：ABD

7.(多選)下列說法中正確的為()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且“與助的夾角為銳角，則實數X的取值范圍是+^|

B.向量6=(2,-3),02=g,-j不能作為平面內所有向量的一組基底

C.非零向量a，b，滿足忖>忖且。與b同向，則

D.非零向量a，b，滿足口=卜卜卜-0,貝0與a+b的夾角為30。

【答案】BD

【詳解】解：對于A選項，a=(1.2),8=(1,1),a與"的夾角為銳角，

a-2/?=(l,2).(2,2)=32>0,且;所以2>0,故A錯誤；

對于B選項，向量6=(2,-3)=4q,即共線，故不能作為平面內所有向量的一組基底，B正確;

對于C選項，卜卜忖且°與方同向，向量依然不能比較大小，故C錯誤;

對于D選項，因為,卜卜卜卜一0,兩邊平方得=忖一=2a.b,則a-(a+b)=W+<7/="|卜|，

故cos(a,a+3=［仁9=三1=/，而向量的夾角范圍為［0,句,

\/\^a+b\印可2

7T

得a與〃+8的夾角為7，即為30。，故D項正確.

6

故選：BD

8.（多選）下列命題正確的是（）

A.AB+MB+BC+OM+CO=AB

B.已知向量。=（6,2）與6=（-3,幻的夾角是鈍角，則:的取值范圍是氏<0

C.若向量q=（2,-3）,e?能作為平面內所有向量的一組基底

D.若a"b，貝h在匕上的投影向量為a

【答案】AD

【詳解】對于A:AB+MB+BC+OM+CO=AB+BC+CO+OM+MB=AB；

對于B:當上=-1時，夾角為平角;

對于C:0=44，所以與烏共線，不能構成基底；

a-b7a-bza-b7

對于D：a在匕上的投影向量為討電，當a與分同向時，后仍=。成立；當―與6反向時后小=。也成立.

故選：AD.

9.（多選）古代典籍《周易》中的"八卦"思想對我國建筑中有一定影響.下圖是受"八卦"的啟示，設計的正

八邊形的八角窗，若。是正八邊形ASCDE尸G"的中心，且,可=1,貝I（）

A.A”與C尸能構成一組基底B.ODOF^O

C.OA+OC=>/3OBD.ACCD=—

2

【答案】BD

【詳解】連接8G,CF,由正八邊形的性質可知，AH//BG,CF//BG,

所以AH〃CT,所以AH與C尸是共線向量，所以A"與CF不能構成一組基底，A項錯誤;

171

又ZDO尸=：x2乃=彳，所以ODLOF.所以。。.0尸=0,B項正確；

42

由上過程可知OA_LOC,連結AC交。3于點

在直角三角形OAC中，M為AC的中點，貝UQ4+OC=2OM,

iuuur1UUIBA/2|UUTI、歷jUUBUULuuu_ULIU

又0M|AC=^|OA|=^|OB-所以。4+OC=V^OB，C項錯誤;

13n

又正八邊形的每一個內角為：-(8-2)x^=—,

84

TTTT

延長。C,AB,相交于點N,則/CBN=/BCN=—，所以/BNC=—,故ABLCD,

42

uimuunuunuunuunuunuimuunuunuun(/o

所以AC-Cr>=(AB+3C>C￡>=AB-C￡>+8C-C￡>=|BC|2cos%-]=+，D項正確.

故選:BD.

10.設是兩個不共線的非零向量，且a=q—2e],A=q+3/.

（1）證明：｛。，可可以作為一個基底；

（2）以｛。,耳為基底，求向量c=3q-e2的分解式.

【答案】（1）證明見解析；（2）c=2a+b.

【分析】（1）利用反證法，先假設a,6共線，推出矛盾，由此證得。*不共線，即｛

（2）利用向量線性運算求得向量c=的分解式.

【詳解】⑴假設a,6共線，則a=肌，

貝|e1-2e2=2(q+3e2)=Xex+3Ae2

A=If

由de?不共線，得八二

3

所以4不存在，故不共線,

即｛a,b｝可以作為一個基底.

(2)設。=ma+nb，

則3e1—e2="6—2e2)+〃(,+3/)=(m+n),+(3n-2m)e2

3=m+n\m=2

所以-1=-2,〃+3〃,解得〃=1

故c=2a+〃.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.在.ylBC中，AB=2,AC=3,ABAC=60,N為線段BC的中點,M為線段AC上靠近點A的三等分

點，兩條直線⑷V與相交于點P,則AP.BC=()

.57一9

A.—B.-C.一

444

【答案】A

夕)1

【詳解】解：由題知，AP=AAN=-AB+-AC=-AB+—AM,

2222

AP=AB+BP=AB+JuBM=AB+Ju^AM-AB^=(l-/j)AB+JuAM

A32,

—+——=1

22

5=1-〃,解得丸=:

32

了="

1311

AP=-AB+-AM=-AB+-AC

4444

AP.BC=AB+；AC：(AC-AB)=：(AC。一AB。)=：,

故選：A.

13

2.如圖，.ABC中，BD=3DC，AE=mAB，AF=nAC，m>0,n>0,則一+—=（）

mn

43

A.3B.4C.-D.-

34

【答案】B

QQ1O

【詳解】由題意得：AD=AB+BD=AB-i—BC=AB+-（AC-AB]=-AB+-ACf

44、744

13

AE=mAB，AF=nAC，A。---AE+--AF,

4m4〃

1313

瓦三點共線，.?.「+丁=1,即—+—=4.

4m4nmn

故選：B.

3.在平行四邊形A3CD中，E、尸分別在邊AD、8上，AE=3ED,。尸二尸。,A尸與郎相交于點G,記

AB=a,AD=b,則AG=（）

【答案】D

【詳解】過點尸作產N平行于3C,交班于點

1133

因為小=尸。，則方為QC的中點，所以MNA石且=石二不乂二人「二入人。，

2248

35

因為7VF=A￡）,所以MF=NF—MN=AD――AD=-AD,

88

A￡>

AEAGCCH,AGAE46

由二AEGT可得:而‘所以方=而=.=二

EMG~FM

8

因為46=94b=9（人。+。月）=9（4。+,”）=243+94。，

11111121111

所以AG=aa+%,

4.如圖，在二AfiC中，點。是邊A8上一點且BD=2A。，E是邊BC的中點，直線AE和直線。交于點憶

BC

若族是-ABC的平分線,則制=（）

A

,EB

L

A.4B.3C.2D.

2

【答案】c

、

A+rn，（根據角平分線的條

【詳解】因為8尸是/ABC的平分線，所以存在一個實數4使得①7=幾

網國J

件，選擇合適的基底）

/\

因為是邊的中點，所以歹=幾器+學，又點E,歹共線,2221

EBC84所以網+網①?（三點共

〔網1和

線的應用：OA=WB+luOC（/1,〃為實數），若A,B,C三點共線，則2+〃=1）

"3、

BDRC3AA

因為=所以2尸=2j碼+國，又點cR0共線’所以宿向②，聯立①②,

/

11BC

得啊一網,則胡=2,即

BA

故選：C.

5.在平行四邊形A3CD中，E是邊。。的中點，AE與BD交于點F.若AB=a,AD=b，則A/=（）

132r1r31

A.-ciH—7bB.—ci+—bC.—an—7bD."b

44334433

【答案】D

【詳解】AE^AD+DE=AD+-AB.

2

設AP=/IAE(O<X<1)，

則2尸=4尸一48=力［4￡)+:48)—42=/14￡)+(1—1)43,

又BD=AD-AB，且氏三點共線，則共線，

即三〃eR,使得BF=ji/BD,B|JAAZ)+^――1JAB=/JAD—/JAB,

A=//A=-

又AB,AD不共線，則有1,解得<3

—\--u2，