2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)北師大版

Page1期末綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1．[2022·玉林]如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是()A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC2．(母題：教材P120總復(fù)習(xí)T5(1))拋物線y＝2(x－3)2＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(－3，－4)3．[2023·廈門(mén)雙十中學(xué)月考]把拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()A．y＝2(x＋3)2＋4 B．y＝2(x＋3)2－4C．y＝2(x－3)2－4 D．y＝2(x－3)2＋44．[2023·自貢]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是()A．41° B．45° C．49° D．59°5．(母題：教材P76習(xí)題T2)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，如果AB＝20，CD＝16，那么線段OE的長(zhǎng)為()A．4 B．6 C．8 D．96．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5) C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(2\r(5),5)7．(母題：教材P96習(xí)題T1)如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別和⊙O切于A，B.C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E.若△PDE的周長(zhǎng)為12，則PA的長(zhǎng)等于()A．12B．6C．8D．108．[2023·廈門(mén)一中期中]已知點(diǎn)A(m，y1)，B(m＋2，y2)，C(x0，y0)在二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)的圖象上，且點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．若y0≥y2>y1，則m的取值范圍是()A．m<－3 B．m>－3 C．m<－2 D．m>－29．“萊洛三角形”也稱(chēng)為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于()A．π B．3π C．2π D．2π－eq\r(3)10．[2023·樂(lè)山]如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(m，0)，且1＜m＜2，有下列結(jié)論：①b＜0；②a＋b＞0；③0＜a＜－c；④若點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，y1))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，y2))在拋物線上，則y1＞y2.其中，正確的結(jié)論有()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題(每題3分，共24分)11．[2022·武威]如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，若∠ABC＝110°，則∠ADC＝________．12．計(jì)算：eq\r(3,－\f(1,8))＋cos60°－(－2024)0＝________．13．(母題：教材P4習(xí)題T2)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq\f(15,8)，則AB＝________.14．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是______________．15．[2023·煙臺(tái)]如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，CB為⊙A的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)的圖象上，D為y軸上一點(diǎn)，△ACD的面積為6，則k的值為_(kāi)_______．16．如圖，某活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)航拍校園，已知無(wú)人機(jī)的飛行速度為3m/s，從A處沿水平方向飛行至B處需10s．同時(shí)在地面C處分別測(cè)得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°，則這架無(wú)人機(jī)的飛行高度大約是________m(eq\r(3)≈1.732，結(jié)果保留整數(shù))．17．編程興趣小組為半徑為0.2m的圓形掃地機(jī)器人編制了如圖所示的程序，若掃地機(jī)器人在無(wú)障礙的實(shí)驗(yàn)室平地上按照編制的程序掃地，則這個(gè)掃地機(jī)器人掃過(guò)的實(shí)驗(yàn)室平地的面積是________m2.18．如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，7)，與y軸交于點(diǎn)(0，6)，在y軸左側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，若tanα＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____________________．三、解答題(19～22題每題10分，其余每題13分，共66分)19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝eq\f(3,5).(1)求經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)(1)中的拋物線的頂點(diǎn)，求k的值．20．[2023·北京]如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝eq\f(1,2)，求BC的長(zhǎng)．21．[2023·重慶]為了滿(mǎn)足市民的需求，我市在一條小河AB兩側(cè)開(kāi)辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖：①A－D－C－B；②A－E－B.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方10千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方14千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西60°方向．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)(1)求AD的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到1千米)(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？22．[2022·本溪]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過(guò)OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF.(1)求證：BF與⊙O相切；(2)若AP＝OP，cosA＝eq\f(4,5)，AP＝4，求BF的長(zhǎng)．23．2023年是中國(guó)農(nóng)歷癸卯兔年．春節(jié)前，某商場(chǎng)進(jìn)貨員打算購(gòu)進(jìn)“吉祥兔”和“如意兔”兩種布偶，發(fā)現(xiàn)用8800元購(gòu)進(jìn)的“吉祥兔”的數(shù)量是用4000元購(gòu)進(jìn)的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的進(jìn)價(jià)比“如意兔”貴了4元．(1)“吉祥兔”“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該商場(chǎng)把“如意兔”的銷(xiāo)售價(jià)定為60元，每天可賣(mài)80件．調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣(mài)10件．如何定價(jià)才能使“如意兔”的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？24．[2023·北京四中期中]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的圖象與x軸相交于O，A兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)在這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB＝90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案一、1．D2．A3．A4．C點(diǎn)撥：由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBA＝∠DCA＝41°，進(jìn)而可計(jì)算出∠ABC的度數(shù)．5．B點(diǎn)撥：∵AB＝20，∴OD＝10.∵CD⊥AB，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×16＝8.在Rt△DOE中，OE＝eq\r(OD2－DE2)＝eq\r(102－82)＝6.6．D7．B8．A點(diǎn)撥：∵點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，y0≥y2＞y1，∴拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)．∵y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－eq\f(4a,2a)＝－2.當(dāng)點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，eq\f(m＋m＋2,2)＝－2，解得m＝－3.∵y1<y2，∴m<－3.故選A.9．B點(diǎn)撥：由題易得eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，由弧長(zhǎng)公式求出eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為π，即可求出“萊洛三角形”的周長(zhǎng)．10．B點(diǎn)撥：∵拋物線開(kāi)口向上，∴a＞0，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，∴－eq\f(b,2a)＞0，∴b＜0，故①正確；∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，∴a－b＋c＝0，∴c＝b－a，∵當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，∴4a＋2b＋b－a＞0，∴3a＋3b＞0，∴a＋b＞0，故②正確；∵a－b＋c＝0，∴a＋c＝b，∵b＜0，∴a＋c＜0，∴0＜a＜－c，故③正確；∵點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，y1))到對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，y2))到對(duì)稱(chēng)軸的距離近，∴y1＜y2，故④錯(cuò)誤．故選B.二、11．70°12．－113．1714．－3<x<115．24點(diǎn)撥：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E.設(shè)⊙A的半徑為r.則AC＝AB＝r，BC＝2r.設(shè)AE＝a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，2r)，∴k＝2ar.易知S△ACD＝eq\f(1,2)AC·AE，∴eq\f(1,2)·r·a＝6，即ar＝12.∴k＝2ar＝24.16．20點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于過(guò)點(diǎn)C的水平線，垂足為點(diǎn)D，如圖所示．根據(jù)題意，得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30(m)．∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°.在Rt△ABH中，AH＝eq\f(1,2)AB＝15m，∵tan∠ABH＝eq\f(AH,BH)，∴BH＝eq\f(15,tan30°)＝eq\f(15,\f(\r(3),3))＝15eq\r(3)(m)．∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，∴CH＝AH＝15m.∴BC＝BH＋CH＝(15eq\r(3)＋15)m.在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(15\r(3)＋15,2)≈20(m)．17．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.04π＋1.8＋\f(21,25)\r(3)))點(diǎn)撥：如圖所示，圍成圖形的每個(gè)外角都是60°，∴掃過(guò)的面積是6個(gè)長(zhǎng)方形面積＋6個(gè)圓心角為60°的扇形面積＋6個(gè)底角為60°的等腰梯形面積．∴掃過(guò)的面積＝π×0.22＋0.2×(2＋1＋2＋1＋2＋1)＋3×eq\f(1,2)(1＋1－0.1×2)×0.1×eq\r(3)＋3×eq\f(1,2)(2＋2－0.1×2)×0.1×eq\r(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.04π＋1.8＋\f(21,25)\r(3)))(m2)．18．(－2，6)或(－6，－18)點(diǎn)撥：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，7)，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x＋1)2＋7.把(0，6)的坐標(biāo)代入，得6＝a(0＋1)2＋7，解得a＝－1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)2＋7＝－x2－2x＋6.當(dāng)tanα＝3時(shí)，易知|yP|＝－3xP.設(shè)P(m，－m2－2m＋6)(m<0)，則－m2－2m＋6＝－3m或－m2－2m＋6＝3m.當(dāng)－m2－2m＋6＝－3m時(shí)，解得m＝3(舍去)或m＝－2；當(dāng)－m2－2m＋6＝3m時(shí)，解得m＝1(舍去)或m＝－6.綜上，m＝－2或m＝－6.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，6)或(－6，－18)．三、19．解：(1)由題意得OA＝OB＝5.如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H.∴AH＝OA·sin∠AOB＝3.∴OH＝4.∴A(4，3)．設(shè)經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax(x－5)．把點(diǎn)A(4，3)的坐標(biāo)代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－eq\f(3,4).∴經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－eq\f(3,4)x(x－5)，即y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x.(2)∵y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＝－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75,16)，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(75,16))).∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)該拋物線的頂點(diǎn)，∴k＝eq\f(5,2)×eq\f(75,16)＝eq\f(375,32).20．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC＝EF，∴平行四邊形AECF是矩形．(2)解：由(1)知四邊形AECF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°.又∵AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2).∵tan∠ACB＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\r(2),EC)＝eq\f(1,2)，∴EC＝2eq\r(2)，∴BC＝BE＋EC＝eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3eq\r(2).21．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為F，由題意得四邊形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝eq\f(AF,cos45°)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的長(zhǎng)度約為14千米；(2)小明應(yīng)該選擇線路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米．在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)＝8eq\r(3)(千米)，∴EB＝2AE＝16eq\r(3)千米．按線路①A－D－C－B走的路程為AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；按線路②A－E－B走的路程為AE＋EB＝8eq\r(3)＋16eq\r(3)≈24×1.73＝41.52(千米)．∵38千米<41.52千米，∴小明應(yīng)該選擇線路①.22．(1)證明：如圖，連接OB.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°.∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴BF＝EF＝eq\f(1,2)DE.∴∠FEB＝∠FBE.∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP.∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°.∴∠A＋∠AEP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠OBA＋∠FBE＝90°.∴∠OBF＝90°.∵OB是⊙O的半徑，∴BF與⊙O相切．(2)解：在Rt△AEP中，cosA＝eq\f(4,5)，AP＝4，∴AE＝eq\f(AP,cosA)＝eq\f(4,\f(4,5))＝5.∴PE＝eq\r(AE2－AP2)＝eq\r(52－42)＝3.∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8.∴PC＝OP＋OC＝12.∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C.∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC.∴eq\f(AP,DP)＝eq\f(PE,PC).∴eq\f(4,DP)＝eq\f(3,12)，解得DP＝16.∴DE＝DP－PE＝16－3＝13.∴BF＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(13,2).23．解：(1)設(shè)“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)為x元，則“吉祥兔”每件的進(jìn)價(jià)為(x＋4)元，由題意，得eq\f(8800,x＋4)＝2×eq\f(4000,x)，解得x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)x＝40是原方程的解，∴x＋4＝44.答：“吉祥兔”“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是44元和40元．(2)設(shè)“如意兔”的銷(xiāo)售價(jià)定為a元，總利潤(rùn)為w元，由題意，得w＝(a－4