浙江省麗水市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)檢測(cè)試卷

浙江省麗水市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)f(A．(?∞，1) B．(?∞，2．若拋物線y=ax2的焦點(diǎn)在直線y=2x+3上，則A．12 B．6 C．16 D．3．設(shè)點(diǎn)A，B在曲線y=log2x上．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為A．6 B．210 C．43 4．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若A．23 B．12 C．135．已知α，β，γ是空間中三個(gè)不同的平面，且直線l1，lA．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．設(shè)圓O：x2+y2=4，直線l：y=A．2 B．2 C．22 7．設(shè)ω>0．已知函數(shù)f(x)=sinA．(1912，C．(1312，8．已知：長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)分別為2a與2b的橢圓圍成區(qū)域的面積為πab(a>b>0)．現(xiàn)要切割加工一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓柱形零件（如圖所示），截面經(jīng)過圓柱的一個(gè)底面中心，并且與底面所成角為60°．然后再對(duì)切割后得到的兩個(gè)部件表面都刷上油漆，則所刷油漆的面積為（）A．6π B．7π C．8π D．10π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)函數(shù)f(A．f(x)是偶函數(shù) C．f(x)有最大值 10．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，A．{an2}為等比數(shù)列C．若q=?1，則存在m∈N?使得Sm=0 D．若存在m∈11．在正方形A1A2A3A4中，設(shè)DA．四邊形區(qū)域 B．五邊形區(qū)域 C．六邊形區(qū)域 D．八邊形區(qū)域三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．1+(1+x)+(1+13．下列論斷中：①1a>1|b|；②1a2>1以其中一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：（作答時(shí)，請(qǐng)按“序號(hào)?序號(hào)”的格式書寫）．14．在如下數(shù)表中：其中，第1行為1，從第2行開始，每一行的左右兩端都為1，而中間的數(shù)為前一行相鄰兩個(gè)數(shù)之和再加1．則第10行的第3個(gè)數(shù)為；當(dāng)n∈N?時(shí)，第n行的各個(gè)數(shù)之和為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設(shè)雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)，斜率為1的直線l與（1）求Γ的方程；（2）若l過點(diǎn)(?1，016．在一次知識(shí)闖關(guān)比賽的預(yù)選賽中，包含三個(gè)問題，有兩種答題方案．方案一：回答三個(gè)問題，至少答出兩個(gè)問題即可晉級(jí)：方案二：在三個(gè)問題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問題，這兩個(gè)問題都回答正確即可晉級(jí)．假設(shè)某參賽選手回答出三個(gè)問題的概率分別是a，b，c，且是否回答出這三個(gè)問題相互之間沒有影響．（1）分別求該參賽選手用方案一和方案二時(shí)能晉級(jí)的概率；（2）試比較該參賽選手在上述兩種方案下能晉級(jí)的概率的大?。ㄕf明理由）17．已知函數(shù)f(（1）若a>3，討論f（2）若f(x)有正的零點(diǎn)，證明：f18．在凸四邊形ABCD中，記AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，四邊形（1）證明：2(（2）設(shè)p=a+b+c+d證明：S=(（3）若b=c=d=1，求四邊形ABCD面積的最大值．19．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)，除了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù)．四元數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有廣泛應(yīng)用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn)．集合H={d+ai+bj+ck∣a，b，c，d∈R}中的元素α=d+ai+bj+ck稱為四元數(shù)，其中i，j，k(=(d兩個(gè)四元數(shù)的乘法定義為：ij=?ji=k，對(duì)于四元數(shù)α，若存在四元數(shù)β使得αβ=βα=1，稱β是α的逆，記為β=α實(shí)部為0的四元數(shù)稱為純四元數(shù)，把純四元數(shù)的全體記為W．（1）設(shè)a，b，c，d∈R，四元數(shù)（i）計(jì)算αα（ii）若α≠0，求α?1（iii）若α≠0，β∈W，證明：（2）在空間直角坐標(biāo)系中，把空間向量α=(a，b，（i）證明：γ∈W；（ii）若α，β是平面X內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，證明：γ是

答案解析部分1．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域【解析】【解答】解：因?yàn)?x>0，所以1?3x<1故答案為：A.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】解：將拋物線y=ax2化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線y=2x+3，所以14a=3，解得故答案為：D.【分析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程求解即可.3．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；平面內(nèi)中點(diǎn)坐標(biāo)公式；平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)A(因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2解得x1+x2=10，x1故答案為：B.【分析】設(shè)A(x14．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2)，且所以P(故答案為：A.【分析】根據(jù)題意，利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，結(jié)合P(5．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面平行的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖所示：α,β,如圖所示：l1,l故答案為：D.【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.6．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角；直線與圓相交的性質(zhì)；正弦定理【解析】【解答】解：易知直線l的傾斜角為π3，如圖所示：

|OA|=2，|OD|=a，∠OAB=∠OBA=π4，∠OEA=π3，

則∠OAD=3π4，∠ODA=π故答案為：C.【分析】利用直線的傾斜角以及正弦定理解三角形即可.7．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】解：令f(x)=0，即sin(3ωx?π4解得f(x)的正零點(diǎn)為(1+4k)π所以函數(shù)f(x)從左到右的零點(diǎn)依次為：π12ω要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)恰有6個(gè)零點(diǎn)，只需所以實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(17故答案為：B.【分析】令f(x)=0，求得f(x)從左到右的零點(diǎn)，再結(jié)合題意，列不等式求解即可.8．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；二面角的平面角及求法【解析】【解答】解：設(shè)底面中心為O，橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為D，截面與底面交于線段AB，圓錐曲線定義可得截面為半個(gè)橢圓，且底面圓周上的點(diǎn)E滿足DE垂直于底面如圖所示：

則OD⊥AB,DE⊥AB所以AB⊥平面ODE，從而AB⊥OE，因?yàn)镺E=1，截面與底面所成角的平面角是∠DOE=60°，則DE=3所以截面所在橢圓的半長(zhǎng)軸為a=2，半短軸為b=1．所以截面的面積為S1而圓柱的表面積是S2因此所刷油漆的面積為2S故答案為：C.【分析】根據(jù)二面角的定義確定截面與底面的夾角，由條件確定截面的形狀及大小，再根據(jù)橢圓面積公式求截面的面積，最后結(jié)合柱體體積公式求油漆的面積即可.9．【答案】A,B,C【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性；含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的周期【解析】【解答】解：A、函數(shù)f(x)=ecosx的定義域?yàn)镽，且滿足f(?x)=B、因?yàn)閒(x+2π)=ecos(x+2π)=eC、因?yàn)閏osx≤1，所以f(xD、因?yàn)閥=cosx在區(qū)間(0,π)單調(diào)遞減，所以所以f(x)在區(qū)間(0,故答案為：ABC.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C、D.10．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】【解答】解：易知an=a1qn?1，當(dāng)q≠1時(shí)，A、an2=a1B、當(dāng)q≠1時(shí)，qSn=a1C、若q=?1，則當(dāng)m=2時(shí)，S2D、若Sm=0，當(dāng)q=1時(shí)，Sm=ma1≠0．所以q≠1故答案為：ACD.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,B,C【知識(shí)點(diǎn)】集合的表示方法【解析】【解答】解：如圖，作線段P0Ai的中垂線，則中垂線把正方形分成兩部分如圖所示：

包含P0的那部分上的點(diǎn)（包括直線P0A可知集合S表示的平面區(qū)域可能是四邊形區(qū)域、五邊形區(qū)域、六邊形區(qū)域．故答案為：ABC.【分析】通過作圖分析滿足集合條件的可能區(qū)域即可.12．【答案】10【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式系數(shù)【解析】【解答】解：二項(xiàng)式(1+xk)k的展開式中所以1+(1+x)+(1+x2)2故答案為：10．【分析】由二項(xiàng)式(1+xk)k的13．【答案】①?②【知識(shí)點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；基本不等式【解析】【解答】解：①因?yàn)?a>1|b|>0，所以a>0②等價(jià)于b2>a2，a≠0，即|b|>|a|,a≠0；①可以推出②，因?yàn)楫?dāng)|b|>a>0時(shí)，|b|>|a|=a③可以推出⑤，因?yàn)楫?dāng)b>|a|?1時(shí)，b>|a|?1≥a?1，故b>a?1；④可以推出③，因?yàn)楫?dāng)④成立時(shí)，根據(jù)基本不等式，b>a2+1≥2|a|>|a|?1④可以推出⑤，因?yàn)椤阿?③”與“③?⑤”都成立.故答案為：①?②（答案不唯一）.【分析】先找到每個(gè)論斷的等價(jià)命題，再逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.14．【答案】71；2【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式；通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系【解析】【解答】解：（1）觀察數(shù)表發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)所以第6行的第3個(gè)數(shù)是7+11+1=19，第7行的第3個(gè)數(shù)是9+19+1=29，第8行的第3個(gè)數(shù)是11+29+1=41，第9行的第3個(gè)數(shù)是13+41+1=55，第10行的第3個(gè)數(shù)是15+55+1=71．（2）設(shè)第n行的各個(gè)數(shù)之和為Sn，則S對(duì)于n≥4，則第n?1行有n?1個(gè)數(shù)，記為x1,x則Sn?1Sn所以Sn所以Sn從而Sn=2故答案為：71；2n【分析】（1）依題意，根據(jù)規(guī)律確定每一行的第二個(gè)和第三個(gè)數(shù)，可解第一問；（2）設(shè)第n行的各個(gè)數(shù)之和為Sn，找到S15．【答案】（1）解：Γ的右焦點(diǎn)為F(a當(dāng)l過Γ的右焦點(diǎn)F時(shí)，直線l的方程為y=x?a由于點(diǎn)P(?5，?2由于點(diǎn)P(所以?25=?5解得a=1，b=2．所以雙曲線的方程是（2）解：因?yàn)閘過點(diǎn)(?1，0由4x2?即3x2?2x?5=0．解得x=?1當(dāng)x=?1時(shí)，y=x+1=0，故A(當(dāng)x=53時(shí)，y=x+1=8所以|AB【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程；平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）易知右焦點(diǎn)F(a2+（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，消元整理求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解弦長(zhǎng)即可；16．【答案】（1）解：記該參賽選手能回答這三個(gè)問題的事件分別為A，B，C，則P(參賽選手用方案一時(shí)能晉級(jí)的概率p=ab=ab+bc+ca?2abc；參賽選手用方案二時(shí)能晉級(jí)的概率p=1（2）解：下面幾種不同方法本質(zhì)上是對(duì)p1因?yàn)閍，p=2故p1即采用第一種方案，該參賽選手能晉級(jí)的概率較大．【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式的性質(zhì)比較大?。幌嗷オ?dú)立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；（2）利用作差法得P117．【答案】（1）解：f(由于Δ=(?2a)2?4×3=4(取x1當(dāng)x∈(?∞，x1)∪(x0，所以f(x)在區(qū)間(?∞（2）解：由題意，f(x)在區(qū)間(0，+∞)有零點(diǎn)，等價(jià)于方程x由基本不等式，x+1x≥2所以x+1x的取值范圍為[2由（1），f(x)因?yàn)閍≥2，所以x0【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)f'(x)=0求出兩根x0,x1，在區(qū)間(?∞,（2）f(x)在區(qū)間(0,+∞)有零點(diǎn)，等價(jià)于方程x2?ax+1=018．【答案】（1）解：設(shè)AC=x．在△ABC和△ACD中，由余弦定理，x2整理得2(因?yàn)锽+D=π，所以cosD=代入上式得2(（2）解：連接AC如圖所示：

△ABC和△ACD的面積分別為S△ABC=因?yàn)锽+D=π，所以sinD=從而S=S所以S========(所以，S=(（3）解：由（2），當(dāng)b=c=d=1時(shí)，p=3+a2，即a=2p?3，而S=(設(shè)g(則g'當(dāng)x∈(32，52)時(shí)，則g(x)在(所以g(x)≤g(52)=綜上，四邊形ABCD面積的最大值是33【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（?。┲?；誘導(dǎo)公式；余弦定理【解析】【分析】（1）設(shè)AC=x，在△ABC和△ACD中，利用余弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和化簡(jiǎn)整理即可證明；（2）連接AC，由△ABC和△ACD的面積分別為S△ABC=1（3）由（2），當(dāng)b=c=d=1時(shí)，p=3+a2，即a=2p?3，S=(p?1)3(p?a)19．【答案】（1）解：（i）(d+ai+bj+ck（ii）因?yàn)棣痢?，所以a2由（1）可得αα所以α?α同理可驗(yàn)證(d?ai?bj?ck所以α?因此，α?1（iii）設(shè)α=d+ai+bj+ck，αβ==(由（ii），α?1而αβαd(所以αβα?1的實(shí)部為0，所以（2）解：（i）設(shè)α=ai+bj+ck，αβ==(βα==(所以γ=12(（ii）在空間直角坐標(biāo)系中，γ=(γ?α=a(γ?β=x(因此γ⊥α且γ⊥β．因?yàn)棣?，?X不共線，所以γ⊥X，即【知識(shí)點(diǎn)】平面的法向量；共軛復(fù)數(shù)【解析】【分析】（1）（i）由α的共軛四元數(shù)定義求解即可；

（ii）α?1=α（2）（i）由純四元數(shù)的定義證明即可；

（ii）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)γ=(bz?cy,cx?az,

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）63.0(42.0%)主觀題（占比）87.0(58.0%)題量分布客觀題（占比）12(63.2%)主觀題（占比）7(36.8%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．8(42.1%)40.0(26.7%)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．3(15.8%)18.0(12.0%)解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．5(26.3%)77.0(51.3%)填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．3(15.8%)15.0(10.0%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號(hào)難易度占比1普通(73.7%)2容易(21.1%)3困難(5.3%)4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和6.0(4.0%)102正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)5.0(3.3%)43等比數(shù)列的通項(xiàng)公式6.0(4.0%)104含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的周期6.0(4.0%)95直線與圓錐曲線的綜合問題14.0(9.3%)156復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性6.0(4.0%)97相互獨(dú)立事件的概率乘法公式14.0(9.3%)168二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)5.0(3.3%)129平面與平面平行的性質(zhì)5.0(3.3%)510不等關(guān)系與不等式5.0(3.3%)1311正弦定理5.0(3.3%)6