2024年千錘百煉高考數學100個熱點問題第36煉 向量的數量積-尋找合適的基底含答案

2024年千錘百煉高考數學100個熱點問題第36煉向量的數量積——尋找合適的基底第36煉向量的數量積——尋找合適的基底在高考中經常會遇到幾何圖形中計算某兩個向量數量積的問題，如果無法尋找到計算數量積的要素（模長，夾角）那么可考慮用合適的兩個向量（稱為基底）將兩個向量表示出來，進而進行運算。這也是在幾何圖形中處理向量數量積的一個重要方法一、基礎知識：（一）所涉及的平面向量定理及數量積運算法則：1、平面向量基本定理：若向量為兩個不共線的向量，那么對于平面上任意的一個向量，均存在唯一一對實數，使得。其中成為平面向量的一組基底。（簡而言之，不共線的兩個向量可以表示所有向量）2、向量數量積運算，其中為向量的夾角3、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點重合所成的角，其中：同向：反向：4、數量積運算法則：（1）交換律：（2）系數結合律：（3）分配律：因為向量數量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數量積運算的展開式與實數因式相乘的展開式規(guī)律相同：例如：5、若，則由此可見，只要知道基底的模與數量積，以及將用基底表示出來，則可計算（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1、如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知，數量積可求呢？如果有，那就是它們了。所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數量積與模長已知。常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數量積的兩個向量是否能被你所選中的基底進行表示，常用的方法有：（1）向量的加減運算 （2）“爪”字型圖：在中，是上的點，如果，則，其中知二可求一。特別的，如果是邊上的中線，則3、計算數量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達式計算即可，但在計算過程中要注意基底的夾角二、例題精煉例1:如圖，在中，是邊上一點，，則_______________思路：模長未知（尚可求出），夾角未知，所以很難直接求出數量積?？紤]是否有合適基底，，可計算出,進而對于,模長均已知，數量積已求，條件齊備，適合作為基底。用表示：,,答案：例2：如圖，已知在中，，則______思路：觀察條件，很難直接利用公式求解.考慮選擇兩個向量表示,條件中(數量積有了），（模長有了），所以考慮用作為基底。下一步只需將表示出來，（底邊比值——聯想到“爪”字型圖）,解得：所以答案：例3:在邊長為1的正三角形中，設，則__________思路：如圖，等邊三角形三邊已知，夾角已知，由此對于三邊所成的向量，兩兩數量積均可計算，所以考慮用三邊向量進行表示，表示的方法很多，例如觀察“爪”字形圖可得,(注意向量夾角）答案：小煉有話說：這道題由于是等邊三角形，故可以建系去做，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸。坐標完成之時，就是計算的完成之日，且此法在計算上更為簡便。例4：如圖，在中，已知，點分別在邊上，且，點為中點，則的值是（）A.B.C.D.思路：在本題中已知及兩個向量的夾角，所以考慮將作為一組基底。則考慮將用進行表示，再做數量積即可解：且，所以有：由已知可得：答案：C例5：已知向量的夾角是，且，若，且，則實數的值是____________思路：題中模長夾角已知，所以選擇它們作為基底，表示，再根據求出即可解：即①①式變?yōu)椋航獾么鸢福豪?：在邊長為的正三角形中，，則的最大值為___________答案：思路：所給為等邊三角形，則三邊所成向量兩兩數量積可解。所以用三邊向量將表示出來，再作數量積運算并利用消元即可求出最值解：且等號成立條件：答案：小煉有話說：（1）本題在最后求最值時還可以利用均值不等式迅速把問題解決：（2）在消元時要注意，如果所消去的元本身有范圍，則這個范圍由主元來承擔，比如本題中用把消掉，則所滿足的條件除了已知的之外，還有，即例7：如圖，在四邊形中，是等邊三角形，則的值為_____________思路：從條件中可分析，的邊所成的向量兩兩之間數量積可求，其公共邊為，所以以作為突破口，所求數量積中只有需要轉換，可得，所以，進而可解解：在中，在等邊三角形中，答案：小煉有話說：（1）在求時要注意夾角不是，而是它的補角?。?）在求也可以用投影定義來解，即在上的投影為，所以例8：如圖，四邊形滿足，若是的中點，則（）A.B.C.D.思路：本題要抓住這個條件，所求表達式中主要解決。從圖中可發(fā)現分別是的中線，從而可用條件中的向量進行表示：，從而求得表達式的值解：答案：D例9：菱形邊長為，，點分別在上，且，若，則（）A.B.C.D.思路：本題已知菱形邊長和兩邊夾角，所以菱形四條邊所成向量兩兩數量積可求，所以可以考慮將題目中所給的所涉及的向量用菱形的邊和進行表示，進而列出關于的方程，解出方程便可求出解：答案：D例10：已知向量滿足條件：，且，點是內一動點，則_________思路：本題已知模長，可對進行變形得到更多條件：，同理，從而可將所求式子中的向量均用表示再進行計算即可。解：，代入可得：，同理答案：小煉有話說：（1）本題在處理關系時，從入手兩邊同時模長平方，得到數量積的關系，這也是“向量等式→數量積等式”的常見變形方法（2）在處理關系時也可以通過數形結合，從和中發(fā)現在圖像上的特點，推斷出兩兩夾角從而計算出它們的數量積（3）為動點，但從所求來看表達式有極大可能是一個定值，所以在應試時如果想不到正規(guī)方法，也可以考慮利用特殊值進行處理，比如利用條件構造出一個特殊模型，即為等邊三角形，且是中心，然后再給選擇一個特殊位置（比如與重合）計算出結果。第37煉向量的數量積——坐標法在處理向量數量積問題時，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點的坐標，則考慮將向量坐標化，一旦所求向量用坐標表示，其數量積等問題迎刃而解。一、基礎知識1、向量的坐標表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果兩個向量不共線，則對于平面上的任一向量，存在，使得，且這種表示唯一。其中稱為平面向量的一組基底，而有序實數對稱為在基底下的坐標（2）為了讓向量能夠放置在平面直角坐標系中，我們要選擇一組特殊的基底，在方向上它們分別與軸的正方向同向，在長度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐標為，從圖上可觀察到恰好是將向量起點與坐標原點重合時，終點的坐標（3）已知平面上的兩點坐標，也可求得以它們?yōu)槠鸾K點的向量坐標：設，則（可記為“終”“起”），所以只要確定了平面上點的坐標，則向量的坐標自然可求。另外三個坐標知二可求一，所以當已知向量坐標與其中一個點的坐標，也可求出另一個點的坐標2、向量的坐標運算：設，則有：（1）加減運算：（2）數乘運算：（3）數量積運算：（4）向量的模長：3、向量位置關系的判定：（1）平行：（2）垂直：（3）向量夾角余弦值：4、常見的可考慮建系的圖形：關于向量問題，一旦建立坐標系并成功寫出相關點的坐標，則問題常常迎刃而解。但難點如何甄別一道題適合使用建系的方法求解。如果你遇到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問題解決（1）具備對稱性質的圖形：長方形，正方形，等邊三角形，圓形（2）帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形（3）具備特殊角度的圖形（等）二、典型例題：例1：在邊長為1的正三角形中，設，則__________yx思路：上周是用合適的基底表示所求向量，從而解決問題，本周仍以此題為例，從另一個角度解題，觀察到本題圖形為等邊三角形，所以考慮利用建系解決數量積問題，如圖建系：yx下面求坐標：令由可得：答案：例2：（2012江蘇，9）如圖，在矩形中，，點為中點，點在邊上，若，則的值是____________yx思路：本題的圖型為矩形，且邊長已知，故考慮建立直角坐標系求解，以為坐標原點如圖建系：,設,由在上可得,再由解出:，，yx答案：例3：如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于，點是的中點，若，，且，則_________思路：本題抓住這個特殊角，可以考慮建立坐標系，同時由，可以寫出各點坐標，從而將所求向量坐標化后即可求解解：以為軸，過的垂線作為軸可得：答案：例4：已知直角梯形中，是腰上的動點，則的最小值為_____________思路：本題所求模長如果從幾何意義入手，則不便于作出的圖形。所以考慮從代數方面入手，結合所給的特殊圖形可想到依直角建立坐標系，從而將問題轉為坐標運算求解，在建系的過程中，由于梯形的高未知，為了能夠寫出坐標，可先設高為。解：以為軸建立直角坐標系，設梯形高為則，設動點，則（等號成立：）答案：小煉有話說：本題的亮點在于梯形的高未知，但為了寫坐標先用字母代替。在使用坐標解題時有時會遇到由于某些條件未知而導致坐標無法寫出的情況。要明確沒有點的坐標，則坐標法無法實現，所以“沒有條件要創(chuàng)造條件”，先設再求，先將坐標完善，再看所設字母能否求出，是否需要求出，這個理念在解析幾何和空間向量解立體幾何中都有所應用例5：給定平面上四點滿足，則面積的最大值為．思路：由可計算出的夾角，則可按照這個特殊角建立坐標系，則由可知在以為圓心，半徑的圓上。，若要求的最大值，只需找到到的最大值，數形結合可得距離的最大值為，進而可求出的最大值。解：即答案：例6：如圖，在直角三角形中，，點分別是的中點，點是內及邊界上的任一點，則的取值范圍是_______思路：直角三角形直角邊已知，且為圖形內動點，所求不便于用已知向量表示，所以考慮建系處理。設，從而可得，而所在范圍是一塊區(qū)域，所以聯想到用線性規(guī)劃求解解：以為軸建立直角坐標系，設數形結合可得：答案：例7：平面向量滿足，則的最小值是______思路：本題條件中有，而可利用向量數量積的投影定義得到在上的投影分別為1,2，通過作圖可發(fā)現能夠以的起點為原點，所在直線為軸建立坐標系，則起點在原點，終點分別在的直線上，從而可坐標化，再求出的最值即可解：如圖建系可得：由可得：而，由輪換對稱式不妨設，則答案：例8：已知點為等邊三角形的中心，，直線過點交邊于點，交邊于點，則的最大值為.思路：本題由于為過的任一直線，所以的值不確定，從而不容易利用三邊向量將進行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點，建立直角坐標系，從而坐標可解，再借助解析幾何的思想設出直線方程，與方程聯立解出坐標，從而可解出最大值解：以為軸建立直角坐標系設直線由可得：解得：解得：若直線與相交，則答案：例9：如圖，四邊形是半徑為的圓的外切正方形，是圓的內接正三角形，當繞著圓心旋轉時，的取值范圍是（）A.B.C.D.yx思路：本題所給的圖形為正方形及其內切圓，可考慮建立直角坐標系，為了使坐標易于計算，可以為坐標原點如圖建系：，確定點的坐標是一個難點，觀察兩個點之間的關系，無論如何轉動，，如何從這個恒定的角度去刻畫此圓上兩點坐標的聯系呢：考慮圓的參數方程（參數的幾何意義為圓心角，與角度相聯系），設，從而，用的三角函數將兩點坐標表示出來，從而可求出的范圍yx解：，答案：選小煉有話說：在直角坐標系中涉及到圓上的點，除了想到傳統(tǒng)坐標之外，還應想到圓的參數方程，尤其是題目中有關于圓心角的條件時（例如本題中的），可依靠參數的幾何意義將條件充分的利用起來。例10：在平面上，，，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：以為入手點，考慮利用坐標系求解，題目中和點坐標均未知，為了能夠進行坐標運算，將其用字母表示：設，則，所求范圍即為求的范圍。下一步將題目的模長翻譯成關系，再尋找關于的不等關系即可解：如圖以為軸建立坐標系：設，則①②與①聯系可得：，所以②轉變?yōu)椋?，即另一方面：同理，由可得：綜上所述：，則答案：D小煉有話說：（1）本題涉及到的點與線段較多，所以難點一方面在于是否能夠想到建系去處理，還有一方面在于選擇哪兩條線作為坐標軸。也許有同學會從入手，選擇為坐標原點，這樣在以原點為圓心的單位圓上，且所求只需計算出的坐標即可。但這種選法繼續(xù)做下去會發(fā)現，首先在圓上的位置不確定，坐標不易寫出，其次無法定位，從而使得條件不便于使用。所以這種建系的方法在解題過程中障礙重重，不利于求解。而利用現有的垂直建系，會使得的坐標易于表示，進而求出坐標，只剩一個不好表示的點，難度明顯低于前一種建系方法。（2）在坐標系建好之后，說明此題主流的解法是用變量，表達式去解決，所以下一步就要將題目中的條件翻譯成代數的關系。正所謂“數形結合”時，如果用到的是形，那么就將代數條件翻譯成幾何特點，如果用到的是數，那就要將幾何條件翻譯成代數的特點。所以在“數形結合”方法中“翻譯”的步驟是必不可少的第38煉向量的數量積——數量積的投影定義一、基礎知識1、向量的投影：（1）有向線段的值：設有一軸，是軸上的有向線段，如果實數滿足，且當與軸同向時，，當與軸反向時，，則稱為軸上有向線段的值。（2）點在直線上的投影：若點在直線外，則過作于，則稱為在直線上的投影；若點在直線上，則在在直線上的投影與重合。所以說，投影往往伴隨著垂直。（3）向量的投影：已知向量，若的起點在所在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量。2、向量的投影與向量夾角的關系：通過作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號，記為向量的夾角（1）為銳角：則投影（無論是在上的投影還是在上的投影）均為正（2）為直角：則投影為零（3）為鈍角：則投影為負3、投影的計算公式：以在上的投影為例，通過構造直角三角形可以發(fā)現（1）當為銳角時，，因為，所以（2）當為銳角時，，因為，所以即（3）當為直角時，，而，所以也符合綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角4、數量積與投影的關系（數量積的幾何定義）：向量數量積公式為，可變形為或，進而與向量投影找到聯系（1）數量積的投影定義：向量的數量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影，即（記為在上的投影）（2）投影的計算公式：由數量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數量積和模長進行求解：即數量積除以被投影向量的模長5、數量積投影定義的適用范圍：作為數量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題（1）圖形中出現與所求數量積相關的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點）（2）從模長角度出發(fā)，在求數量積的范圍中，如果所求數量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉化為尋找投影最大最小的問題二、典型例題：例1：已知向量滿足，且，則在方向上的投影為（）A．3B．.C．D．思路：考慮在上的投影為，所以只需求出即可。由可得：，所以。進而答案：C小煉有話說：本題主要應用投影的計算公式，注意在哪個向量投影，便用數量積除以該向量的模長例2：如圖，在中，，是邊上的高，則的值等于（）A．0B．4C．8D．思路：由圖中垂直可得：在上的投影為，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以答案：B例3：兩個半徑分別為的圓,公共弦長為3，如圖所示，則__________.思路：為兩個圓的公共弦，從而圓心到弦的投影為的中點，進而在上的投影能夠確定，所以考慮計算和時可利用向量的投影定義。解：取中點，連結，由圓的性質可得：例4：如圖，為的外心，為鈍角，是邊的中點，則的值為（）A.4B.C.D.思路：外心在上的投影恰好為它們的中點，分別設為，所以在上的投影為，而恰好為中點，故考慮，所以答案：B小煉有話說：題目中遇到外心時，要注意外心的性質，即到各邊的投影為各邊的中點，進而在求數量積時可聯想到投影法。例5：若過點的直線與相交于兩點，則的取值范圍是_______思路：本題中因為位置不斷變化，所以不易用數量積定義求解，可考慮利用投影，即過作直線的垂線，垂足為，通過旋轉可發(fā)現，當時，，位于其他位置時，點始終位于的反向延長線上，，故，故，下面尋找最小值，即的最大值，可得當在上的投影與重合時，最大，即為，此時直線即為直線。所以。進而的范圍是答案：例6：已知，且的夾角為，點是的外接圓上優(yōu)弧上的一個動點，則的最大值是________思路：題中的模長為定值，考慮即為乘以在上的投影，從而的最大值只需尋找投影的大小，觀察圖形可得只有當與同向時，投影最大。即，只需計算的模長即可解：當與同向時，在上的投影最大在中，即答案：例7：如圖，菱形的邊長為為中點，若為菱形內任意一點（含邊界），則的最大值為（）A.B.C.D.思路：在所給菱形中方向大小確定，在求數量積時可想到投影定義，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要尋找在上的投影的最大值即可，而點也確定，所以只需在菱形內部和邊界尋找在投影距離最遠的，結合圖像可發(fā)現的投影距離最遠，所以，再由表示后進行數量積運算即可解：答案：9小煉有話說：（1）從例7也可以看出投影計算數量積的一個妙用，即在求數量積最值時，如果其中一個向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取得最值的情況（2）在找到取到最值的點位置后，發(fā)現利用投影計算數量積并不方便（投影，不便于計算），則要靈活利用其他方法把數量積計算出來（尋求基底，建系等）。正所謂：尋找最值用投影，而計算時卻有更多方法供選擇。例8：如圖，在等腰直角中，，點分別是的中點，點是內（包括邊界）任一點，則的取值范圍是____________思路：因為點為內任一點，所以很難用定義表示出，考慮利用投影定義。由長為定值，可得為乘以在上的投影，所以只需找到投影的范圍即可。如圖，過作的垂線，則點的投影為，當在點時，在上的投影最大且為線段的長，當在點時，在上的投影最小，為，分別計算相關模長即可。在圖中有條件可得：，所以可得：，則，所以，由，為中點可得：為中點，從而在方向上的投影分別為，由即可求得的范圍為答案：例9：已知為直角三角形的外接圓，是斜邊上的高，且，，點為線段的中點，若是中繞圓心運動的一條直徑，則_________思路：本題的難點在于是一條運動的直徑，所以很難直接用定義求解?？紤]到為直徑，所以延長交圓于，即可得，則在上的投影向量為。所求，而由聯想到相交弦定理，從而?？紤]與已知條件聯系求出直徑上的各段線段長度。由射影定理可得：，且，所以解得，再由為的中點可得，所以，進而答案：例10：已知為線段上一點，為直線外一點，為上一點，滿足，，，且，則的值為（）A.B.C.D.思路：從條件上判斷很難用代數方式求解，所以考慮作圖觀察幾何特點，則。由及所求可想到投影與數量積的關系，即在上的投影相等，即可得到平分。再分析，且為的單位向量，由平行四邊形性質可得和向量平分，而與和向量共線，從而平分，由此可得為的內心，作出內切圓。所求也可視為在上的投影，即，由內切圓性質可得：，所以，且有，可解得答案：C小煉有話說：本題用到向量運算中的兩個幾何意義，從而將表達式與圖形特征聯系起來：一個是向量投影的定義；一個是兩個模長相等向量（如單位向量）的和平分向量夾角。三、歷年好題精選（數量積三種求法綜合）1、如圖：在平行四邊形中，已知，，則的值是.2、已知的半徑為1，四邊形為其內接正方形，為的一條直徑，為正方形邊界上一動點，則的最小值為_________3、已知點是邊長為2的正方形的內切圓內（含邊界)的一動點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4、已知是單位圓上互不相同的三個點,且滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．5、如圖，是半徑為1的圓上兩點，且，若點是圓上任意一點，則的取值范圍是__________6、（2015，福建文）設，若，則實數的值等于（）A.B.C.D.7、（2015，天津）在等腰梯形中,已知,動點和分別在線段和上,且,則的最小值為____8、（2015，山東）已知菱形的邊長為，則（）A.B.C.D.9、（2015，福建）已知，若點是所在平面內一點，且，則的最大值等于（）A.B.C.D.10、（2016，無錫聯考）如圖，已知正方形的邊長為2，點為的中點．以為圓心，為半徑，作弧交于點．若為劣弧上的動點，則的最小值為________11、（2016，南京金陵中學期中）如圖，梯形中，