2023-2024學(xué)年山東省臨沂市臨沂高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市臨沂高二上冊期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知空間向量。=(2,-3,4),b=(-4,w,/?),m.neR,若：〃力，則〃，一〃二()

A.2B.-2C.14D.-14

【正確答案】C

【分析】利用空間向量平行的性質(zhì)即可.

【詳解】因為空間向量。=(2,-3,4),6=(-4,/w,?),/W?WGR,

如果a//b,則a二"，

2=-42

所以-3=77?2,

4=nA

2=--

2

解得m=6

〃二一8

所以zw-〃=6-(-8)=14,

故選：C.

2.設(shè)直線/的斜率為億且—144<6,直線/的傾斜角a的取值范圍為()

【正確答案】D

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系得到-14tana<6,結(jié)合正切函數(shù)的圖象及ae[0,無),

數(shù)形結(jié)合得到直線I的傾斜角a的取值范圍.

【詳解】由題意得：-l<tana<^3.

因為ae[0,n),且tan手■=-[,tan—=-73,

畫出y=tanx的圖象如下:

故選：D

3.拋物線歹=62的準線方程為夕=1,貝匹的值為()

A.—B.—2C.—D.—4

24

【正確答案】C

【分析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.

【詳解】由題意得拋物線的標準方程為一=,、，準線方程為y=-[,

a4a

又準線方程是y=l,所以-;=1,

4a

所以〃=，.

4

故選：C

4.已知等比數(shù)列｛《,｝的前〃項積Z,滿足奉=32,則?；=().

/2

A.128B.256C.512D.1024

【正確答案】C

=

【分析】利用等比數(shù)列通項的性質(zhì),z%l：32可求得出,再由7；=必可求值

z;=5

【詳解】等比數(shù)列｛4｝的前”項積%ai-aA-a5-ab-a1=a5=32,a=2,

7L=a-a-y-a.-a4-a5-a6-a7-a8-a9=a5,=2=512.

故選：c

5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)

與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線

（。>0,b>0）下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2,離

心率為2,則該雙曲線的方程為（）

【正確答案】B

b=2

【分析】首先根據(jù)題意得到￡=2,再解方程組即可.

a

c2=a2+Z>2

【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點為（O,c）,一條漸近線方程為y=

則焦點到漸近線的距離d=上聞=6=2,

y/a2+b2

b=2

所以一c=2=>a~=3-,即雙曲線方程為.32VL_L=1

"22.2"444

cl=a2+bi

故選：B

6.若等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，貝|J“S2024<0，$2025>°''是''-2,4013<。''的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷。加2<°，與33>0，由

峻>0，喙<0時，即可說明不必要性.

【詳解】由S2024<0,$2025>0可得｛?！保龁握{(diào)遞增，且公差大于0,

,,o八(4+0Hm)x2023(卬)x2025

1

故S2023V0,邑⑵)㈠呼——<0321HLI呼------>0,

即+“2023=2%0|2<°，％+。2025=2。|0]3>°，即“1012<°，。1013>°，因此"1012,。1013<°，

當?2>°，『3<°時，此時｛《,｝單調(diào)遞減，則不可能滿足$2024<0，52。25>0,

因此‘@024<°，$2025>0"是''《52W。"<0”的充分不必要條件，

故選：C

7.設(shè)點尸是拋物線G：-=4y上的動點，點M是圓C2：(x-5)2+(y+4)2=4上的動點0是點尸

到直線、=-2的距離，則d+|PA/|的最小值是()

A.50-2B.56-1C.572D.5忘+1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖像，將d轉(zhuǎn)化為拋物線上點到準線的距離再加1,也即是拋物線上點

到焦點的距離加1,若求"+|PM|的最小值,轉(zhuǎn)化為拋物線上點到焦點距離和到圓上點的距離

再加1即可，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即當共線時,d+l取最小值為

1+|八胃-/算出結(jié)果即可.

【詳解】解:由題知圓C2：(x-5>+(y+4)2=4,

.?C(5T)/=2

*0,1)為拋物線焦點/=-1為拋物線準線,

則d=l+|P￡)|,

根據(jù)拋物線定義可知|尸。|=1^1,

:.d=\+\PF\,

d+1PM\=l+\PF\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值,只需求|PF|+|PM|的最小值即可,

連接FG與拋物線交于點耳，與圓交于點,如圖所示，

此時|尸可+歸”|最小，為「Gl-J

E（0,l）C（5f.*C2|=5l,

???P+lPMIL=l+KI-^=5V2-i.

故選:B

8.已知橢圓?+方=1（^>Z）>0）與雙曲線上==1m>0n>0具有相同焦點片、F2,

P是它們的一個交點，且/耳可=三，記橢圓與雙曲線的離心率分別為。、4,則3e；+e；的

最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】B

13

【分析】由橢圓和雙曲線的定義以及余弦定理解得F+F=4,再由“1”的代換和基本不等式

e\e2

求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)P為第一象限的交點，|尸/"=5,|尸乙|=，，

s+t=2a/$=〃+陽

則由橢圓和雙曲線的定義可知，g=>

s-t=2m[t=a-m

工在AFiPF?中由余弦定理得：4c2=s2+/2-1stcosy=(a+/w)2+(a-m)2-(a+m)(a-w?)

即：a2+3m2=4c2

.a23/w21,3

??—r+——=4,即:-7+-=4

C2C2e\e2

3e：+/2=；([++'?)=36+2^{6+2的=3

當且僅當學(xué)=號，即ej=3晨時，取得最小值為3.

e\e2

故選：B.

二、多選題

9.對于非零空間向量；，b，c，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是()

A.若一工10，則一，，的夾角是鈍角

B.若「二(1,2,3),=貝打

C.若a-b=b-c，則a=c

D.若[(1,0,0),?二(0,2,0),c=(0,0,3),則：，h，l可以作為空間中的一組基底

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)空間向量夾角的定義、空間向量數(shù)量積的坐標表示公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積

的運算性質(zhì)、空間向量基底的定義逐一判斷即可.

【詳解】A：當a=(l,0,0),6=(-1,0,0)時,顯然“力＜0，因為a=—b，所以a，6的夾角

是平角，故本選項命題是假命題；

B：因為a./)=1x(-])+2x(-1)+3x1=0,所以a_Lb,因此本選項命題是真命題；

C：當a=(l,0,0),6=(0,0,0),c=(0,0,3)時，顯然：j，但是a,因此本選項命題

是假命題;

D：假設(shè):，b，；是共面向量,

-上,°=》

所以有仁》不_^=(0,0,3)=耳1,0,0)+乂0,2,0)70=2),顯然不可能，所以.，b，。不

13=0

是共面向量，因此一，b，1可以作為空間中的一組基底，所以本選項命題是真命題，

故選：BD

10.已知曲線。：蛆2+即2=1.()

A.若加>心0,則C是橢圓，其焦點在歹軸上

B.若〃尸〃>0,則C是圓，其半徑為五

則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±、「兀x

C.若

Vn

D.若加=0,/7>0,則。是兩條直線

【正確答案】ACD

【分析】結(jié)合選項進行逐項分析求解，加>〃>0時表示橢圓，〃=〃>0時表示圓，加〃<0時

表示雙曲線，加=0,〃>0時表示兩條直線.

22

匕上二

【詳解】對于A,若加>〃>0,則加/+=i可化為11

mn

因為m>〃>0,所以

tnn

即曲線。表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；

對于B,若加=〃>0,則mx?+町/=1可化為￥+/=j_,

n

此時曲線C表示圓心在原點，半徑為近的圓，故B不正確；

n

片=1

對于C,若加〃<0,則加x?+町r=l可化為11,

mn

此時曲線C表示雙曲線，

由機V+町;2=o可得y=土d-”工,故C正確；

對于D,若加=0,〃>0,則mf+叼？=i可化為,2=j_,

n

y=土近，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確;

n

故選：ACD.

本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)

運算的核心素養(yǎng).

11.如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角

垛”.“三角垛''最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，….

設(shè)第〃層有?！皞€球，從上往下〃層球的總數(shù)為S“，則（）

A.S6=56

B.

C.。2。23=1012x2023

D—+L+二些

4a2a3a2O231012

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)4=〃由累加法可得q="“A.B.C選項可判斷A.B.C,

根據(jù)裂項相消法則可判斷D.

【詳解】由題意得，％=1,%-4=2,生一。2=3,an-an_x=n,

以上個式子累加可得%=1+2+—+〃=*3（"24，

又4=1滿足上式，所以4=當W,

由已知。2=3,%=6,a4=10,a5=15,a6=21,

得Se=q+/+???+%=1+3+6+10+15+21=56,故A正確；

因為%-a,-=〃,則見川-4=〃+1,故B錯誤；

由通項公式得出⑵=2023；2024=wl2x2023，故c正確；

盛卜“一短卜鬻

故D正確.

故選.ACD

12.在棱長為2的正方體中，M為底面/BCD的中心，。是棱4A上一點,

且彳s[O,l],N為線段力。的中點，則下列命題正確的是（）

A.CN與QW異面B.三棱錐力-DMN的體積跟2的取值無關(guān)

C.不存在4使得D.當2=g時，過“，Q,M三點的平面截正

方體所得截面的面積為，

【正確答案】BD

【分析】證明MN//C?？膳袛郃；由等積法可判斷B；建立坐標利用向量數(shù)量積可判斷C；

求出截面梯形的面積可判斷D

【詳解】連NC,CQ,則M,N分別為ZC,4。的中點，MN為ZQC的中位線.

MNHCQ,則CN,共面，A錯.

^A-DMN=-N-ADM=JADMX1=不,lx2x1=-為定值，B對.

如圖建系（），（）則。（九）

A0,0,242,0,2,DXQ=XD}A},20,2

4M=（_1,1,0）,QAf=（1-2A,1,-2）AM-0M=22-1+1=22,

兀=0時，AM1QM,C錯.

截面如圖所示，圖形/CF。，過。作NC的垂線垂足為G.

故選：BD

三、填空題

13.已知兩直線乙：（加+2）x+（〃?+3）y-5=0,4：6x+（2〃?-l）y=5,若/J4，則實數(shù)

m=.

【正確答案】7或-:Q

【分析】根據(jù)4，/2044+4為=0,再解方程即可得答案.

【詳解】解：因為4：（加+2）x+（加+3?-5=0,4：6x+（2〃?-l）y=5,且

所以，6（/H4-2）4-（/7?4-3）（2^-1）=0,即2m2+11m+9=（2m+9）（/%+1）=0,解得m=一1或

9

m=——；

2

9

所以，實數(shù)加=7或〃?=-7

2

9

故T或-5

14.已知數(shù)列｛/｝滿足q=2,…與,則％。23=.

【正確答案】2

【分析】先求不動點方程，根據(jù)方程無解再逐項計算根據(jù)周期求解即可.

【詳解】求不動點，設(shè)/(》)==，令/(x)=x得：￡j=x，化簡得：x2+x+l=O.

7x+2x+2

顯然該方程無解，這種情況下｛“,｝一般是周期不大的周期數(shù)列，我們只需算出前幾項，找規(guī)

律即可，由題意，4=2,所以％=；=-^44=-1，°4=^-^=-y,?5=~7=-|，

q+24a2+Z3a3+25tz4+22

從而｛2｝是以6為周期的周期數(shù)列，故=a"…=4=2.

故2

15.已知平面a的一個法向量；:(-2,-2,1),點力(-1,-3,0)在平面a內(nèi)，若點8(加,0,2—，〃)在

平面a內(nèi)，則加=

【正確答案】-2

【分析】利用向量垂直列方程，化簡求得〃？

【詳解】根據(jù)題意可得知3=(”?+1,3,2-加)，

因為平面a的一個法向量7=(-2,-2,1),

所以?〃=-2(加+1)-6+2-〃？=0,解得機=-2,

故-2

16.如圖，已知雙曲線5-，=1(〃>0口>0)的左、右焦點分別為1名，“|=6,P是雙

曲線右支上的一點，鳥P與夕軸交于點力,△/2片的內(nèi)切圓在邊尸耳上的切點為。，若|「。|=1,

則雙曲線的離心率是

【分析】先利用切線長定理求得雙曲線的半實軸長，再由陽g1=6求得雙曲線的半焦距長,

進而求得雙曲線的離心率

【詳解】設(shè)片的內(nèi)切圓在邊/耳/P上的切點分別為",N,

則MM=|/N|,店M=\FtQ\,\PQ\=網(wǎng),

又由△04耳=△OAF?,可得M用=|/到,則由0|=I耳M=\F2N\=\F2P\+|PN|=優(yōu)丹+|P0|,

則|尸用一|陰|=|40|+|尸0卜|尸周=|瑪尸|+2|P0|-|尸用=2|PQ|=2,

y.\PF]-\PF2\=2a,則2a=2,即。=1,

由國閭=6,可得2c=6,即c=3,

則雙曲線的離心率e=￡=g=3,

a1

四、解答題

17.如圖所示，平行六面體X8C。—的底面是菱形，AB=2,AA,=4,

ADAB=Z^AB=ADA\=60°,A、N=3NC、,DXM=MB,設(shè)AD=b>AAi=c.

(2)求MN的長度.

,X.X,X,X>

【正確答案】=

⑵邁

2

【分析】(1)將a1,c當作基底，按照向量線性運算的規(guī)則計算即可;

(2)運用向量求模的方法計算.

【詳解】⑴

如圖，連接ZM,AN,BD}=BC+CCl+C}D=h+c-a,

XIXIXXXjX[X]X

AM=AB+BM=a+-BD.=a+-(b+c-a\=—a+—b+—c,

2'2、l7222

八八八八”▼▼▼、3▼▼▼=3X3、3X3XX

4G=44+4G=〃+b,AN=-AC=~^a—bAN=A,A+A,N=—a+—b+c；

]]]9''44

(2)由條件得：“?=2x2xcos60°=2,a?=2x4xcos60"=4,b?=2x4xcos60,=4,

1XXX^X^XXiXjXiX

MN=MA+AN=——(a+b+c)+—Q+—b+c=—Q+—b+—c,

2V>44442

(X,X,X,XXXXXX

a+方+今+2K-4im4)■

i27

=—(22+224-4X42+2X2+4X4+4X4)=—

3月

:.MN=

iXiXi>H

綜上，AM~—a+—b+—c,AN--a-\?—b+c,MN=—.

222442

18.已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點，且與直線x+y-2=0垂

直.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線/被該圓所截得的弦長為2正，求圓C的標準方程.

【正確答案]⑴x_y_i=o

(2)(X-3)2+/=4

【分析】(1)由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線/的方

程；

(2)根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標準方程.

[2x—V—3=0fx=2

【詳解】⑴解：由題意知),<八，解得,,

[4x-3y-5=0['=]

直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點為(2,1)；

設(shè)直線/的斜率為左,/與直線x+y-2=0垂直，；/=1；

??.直線/的方程為yT=(x-2),化為一般形式為*-y-1=0；

(2)解：設(shè)圓C的半徑為廠，則圓心為C(3,0)到直線/:x-y-1=0的距離為

"=由垂徑定理得/=屋+(修)2=(應(yīng)彳+(孚)2=4,

解得/?=2,

???圓C的標準方程為(x-3>+/=4.

19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛《,｝,其前〃項和為S.，4=1.

(1)若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，510=70,求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，,=！，求滿足5,>100”“時〃的最小值.

O

41

【正確答案】⑴%

⑵7.

【分析】(1)利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，求得公差，即可寫出通項公式;

(2)根據(jù)等比數(shù)列的基本量，求得a“,S“，再求解不等式即可.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛2｝為公差為d的等差數(shù)列，由4=1,510=70,

14

可得10+—xl0x9d=70,解得d=—,

23

4,41

故4=1+押-1)=y一§.

(2)數(shù)列｛《,｝為公比為9的等比數(shù)列，由4=1,

O

可得小=：，即4=

o2

飛=3=26廠,

則q

2

由S.>100a“，即2-(；Jn—Iz[x?-1

I>100x-I可得：2">101,

則“27,故〃的最小值為7.

20.如圖，在三棱柱N8C-A4G中，CG，平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC,=3,

點。，E分別在棱44和棱CG上，且40=1CE=2,M為棱4月的中點.

（D求證：C,MLBtD.

（ID求二面角的正弦值：

（III）求直線/B與平面。片E所成角的正弦值.

【正確答案】（I）證明見解析；（II）叵；（III）旦.

63

【分析】以。為原點，分別以";c￡；CC：的方向為x軸，軸，z軸的正方向建立空間直角

坐標系.

⑴計算出向量G”和8,的坐標，得出。|癡：8，:0,即可證明出

（ID可知平面的一個法向量為c1，計算出平面的一個法向量為；，利用空間

向量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；

（III）利用空間向量法可求得直線AB與平面DBtE所成角的正弦值.

【詳解】依題意，以C為原點，分別以"、CB\CC；的方向為x軸、V軸、z軸的正方向

建立空間直角坐標系（如圖）,

4

可得C(0,0,0)、/(2,0,0)、8(0,2,0)、￡(0,0,3)、

4(2,0,3)、氐(0,2,3)、￡>(2,0,1)、￡(0,0,2),"(1,1,3)

⑴依題意，C,M=(1,1,0),5,2)=(2,-2,-2),

從而GM.8Q=2-2+0=0,所以GML8Q；

(II)依題意，C4=(2,0,0)是平面88也的一個法向量,

=(0,2,1),￡Z)=(2,0-1).

設(shè)n=(x,y,z)為平面DBF的法向量，

則快￡=。,即儼z=：,

n-ED=0[2x-z=0

不妨設(shè)x=l,可得〃=(1,7,2).

EX

cos<CA,n>=

6，

TX-屈

sin<CA,n>=-71-cos2<CA,n>=------

6

所以，二面角的正弦值為叵;

6

(Ill)依題意，AB=(-2,2,0).

由(II)知“=(1,-1,2)為平面。8遂的一個法向量，于是

EX-46

cos<AB,n>=

25瓜-3'

所以，直線N8與平面。83所成角的正弦值為正.

3

本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

21.已知數(shù)列｛““｝滿足％+牝+2且〃eN*),且%=4.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列7―工——正的前〃項和為1,求證?名(，<1

【正確答案】(l)M=2"(〃eN.)

(2)證明見解析