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返回繼續(xù)第二節(jié)對偶問題的基本性質(zhì)對稱性弱對偶性最優(yōu)性互補松弛性對偶問題的基本性質(zhì)一、對稱定理：定理：對偶問題的對偶是原問題。設(shè)原問題（1）對偶問題（2）二、弱對偶性定理：

——若和分別是原問題（1）及對偶問題（2）的可行解，則有證明：對偶問題的基本性質(zhì)從弱對偶性可得到以下重要結(jié)論：（1）極大化問題（原問題）的任一可行解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值是對偶問題最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的下界。（2）極小化問題（對偶問題）的任一可行解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值是原問題最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的上界。原問題對偶問題對偶問題的基本性質(zhì)定理三

最優(yōu)性準(zhǔn)則定理

若、分別為對稱形式對偶線性規(guī)劃的可行解，且兩者目標(biāo)函數(shù)的相應(yīng)值相等，C=b，則，分別為原始問題和對偶問題的最優(yōu)解。C=bCX≤Yb弱對偶定理已知結(jié)論最優(yōu)解定義X=CX≤bY=特別取b≤YbCX≤CC≤Yb證明思路四、互補松弛性

——若分別是原問題（1）與對偶問題（2）的可行解，分別為（1）、（2）的松弛變量，則：即：為最優(yōu)解原問題第i條約束

A的第i行

說明：在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中，如果對應(yīng)某一約束條件的對偶變量值為非零，則該約束條件為嚴(yán)格等式；反之如果約束條件取嚴(yán)格不等式，則其對應(yīng)的對偶變量一定為零。另一方面：對偶問題的第j條約束四、互補松弛性：

——若分別是原問題（1）與對偶問題（2）的可行解，分別為（1）、（2）的松弛變量，則：為最優(yōu)解原理：在一對互為對偶的線型的規(guī)劃問題中，原問題的變量和對偶問題的約束是一一對應(yīng)的，原問題的約束和對偶問題的變量也是一一對應(yīng)的。解釋：互補松弛性描述了線型規(guī)劃問題達到最優(yōu)時，原問題（或?qū)ε紗栴}）的變量取值和對偶問題（或原問題）約束的松緊性之間的對應(yīng)關(guān)系。書P52，例2已知：X=(x1，x2)T=(7/6，4/3)T判斷是否為最優(yōu)解？課堂練習(xí)：已知線型規(guī)劃問題又已知其對偶問題的最優(yōu)解為y1=4/5，y2=3/5，Z＝5。試用對偶理論解原問題?；パa松弛定理應(yīng)用：（1）從已知的最優(yōu)對偶解，求原問題最優(yōu)解，反之亦然。（2）證實原問題可行解是否為最優(yōu)解。（3）從不同假設(shè)來進行試算，從而研究原始、對偶

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