第二章 模型1抽象函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型1

抽象函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合【問題背景】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重中之重，而函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)也是難點(diǎn).抽象函數(shù)由于表現(xiàn)形式的抽象性使得這部分內(nèi)容的難度更加增大.這部分題型多樣，難度中等.常考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.抽象函數(shù)學(xué)習(xí)是一個難點(diǎn)，但抽象函數(shù)平時考試或在高考中考察較多，故有必要對其進(jìn)行歸納總結(jié)，以便揭開其“神秘面紗”，使得對其學(xué)習(xí)不再困難.【解決方法】【典例1】（23-24高三上·山東德州·期末）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若與均為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的周期為2D.【套用模型】第一步：整體審題，翻譯信息，結(jié)合選項(xiàng)具體情況，確定大致解題思路.根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于的表達(dá)式，代值判斷根據(jù)奇偶性判斷函數(shù)圖象的對稱性，判斷研究函數(shù)的周期性，判斷根據(jù)D中式子結(jié)構(gòu)的特征知也與周期性有關(guān).第二步：聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.函數(shù)的導(dǎo)電性、奇偶性等.對于A，若為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，將其圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得的圖象關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，所以，則.【快速分析】也可以直接用代換，直接得為偶函數(shù)所以，即，令，得，所以，故A正確.對于B，由可得，當(dāng)時，，即，令，則，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確.對于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，則，所以，即，則，所以函數(shù)的周期為4，故C不正確.對于D，函數(shù)的周期為4，則函數(shù)的周期也為4，由，可得，則故D正確.第三步：得到結(jié)論.故選ABD.【典例2】（2024湖南長沙一中9月開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為________.【套用模型】第一步：整體審題，翻譯信息，已知函數(shù)奇偶性可聯(lián)想他們的定義.為奇函數(shù)因?yàn)?，所?第二步：聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.故是以4為周期的周期函數(shù).將代入，則，即，則.對求導(dǎo)得，故是以4為周期的周期函數(shù)，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，故所求切線方程為.第三步：得到結(jié)論所以【典例3】（22-23高三下·福建泉州·二模）已知是定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，且，則的解集是（）A.

B.C.

D.【套用模型】第一步：整體審題，翻譯信息，已知函數(shù)奇偶性可聯(lián)想他們的定義，構(gòu)造新函數(shù).是定義在上的偶函數(shù).要研究的解集，可考慮移項(xiàng)并構(gòu)造函數(shù).第二步：聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.則，所以函數(shù)也是偶函數(shù).，因?yàn)楫?dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，即不等式.由得，所以，所以，解得或.第三步：得到結(jié)論故選B.一、單選題（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）1．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且周期.若當(dāng)時，，則（

）A．4 B．16 C． D．（2024·山東煙臺·一模）2．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．（2024·遼寧·一模）3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，若，則（

）A． B．C． D．（2024·黑龍江·二模）4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則以下說法錯誤的是（

）A． B．是周期函數(shù)C． D．（2024·湖南邵陽·二模）5．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（2024·陜西西安·一模）6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．二、多選題（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）7．已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（

）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)（2024·吉林白山·二模）8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對稱，若，則（

）A． B．C． D．（2024·湖南邵陽·二模）9．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)函數(shù)為.若為奇函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．（2024·山東聊城·一模）10．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對于任意的，，則對于任意的，下列說法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線關(guān)于點(diǎn)對稱C．曲線關(guān)于直線對稱 D．都是偶函數(shù)三、填空題（2024·陜西西安·二模）11．已知函數(shù)滿足，.則.（2024·山東淄博·一模）12．已知定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是R，滿足，則.（2024·寧夏銀川·一模）13．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為.（2024·全國·模擬預(yù)測）14．已知是定義在上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．設(shè)，若在內(nèi)恰有個實(shí)數(shù)根，且這2n個實(shí)數(shù)根之和為380，則k的最小值為．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求解即可.【詳解】因?yàn)?故選：B.2．A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，于是，即函數(shù)的周期為4，而，則，，又當(dāng)時，，所以.故選：A3．A【分析】由題意判斷的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合當(dāng)時的函數(shù)解析式，判斷其單調(diào)性，即可判斷在直線兩側(cè)的增減，從而結(jié)合，可得，化簡，即得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增且，而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故由可得，即，則，故，故選：A4．C【分析】借助題目條件可得函數(shù)的周期性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)的周期性逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對A：由為定義在上的奇函數(shù)，故，即，故A正確；對B：由，則，即有，故是以為周期的周期函數(shù)，故B正確；對C：由，，故C錯誤；對D：由，故，又，故，故D正確.故選：C.5．D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集為.故選：D.6．C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點(diǎn)情況，進(jìn)而確定方程解的情況.【詳解】由已知，則，則，可知函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期，又當(dāng)時，，可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域?yàn)?，關(guān)于的方程至少有兩解，可得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有兩個交點(diǎn)，如圖所示，

可知當(dāng)時，，解得，即，當(dāng)時，，解得，即，綜上所述，故選：C.7．AC【分析】A.令判斷；B.令，分別令，判斷；CD.由，令判斷.【詳解】解：在中，令，得，即．因?yàn)楹瘮?shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯誤．令，則，即，因?yàn)?，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC8．ACD【分析】根據(jù)對稱性即可判斷A，根據(jù)，，的值即可排除B,根據(jù)可求解C，根據(jù)即可求解D.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對稱，則,故A正確；由，可得，則，取得，在中取可得，則，由，得，故B錯誤；由，得①②，②-①得，又，故C正確；又由①，故D正確.故選：ACD.9．ACD【分析】根據(jù)已知條件可得的周期，由為奇函數(shù)可得的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)公式及函數(shù)的周期性、對稱性可判斷各選項(xiàng).【詳解】對于D，由，所以，即，所以的周期為4，且，所以，故D正確；對于A，由為奇函數(shù)知關(guān)于對稱，所以，由得0，即，故的周期為4且，可得，故A正確；對于BC，由上知的周期為4且關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，則有，即，所以，令，得，故，所以關(guān)于對稱，又，所以，故B錯誤；又，所以，故C正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性和對稱性，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷各選項(xiàng).10．BC【分析】結(jié)合題意，借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可判斷函數(shù)的對稱性，借助賦值法，可得函數(shù)的周期性，利用所得函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析判斷即可得.【詳解】由是奇函數(shù)，故有，即有，故，則，即，故關(guān)于對稱，由，則，即，故關(guān)于中心對稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對A：當(dāng)時，，故A錯誤；對B：由周期為，故，又，故，故，故曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對C：由周期為，故，又，故，故曲線關(guān)于直線對稱，故C正確；對D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.11．.【分析】根據(jù)題意，取，求得，再令，得到，結(jié)合，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，取，可得，令，可得，即則.故答案為：.12．【分析】求導(dǎo)得到，賦值累加即可.【詳解】對兩邊同時求導(dǎo)得，即，則，，則.故答案為：.13．【分析】首先得出的對稱性結(jié)合的單調(diào)性可得的符號變化情況，由此可通過列表法求解.【詳解】由題意是偶函數(shù)，所以的對稱軸是，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，由對稱性當(dāng)時，，當(dāng)時，所以的符號隨的變化情況如