常微分方程模擬試題(1)及參考解答(文檔良心出品)

PAGE1PAGE2常微分方程模擬試題及參考解答（1）得分評(píng)卷人一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．方程所有常數(shù)解是．2．階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為個(gè)．3．一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是維空間上的一條曲線．4．方程的基本解組是．5．若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們共同零點(diǎn)．得分評(píng)卷人二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6．若是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則在其定義的區(qū)間上，它們（）．（A）可以有共同零點(diǎn)（B）可在處有共同零點(diǎn)（C）沒(méi)有共同零點(diǎn)（D）可在處有共同零點(diǎn)7.連續(xù)是保證對(duì)滿(mǎn)足李普希茲條件的（）條件．（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分8．方程（）奇解．（A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)（C）無(wú)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)9．一階線性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差（）．（A）不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解（B）是非齊次微分方程組的解（C）是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解（D）是非齊次微分方程組的通解10．方程通過(guò)點(diǎn)(1,1)的解為，其有定義的區(qū)間是（）．(A)(B)(C)(D)得分評(píng)卷人三、計(jì)算題（每小題６分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分：11.12.13.14．15．得分評(píng)卷人四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程組的通解．得分評(píng)卷人五、證明題（每小題10分，本題共20分）18．設(shè)，是方程的解，且滿(mǎn)足==0，，這里在上連續(xù)，．試證明：存在常數(shù)C使得=C．19．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．常微分方程模擬試題（1）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考）一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．2．n3．24．，5．沒(méi)有二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6．C7．A8．C9．C10．A三、計(jì)算題（每小題６分，本題共30分）11．解方程化為令，則，代入上式，得（3分）分量變量，積分，通解為原方程通解為（6分）12．解齊次方程的通解為（2分）令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出（5分）原方程的通解為+（6分）13．解因?yàn)?，所以原方程是全微分方程．?分）取，原方程的通積分為即（6分）14．解原方程是克來(lái)洛方程，通解為（6分）15．解原方程是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可寫(xiě)成即（3分）分離變量解此方程，通積分為（6分）四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16．解對(duì)應(yīng)齊次方程的的通解為（4分）令非齊次方程的特解為滿(mǎn)足（6分）解得積分，得，原方程通解為（10分）17．解特征方程為，特征根為，，（4分）和對(duì)應(yīng)的特征向量分別為（8分）故原方程組的通解為（10分）五、證明題（每小題10分，本題共20分）18．證明設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為由已知條件，得故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的．（5分）由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得，由于，可知．否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾．故（8分）（10分）19．證明由已知條件可知，該方程滿(mǎn)足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是．（2分）顯然，該方程有零解．